精品解析：湖北省 武汉市江汉区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024～2025学年度第学期期末质量检测 八年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 第Ⅰ卷（本卷满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列表示y与x之间关系的图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C D. 5. 下列各点中，在函数y＝2x－1图象上点是（ ） A. (1，3) B. (2.5，4) C. (－2.5，一4) D. (0，1) 6. 用配方法解方程：，下列配方正确的是（ ） A B. C. D. 7. 若点，在一次函数（m是常数）的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，直线（）与交于点A，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. y关于x的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 10. 化简：__________． 11. 直线是由沿y轴向下平移__________个单位得到的． 12. 若关于 x 的一元二次方程2x2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________． 13. 某公司欲招聘一名公关人员，对应试者进行了面试与笔试，甲的成绩（百分制）如表所示： 应试者 面试 笔试 甲 85 90 如果公司认为作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，则甲的分数是__________． 14. 如图，点E是正方形外一点，且，连接，交于点F．若，则的度数是__________． 15. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则在第__________分钟时，容器内的水量是． 三、解答题（共5小题，共52分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 根据下列条件分别确定函数的解析式： （1）y与x成正比例，当时，； （2）直线经过点和点． 18. 某校对学生掌握“安全教育知识”的成效进行测评，并随机抽取了部分学生的测评成绩（满分分），按成绩划分为，，，四个等级，并制作了如下不完整的直方图和扇形统计图． 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）①本次抽样的样本容量为　　　　，在扇形图中，等级D所对应的圆心角为　　　　度； ②补全直方图； （2）所抽取学生成绩的中位数落在　　　　等级（填“A”“B”“C”或“D”）； （3）若该校共有名学生，请估计测评成绩达到分以上（含分）的人数． 19. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求长及四边形的面积． 20. 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，H都是格点，请用无刻度的直尺画图，每个任务的画线不得超过四条． （1）在图中，先画出点，使四边形为平行四边形，再在上画点上画点，使四边形为菱形； （2）在图中，点是与网格线的交点，画出点使四边形为矩形； （3）在图中，点是网格线上一点，在上画一点，在上画一点，使线段经过点，且正好是的中点； 第Ⅱ卷（本卷满分50分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 21. 若直线与交于点，则关于，的方程组的解是______，的解是______． 22. 如图，在矩形中，的平分线交的延长线于点E，交于点G，F是的中点，连接．若，，则的长是__________． 23. 如图，在平行四边形中，点E是的中点，连接，点A关于的对称点为，连接，，，．若，，，则的长是__________，的长是__________． 24. 对于函数的图象及性质，有下列描述： 函数的图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到； 当时，随的增大而增大； 当时，； 若直线与的图象至少有一个公共点，则或． 其中正确的是______（填序号）． 五、解答题（共3小题，共34分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 25. 某学校计划租用客车送284名学生和16名老师去春游，为了安全，既要保证所有师生都有座位，又要保证每辆客车上至少有2名教师，现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 （1）共需租 辆客车； （2）设租用x辆甲种客车，租车总费用为y元，求y关于x的函数解析式； （3）若租车总费用不超过3100元，请你给出最节省费用的方案． 26. 在正方形中，F是边上一点，，且． （1）如图，过点P作于点E，求证：； （2）如图，连接，交于点G，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 27. 若一个点的横、纵坐标都是关于某个相同变量的一次式，则这个点必定在一条固定的直线上．如：点，易知点在直线上；又如：，令，，消去得，故点在直线上． （1）点所在直线的解析式为 ；点所在直线的解析式为 ； （2）已知点，，三点． 判断和两点所在直线的位置关系，证明你的结论； 当时，直接写出的最小值； （3）一次函数与（，是常数且）交于点，对于的某个确定的值，当变化时，点到直线的距离是一个定值，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第学期期末质量检测 八年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 第Ⅰ卷（本卷满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 根据二次根式的被开方数非负求解． 【详解】解：函数中，被开方数必须满足非负条件， 即：， 解得：， 因此，自变量的取值范围是， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握四种运算的法则是关键；根据二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A： 和不同类二次根式，无法直接相减；故A错误； 选项B： 根据二次根式乘法法则，，因此，计算正确，故B正确； 选项C： 同类二次根式相加应合并系数，，而，故C错误； 选项D： 根据二次根式除法法则，，因此，但选项结果为，故D错误； 故选：B． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A：方程中含有两个未知数和，不符合“一元”条件，排除． 选项B：方程可整理为，仅含未知数，且最高次数为2，整式方程，符合定义． 选项C：方程中含分式，不是整式方程，排除． 选项D：方程为一次方程，最高次数为1，排除． 故选：B． 4. 下列表示y与x之间关系的图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对函数概念的理解，即两个变量x、y，对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，此时我们称y是x的函数；关键是能准确运用数形结合理解该知识．据此求解即可． 【详解】解：A．对于每一个x的值，不都有唯一的y值与之相对应，y不是x的函数，故该选项符合题意； B．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项不符合题意； C． 对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项不符合题意； D．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列各点中，在函数y＝2x－1图象上的点是（ ） A. (1，3) B. (2.5，4) C. (－2.5，一4) D. (0，1) 【答案】B 【解析】 【分析】分别代入各点的横坐标求出y值，与该点纵坐标比较后即可得出结论． 【详解】A.当x=1时，y=2x－1=1≠3，所以此点不在图象上； B.当x=2.5时，y=2x－1=4，所以此点在图象上； C.当x=－2.5时，y=2x－1=－6≠－4，所以此点不在图象上； D.当x=0时，y=2x－1=－1≠1，所以此点不在图象上． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，正确代入点的坐标进行计算是解题的关键. 6. 用配方法解方程：，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的基本步骤是关键；通过配方法将方程转化为完全平方形式，对比选项即可得出答案． 【详解】解：将常数项移到方程右边，得到； 取一次项系数的一半（即），平方后为，将其添加到方程两边：， 左边可写为完全平方形式：； 即配方结果为； 故选：C． 7. 若点，在一次函数（m是常数）的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：函数图象上的点的坐标满足一次函数解析式；根据一次函数的解析式，求出两点的横坐标并相减，即可判断与的大小关系． 【详解】解：将点代入，得：， ∴； 将点代入，得：， ∴； ∴， 因此，； 故选：A． 8. 如图，直线（）与交于点A，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象解不等式，一次函数图象上点的坐标特征，先求出点A的横坐标，然后根据函数图象写出答案即可． 【详解】解：把代入，得 ∴ ∴不等式的解集是． 故选：D． 9. y关于x的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确． 【详解】解：A、对于，当，图象经过第一、三象限，则也要经过第一、三象限，所以A选项不符合题意； B、对于，当，图象经过第一、三象限，则经过第二、四象限，与轴的交点在轴上方，所以B选项符合题意； C、对于，当，图象经过第一、三象限，则也要经过第一、三象限，所以C选项不符合题意； D、对于，当，图象经过第二、四象限，若，则经过第一、三象限，所以D选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 10. 化简：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据算术平方根的含义求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 11. 直线是由沿y轴向下平移__________个单位得到的． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案． 【详解】解：直线是由沿y轴向下平移个单位得到的． 故答案为：6． 12. 若关于 x 的一元二次方程2x2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可． 【详解】根据题意得： △=1-4×2m=0， 整理得：1-8m=0， 解得：m=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键． 13. 某公司欲招聘一名公关人员，对应试者进行了面试与笔试，甲的成绩（百分制）如表所示： 应试者 面试 笔试 甲 85 90 如果公司认为作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，则甲的分数是__________． 【答案】87 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数的计算，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算．根据加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：甲的平均成绩为， 故答案为： 14. 如图，点E是正方形外一点，且，连接，交于点F．若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质得，得，根据等腰三角形性质得，由三角形的外角性质得，由对顶角性质和轴对称性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由轴对称知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形，等腰三角形，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质三角形内角和定理，三角形外角性质，轴对称性质，是解题的关键． 15. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则在第__________分钟时，容器内的水量是． 【答案】3或16 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．根据图象分别求出进水速度和出水速度，从而分别写出当、时y与x之间的函数关系式，当时，求出对应x的值即可． 【详解】解：进水速度为， 出水速度为， 当时，y与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ， ， 当时， y与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∴在第3分钟或第16分钟时，容器内的水量是． 故答案为：3或16． 三、解答题（共5小题，共52分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程． （1）利用平方差公式计算即可； （2）按因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ，． 17. 根据下列条件分别确定函数的解析式： （1）y与x成正比例，当时，； （2）直线经过点和点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式； （1）把，代入，进一步求解即可； （2）由直线经过点和点，再建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵y与x成正比例， ∴， 把，代入得：， 解得， ∴函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵直线经过点和点， ∴ 解得 ∴函数解析式为． 18. 某校对学生掌握“安全教育知识”的成效进行测评，并随机抽取了部分学生的测评成绩（满分分），按成绩划分为，，，四个等级，并制作了如下不完整的直方图和扇形统计图． 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）①本次抽样的样本容量为　　　　，在扇形图中，等级D所对应的圆心角为　　　　度； ②补全直方图； （2）所抽取学生成绩的中位数落在　　　　等级（填“A”“B”“C”或“D”）； （3）若该校共有名学生，请估计测评成绩达到分以上（含分）的人数． 【答案】（1）①，；②补图见解析 （2）B （3） 【解析】 【分析】（1）①由题意知，本次抽样的样本容量为，在扇形图中，等级D所对应的圆心角为，计算求解即可；②由题意知，等级B所对应的人数为（人），则等级C所对应的人数为（人），然后补全直方图即可； （2）根据中位数为第位数的平均数，进行求解作答即可； （3）根据测评成绩达到分以上（含分）的人数为，计算求解即可． 【小问1详解】 ①解：由题意知，本次抽样的样本容量为，在扇形图中，等级D所对应的圆心角为， 故答案为：，； ②解：由题意知，等级B所对应的人数为（人）， 等级C所对应的人数为（人）， 补全直方图如下： 【小问2详解】 解：由题意知，中位数为第位数的平均数， ∵， ∴所抽取学生成绩的中位数落在B等级， 故答案为：B； 【小问3详解】 解：由题意知，（人）， ∴测评成绩达到分以上（含分）的人数为人． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，中位数，用样本估计总体．从统计图中获取正确的信息是解题的关键． 19. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长及四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2），面积为 【解析】 【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，再根据“矩形的对角线相等且互相平分”得出，从而根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形即可； （2）根据“矩形的对角线互相平分”得出，根据勾股定理计算，根据“”计算三角形面积，根据“的面积的面积”得出四边形的面积即可． 小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积是． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 20. 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，H都是格点，请用无刻度的直尺画图，每个任务的画线不得超过四条． （1）在图中，先画出点，使四边形为平行四边形，再在上画点上画点，使四边形为菱形； （2）在图中，点是与网格线的交点，画出点使四边形为矩形； （3）在图中，点是网格线上一点，在上画一点，在上画一点，使线段经过点，且正好是的中点； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，作线段的垂直平分线交于点，交与点，连接即可； （2）取的中点，连接，延长交网格线于点，连接即可； （3）连接，延长交水平网格线于点，连接，延长交水平网格线于点，连接交于点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【小问1详解】 解：如图 ； 如图，作格点D使 且 ，连接 ， ， 是的垂直平分线， 。 又， ， ， 所以四边形是平行四边形， 是的垂直平分线， 四边形AECF为菱形； 【小问2详解】 解：如图 由图可知， ， 在和中， ，由， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问3详解】 解：如图 ， ， ， 是的中点 第Ⅱ卷（本卷满分50分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 21. 若直线与交于点，则关于，的方程组的解是______，的解是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴关于，的方程组的解是，的解是， ∴， 故答案为：，． 22. 如图，在矩形中，的平分线交的延长线于点E，交于点G，F是的中点，连接．若，，则的长是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．由角平分线的性质可得，可证是等腰直角三角形，可得，由勾股定理可求解，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，（负值已舍去）， ∴，， ∵F是的中点， ∴， 同理：，， ∴， 故答案为：2． 23. 如图，在平行四边形中，点E是的中点，连接，点A关于的对称点为，连接，，，．若，，，则的长是__________，的长是__________． 【答案】 ① 4 ②. 【解析】 【分析】连接交于点L，延长交于点F，作于点H，由平行四边形的性质得，，由点E是的中点，得，因为垂直平分，所以，，可证明，则，所以四边形是平行四边形，则，由，得，再证明，由，得，求得，，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点L，延长交于点F，作于点H， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点A关于的对称点为， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， 则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分，于点L，于点H， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 24. 对于函数的图象及性质，有下列描述： 函数的图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到； 当时，随的增大而增大； 当时，； 若直线与的图象至少有一个公共点，则或． 其中正确的是______（填序号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象与几何变换，根据函数图象和函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：画出函数的图象如图： 函数的图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到，故正确； 当时，随的增大而增大，故正确； 时，，所以当时， 根据图象可知当时，有最小值， ∴当时，，故错误； 当过点时，代入，解得， 当时直线与的图象至少有一个公共点， 由可知，当时，；当时，， 当与平行时，， ∴当直线与的图象至少有一个公共点，则需， 综上可知，或，故正确； 故答案为：． 五、解答题（共3小题，共34分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 25. 某学校计划租用客车送284名学生和16名老师去春游，为了安全，既要保证所有师生都有座位，又要保证每辆客车上至少有2名教师，现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 （1）共需租 辆客车； （2）设租用x辆甲种客车，租车总费用为y元，求y关于x的函数解析式； （3）若租车总费用不超过3100元，请你给出最节省费用的方案． 【答案】（1）8 （2） （3）租用3辆甲种客车，5辆乙种客车费用最低 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以得到，然后求解即可； （2）由（1）可知，设租用x辆甲种客车，则租用辆乙种客车，再根据表格即可得到y关于x的函数解析式； （3）根据学生和老师的总人数和（2）中的结果可以得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集，再根据一次函数的性质，即可求得最节省费用的方案． 【小问1详解】 解：设共需租a辆客车， 由题意可得：， 解得， ∵a为整数， ∴， 即共需租8辆车， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：由（1）可知，设租用x辆甲种客车，则租用辆乙种客车， 由题意可得，， 故y关于x的函数解析式为； 【小问3详解】 解：设租用x辆甲种客车， 由题意可得，， 解得， 由（2）知：， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，此时， ， 答：最节省费用的方案为租用3辆甲种客车，租用5辆乙种客车． 26. 在正方形中，F是边上一点，，且． （1）如图，过点P作于点E，求证：； （2）如图，连接，交于点G，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质结合，，证明，可得，，再进一步证明即可； （2）如图，连接，，过作于，证明，，证明，可得，，，进一步可得结论； （3）如图，连接，，过作于，作于，证明，，求解，证明四边形为正方形；可得，，求解，，进一步可得结论． 【小问1详解】 证明：∵正方形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接，，过作于， 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，，过作于，作于， 由（2）得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形； ∵， ∴， ∴四边形为正方形； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 27. 若一个点的横、纵坐标都是关于某个相同变量的一次式，则这个点必定在一条固定的直线上．如：点，易知点在直线上；又如：，令，，消去得，故点在直线上． （1）点所在直线的解析式为 ；点所在直线的解析式为 ； （2）已知点，，三点． 判断和两点所在直线的位置关系，证明你的结论； 当时，直接写出的最小值； （3）一次函数与（，是常数且）交于点，对于的某个确定的值，当变化时，点到直线的距离是一个定值，求的值． 【答案】（1），； （2）互相垂直，证明见解析；； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线的性质，根据所给的材料能确定点所在的直线解析式是解题的关键 （）根据所给的材料直接求解即可； （）求出点在直线上，点在直线上，设直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点，通过证明，得到，则和两点所在直线互相垂直； 作点关于直线的对称点，当三点共线时，的值最小，根据求出所在的直线，设，由，求出 ，再求，即可得的最小值为； （）求出 则点所在的直线为，由点到直线的距离是一个定值，可知直线与直线平行，即 ，解得． 【小问1详解】 解：令，， ∴； 令，， ∴， ∴ 故答案为：，； 【小问2详解】 解：令，， ∴， ∴点在直线上， 令，， ∴点在直线上， 设直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点， 与轴交于点，两直线交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和两点所在直线互相垂直； 当时，， 作点关于直线的对称点，如图， ∴， 当三点共线时，的值最小， ∵和两点所在直线互相垂直， ∴关于直线的对称点所在的直线与平行， ∴所在的直线为， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：当时，解得， ∴， ∴点所在的直线为， ∵点到直线的距离是一个定值， ∴直线与直线平行， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$