精品解析：湖北省武汉市江汉区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023～2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟试卷总分：150分） 第Ⅰ卷（本卷满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 若式子有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式意义的条件为被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加、减、乘、除运算，根据二次根式加、减、乘、除运算法则，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 下列各组数据，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 0.3，0.4，0.5 D. 3，4， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故该选项是正确的； C、，，不是正整数，故不符合题意； D、不是正整数，故不符合题意； 故选：B 4. 下列表示y与x之间关系的图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查对函数概念的理解，即两个变量x、y，对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，此时我们称y是x的函数；关键是能准确运用数形结合理解该知识． 【详解】解：．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．对于每一个x的值，不都有唯一的y值与之相对应，y不是x的函数，故该选项符合题意； ．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，，y是x的函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列函数是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，形如（k，b为常数，），即可判断． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项符合题意； B、不是一次函数，故本选项不符合题意； C、不是一次函数，故本选项不符合题意； D、不是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据10次射击成绩的平均数可知淘汰乙；再由10次射击成绩的方差可知，也就是丁的射击成绩比较稳定，从而得到答案． 【详解】解：， 由四人的10次射击成绩的平均数可知淘汰乙； ， 由四人的10次射击成绩的方差可知丁的射击成绩比较稳定； 故选：D． 【点睛】本题考查通过统计数据做决策，熟记平均数与方差的定义与作用是解决问题的关键． 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意； B、邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，本选项符合题意； D、三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型． 8. 如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用． 过作于，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过作于， 四边形正方形， ， 平分交于点， ， 正方形的边长为1， ， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 9. 关于直线描述不正确的是（ ） A. 图象交x轴于点 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过点 D. 图象不经过第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据函数解析式和一次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：直线 图象交x轴于点，故选项A不符合题意； y随x的增大而减小，故选项B不符合题意； 图象经过点，故选项C不符合题意； 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选项D符合题意； 故选D． 10. 如图，正方形中，点E在上，且，点F是的中点，点G是的中点，延长与的延长线交于点H．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形边长为，求出、、，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位 线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线 定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确． 【详解】解：设正方形边长为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，点F是的中点， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； ∵，， ∴是中位线， ∴，故①正确； 在中， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 11. 化简二次根式的结果等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 12. 某校拟招聘一名优秀教师，小王的面试、笔试、试讲成绩分别为95分、90分、96分．根据实际需要，综合成绩将面试、笔试和试讲三项得分按的比例确定最后成绩，那么小王最后的成绩为__________分． 【答案】93.5 【解析】 【分析】根据加权平均数求解公式解答即可．本题考查加权平均数，熟知加权平均数的计算公式是解答的关键． 【详解】解：由题意，（分， 小王最后的成绩为93.5分 故答案为：93.5 13. 将直线向下平移2个单位长度，则平移后的直线解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形平移变换和函数解析式之间的关系，灵活运用平移规律“左加右减，上加下减”成为解答本题的关键．根据上加下减的原则计算即可． 【详解】解：将直线向下平移2个单位长度，则平移后的直线解析式为， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是由矩形的性质推出，，得到，．连接，由矩形的性质推出，，得到，推出，因此，由三角形外角的性质得到，于是得到，再根据矩形即可之答案． 详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：50． 15. 如图，一次函数的图象交轴于，一次函数的图象交轴于，交轴于，两函数图象交于点，已知，，的横坐标分别为，，，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的性质，根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想即可解决问题，巧用数相结合的数学思想是解题的关键． 【详解】∵，，的横坐标分别为，，， ∴结合图象可知当时，的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，的对角线交于点分别平分和，， ，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，，，由平行线的性质和等腰三角形的判定可证，由等腰三角形的性质，由三角形中位线定理可求解． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵四边形是平行四边形， ，，，， ， 平分， ， ， ， 又平分， ， ， ，， ， ， 故答案为：1． 三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先将二次根式化简，然后计算加减法即可； （2）利用完全平方公式计算，然后计算除法即可 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 已知一次函数，它的图象经过两点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法，把把代入，建立方程组再解方程，即可作答． （2）根据一次函数的性质：，一次函数的随的增大而减小，然后分别算出当，时，所对应的函数值，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把代入 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ 故一次函数的随的增大而减小 则当时，则； 当时，则； ∴当时，函数值y的取值范围为． 19. 某校八年级进行“经典诵读”比赛．这次活动对每个学生成绩按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数，为了解这次活动的效果，现从甲、乙两个班各随机抽取20名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 甲班20名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 2 4 a b 4 已知甲班这20名学生活动成绩的中位数为8.5 乙班20名学生成绩扇形统计图 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，乙班活动成绩为7分的学生数是______人，乙班活动成绩的众数为______； （2）______，______； （3）甲班总人数为48人，乙班总人数为50人，本次活动认定活动成绩不低于9分为“优秀”，请估计这两个班哪个班达到优秀的学生人数较多． 【答案】（1）2，8 （2）4，6 （3）甲班 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用20乘以②班活动成绩为7分所占的百分比即可；根据8分所占的比例最大为，即可得出众数； （2）根据①班这20名学生活动成绩的中位数为分，即可得出答案； （3）分别求出两个班优秀的学生人数，再进行比较即可． 【小问1详解】 乙班活动成绩为7分的学生数是：（人）， ∵8分所占的比例最大为， ∴乙班活动成绩的众数为8分， 故答案为：2，8； 【小问2详解】 由题意得：， ∴， ∵甲班这20名学生活动成绩的中位数为8.5分， ∴甲班这20名学生活动成绩的第10个数为8，第11个数为9， ∴，， 故答案为：4，6； 【小问3详解】 甲班优秀的学生的人数为：（人） 乙班优秀的学生的人数为：（人） ∵， ∴甲班达到优秀的学生人数最多． 20. 如图，矩形的对角线交于点O，过点A作交直线于点E，过点C作交直线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据四边形为矩形，得出，，，又因为，推出四边形为平行四边形，则，，同理：四边形为平行四边形，，则，，所以四边形是平平行四边形，又因为，，所以，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出，，根据矩形的性质，得出，再根据三角形余角的定义即可得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 四边形为矩形 ，， 又 四边形为平行四边形 ， 同理：四边形为平行四边形，， ， 四边形是平行四边形 又， 四边形是菱形； 【小问2详解】 四边形是菱形， ， 四边形为矩形 又 ， ， 21. 如图，由边长为的小正方形构成的网格，网格线的交点称为格点，，，均为格点，为线段与网格线的交点，请用无刻度直尺画图，并回答相关问题． （1）过点画平行且等于，并写出点到的距离______； 在上画点，使； 画； （2）连接，在取点，使． 【答案】（1）画图见解析，；画图见解析；画图见解析； （2）画图见解析． 【解析】 【分析】（）利用平移变换的性质作出图形，再利用面积法求出点到的距离； 构造等腰直角，交于点，点即为所求； 连接交网格于点，延长交网格于点，即为所求； （）取格点，连接交于点，连接即可； 本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 如图，根据平移的性质可知， ∴即为所求； 设点到的距离， ∵ ∴， ∴， 故答案为：； 如图，构造等腰直角，交于点， 由网格可知是等腰直角三角形， ∴， ∴点即为所求； 连接交网格于点，延长交网格于点， 由网格可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴即为所求； 【小问2详解】 取格点，连接交于点，连接即可， 根据网格和勾股定理得：， ∴四边形菱形， ∴， 又由网格可知：， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴即为所求． 第Ⅱ卷（本卷满分50分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 22. 小明早晨从家骑车到学校先上坡后下坡，行驶的路程与时间的函数图象如图所示，若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是______分钟． 【答案】38 【解析】 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，应先求出上坡速度和下坡速度，注意往返路程上下坡路程的转化． 根据图表可计算出上坡的速度以及下坡的速度．又已知返回途中的上、下坡的路程正好相反，故可计算出共用的时间． 【详解】解：由图中可以看出：上坡速度为：（百米/分） 下坡速度为：（百米/分） 返回途中，上下坡的路程正好相反，所用时间为：（分） 故答案：38． 23. 下表是函数中y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 7 5 3 1 1 3 … 下列结论：①，；②该函数图象是轴对称图形，关于直线对称；③当时，y随x的增大而增大；④若方程组有且只有一个解，则．其中正确的结论是______．（填写正确答案的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程、一次函数的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键． ①将，分别代入中，即可得出答案； ②由，在，可得出对称轴； ③由表格可判断； ④当函数的图象经过点时，可得，此时函数在点右侧的图象与函数的图象重合，进而得出答案． 【详解】解：①将，分别代入中， 即 解得：，故①正确； ②∵，在， ∴对称轴 ∴该函数图象是轴对称图形，关于直线对称，故②正确； ③由表格可知，当时，y随x的增大而增大；故③错误； ④由①可知， 当函数的图象经过点时，， 解得：， 此时函数在点右侧的图象与函数的图象重合， 故当时，函数与函数的图象有且只有一个交点， 即方程组有且只有一个解，故④正确； 故答案为：①②④． 24. 如图，在正方形内含两个正方形和正方形，使点F，I落在边上，E，J分别落在边上，且，当，，三点共线时，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，的延长线交于，设，证明和全等得，，则，，，同理证明得，，则，，，，由勾股定理得，，则，进而得，再根据得，由此解出，进而在中由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作，的延长线交于，如下图所示： 设， 四边形为正方形， ，， 四边形，四边形均为矩形， ， 四边形和四边形均为正方形，且， ，，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 同理：， ，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， ， 整理得：， ， ，即， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 25. 如图1，菱形中，，E是边上一点，F是对角线上一点，且满足，G是的中点，连接和，令，，y与x的函数图象如图2所示，若图象最右边端点N的纵坐标为3，则图象与y轴交点M的纵坐标是______，图象最低点T的纵坐标是______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】连接，证明是等边三角形，可证得，从而得到，进而得到，作点G关于的对称点H，连接，则，，，，从而得到， 观察图象得：当时，y的值等于图象最低点T的纵坐标，当点E与点B重合时，y的值等于图象最右边端点N的纵坐标，即等于图象最右边端点N的纵坐标，当点E与点A重合时，y的值等于图象与y轴交点M的纵坐标，即等于图象与y轴交点M的纵坐标，再由图象最右边端点N的纵坐标为3，可得，从而得到，，再由勾股定理可得，即可求得点M的纵坐标；由，可得，再由勾股定理，即可求解点T的纵坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点G关于的对称点H，连接，则，，，， ∴， 观察图象得：当时，y的值等于图象最低点T的纵坐标，当点E与点B重合时，y的值等于图象最右边端点N的纵坐标，即等于图象最右边端点N的纵坐标，当点E与点A重合时，y的值等于图象与y轴交点M的纵坐标，即等于图象与y轴交点M的纵坐标， ∵图象最右边端点N的纵坐标为3， ∴当点E与点B重合时，， ∵G是的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ， ∴， ∴． 综上所述，图象与y轴交点M的纵坐标为；图象最低点T的纵坐标为 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证得是解题的关键． 五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 26. 某专卖店经销A、B两种型号平板电脑，A型平板电脑进价500元/台，售价700元/台，B型板电脑进价1000元/台，售价1300元/台，该商店准备投入3万元购进一批这两种型号的平板电脑，投入资金全部用完，其中B型平板电脑x台，这批电脑全部销售完毕后的总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍． ①假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货? ②若市场行情有变化，实际销售中可将B型平板电脑售价每台上调m元（），A型平板电脑的售价不变，全部销售完毕可获得的最大利润是12780元，直接写出m的值． 【答案】（1） （2）①A种平板电脑34台，B种平板电脑13台；②152 【解析】 【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键． （1）由“购进A型平板电脑的台数=（总投入-购进B型平板电脑台数×B型平板电脑进价）÷A型平板电脑进价”求出购进A型平板电脑的台数，根据“总利润=（A型平板电脑售价-A型平板电脑进价）×购进A型平板电脑的台数+（B型平板电脑售价-B型平板电脑进价）×购进B型平板电脑的台数”写出y与x的函数关系式即可； （2）①根据题意列关于x的一元一次不等式组并求解；根据（1）中得到的y与x的函数关系式的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时，y的值最大，并求出此时购进A型平板电脑的台数即可； ②B型平板电脑售价每台上调m元后的总利润为元，将（1）中得到的y与x的函数关系式代入并整理，讨论m的取值范围，根据函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y的值最大，求出其最大值，令其最大值为12780，列方程并求出m的值即可． 【小问1详解】 解：A种平板电脑的台数为：台 即y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 ①解：由题知： 又为整数 且x为整数 随x的增大而减小， 当时y有最大值，（台） 此时进货方案为：A种平板电脑34台，B种平板电脑13台． ②根据题意，得． 当时，， ∴y随x的增大而增大， ∵且x为整数， ∴当时，y的值最大，， ∴， ∴； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴y随x的减小而增大， ∵且x为整数， ∴当时，y的值最大，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上，． 27. 已知，正方形是上一点，交的延长线于E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过P的直线平分，分别交于M，N，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，延长交的延长线于F，连，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）要证线段相等，优先考虑全等三角形，因为正方形是轴对称图形，所以一般通过对角线构造小正方形，过P点作于点M，于点N，证即可； （2）过C点作，先证四边形为平行四边形，再证，得到，从而得证； （3）根据勾股定理求出的长度，因为是直角三角形，所以本题转化成求出和的长度，通过，先求出，再利用勾股定理求得，再利用平行分线段成比例求得PF的长度即可求解． 【小问1详解】 证明：过P点作于点M，于点N． 四边形正方形，为对角线 ， 又， ， 又， 而 【小问2详解】 ，理由如下： 过C点作，交于点Q，连接． 为正方形 ，，， 而 四边形为平行四边形 又 又， ； 【小问3详解】 解：如图过P作于点G，于点H， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定等内容，熟练掌握性质定理和添加合适的辅助线是解题的关键． 28. 如图，已知直线交轴于，交轴于，过点的直线交x轴负半轴于． （1）直接写出，的坐标； （2）如图1，若，求的值； （3）如图2，，另有直线交轴于，交轴于，交于，交于． ①当时，求的值； ②直接写出当时，的范围． 【答案】（1）， （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据直线求解即可； （2）在轴下方取一点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，过点作轴的平行线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，证明，可得，，推出，结，可得，证明四边形是矩形，得到，，设，则，，根据，列出方程求出，得到 ，进而求出直线的解析式为，可推出，即可求解； （3）①联立一次函数可得到，，得到关于的方程即可求解；②先求出，由①得，，进而得到，，由可得，即可求解． 【小问1详解】 解：在直线中，令，则， 令，则， 解得：， ，； 【小问2详解】 在轴下方取一点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，过点作轴的平行线，交轴于点，过点作于点，交轴于点， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， 设，则，， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将，，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在中，令，则， 解得：， ， ， 将，代入中， 得：， 解得：； 【小问3详解】 ①联立， 解得：， 联立， 解得：， ， ， ，而， ， 解得：（此时，Q、B、M、N故舍去）或； ②在中，令，则， 解得：， ， 由①知，，， ，， ， ， 即， 当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，并正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟试卷总分：150分） 第Ⅰ卷（本卷满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 若式子有意义，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据，是勾股数的是（ ） A 1，2，3 B. 6，8，10 C. 0.3，0.4，0.5 D. 3，4， 4. 下列表示y与x之间关系的图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形 8. 如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（ ） A. B. C. D. 9. 关于直线描述不正确的是（ ） A. 图象交x轴于点 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过点 D. 图象不经过第一象限 10. 如图，正方形中，点E在上，且，点F是的中点，点G是的中点，延长与的延长线交于点H．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 11. 化简二次根式的结果等于______． 12. 某校拟招聘一名优秀教师，小王面试、笔试、试讲成绩分别为95分、90分、96分．根据实际需要，综合成绩将面试、笔试和试讲三项得分按的比例确定最后成绩，那么小王最后的成绩为__________分． 13. 将直线向下平移2个单位长度，则平移后的直线解析式是______． 14. 如图，在矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是______． 15. 如图，一次函数的图象交轴于，一次函数的图象交轴于，交轴于，两函数图象交于点，已知，，的横坐标分别为，，，当时，的取值范围是______． 16. 如图，的对角线交于点分别平分和，， ，则______． 三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知一次函数，它的图象经过两点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求函数值y的取值范围． 19. 某校八年级进行“经典诵读”比赛．这次活动对每个学生成绩按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数，为了解这次活动的效果，现从甲、乙两个班各随机抽取20名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 甲班20名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 2 4 a b 4 已知甲班这20名学生活动成绩的中位数为8.5 乙班20名学生成绩扇形统计图 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，乙班活动成绩为7分的学生数是______人，乙班活动成绩的众数为______； （2）______，______； （3）甲班总人数为48人，乙班总人数为50人，本次活动认定活动成绩不低于9分为“优秀”，请估计这两个班哪个班达到优秀的学生人数较多． 20. 如图，矩形的对角线交于点O，过点A作交直线于点E，过点C作交直线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求长． 21. 如图，由边长为的小正方形构成的网格，网格线的交点称为格点，，，均为格点，为线段与网格线的交点，请用无刻度直尺画图，并回答相关问题． （1）过点画平行且等于，并写出点到的距离______； 在上画点，使； 画； （2）连接，在取点，使． 第Ⅱ卷（本卷满分50分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 22. 小明早晨从家骑车到学校先上坡后下坡，行驶的路程与时间的函数图象如图所示，若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是______分钟． 23. 下表是函数中y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 7 5 3 1 1 3 … 下列结论：①，；②该函数图象是轴对称图形，关于直线对称；③当时，y随x的增大而增大；④若方程组有且只有一个解，则．其中正确的结论是______．（填写正确答案的序号） 24. 如图，在正方形内含两个正方形和正方形，使点F，I落在边上，E，J分别落在边上，且，当，，三点共线时，则的长是______． 25. 如图1，菱形中，，E是边上一点，F是对角线上一点，且满足，G是的中点，连接和，令，，y与x的函数图象如图2所示，若图象最右边端点N的纵坐标为3，则图象与y轴交点M的纵坐标是______，图象最低点T的纵坐标是______． 五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 26. 某专卖店经销A、B两种型号平板电脑，A型平板电脑进价500元/台，售价700元/台，B型板电脑进价1000元/台，售价1300元/台，该商店准备投入3万元购进一批这两种型号平板电脑，投入资金全部用完，其中B型平板电脑x台，这批电脑全部销售完毕后的总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍． ①假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货? ②若市场行情有变化，实际销售中可将B型平板电脑售价每台上调m元（），A型平板电脑的售价不变，全部销售完毕可获得的最大利润是12780元，直接写出m的值． 27. 已知，正方形是上一点，交的延长线于E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过P的直线平分，分别交于M，N，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，延长交的延长线于F，连，若，，直接写出的长． 28. 如图，已知直线交轴于，交轴于，过点的直线交x轴负半轴于． （1）直接写出，的坐标； （2）如图1，若，求的值； （3）如图2，，另有直线交轴于，交轴于，交于，交于． ①当时，求的值； ②直接写出当时，的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$