精品解析：河南省开封市杞县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年河南省开封市杞县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是分式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为米，用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 4. 矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数y＝2x图象大致是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，若，则度数为（    ） A. B. C. D. 7. 函数y1=|x|，．当y1＞y2时，x的范围是(　　) A. B. C. 或 D. 8. 如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数是（ ）度． A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，，，一动点从点出发，沿着的方向在矩形的边上运动，运动到点停止．点为图1中的某个定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．那么，点的位置可能是图1中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个图象过点，且随的增大而增大的函数解析式：______． 12. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是________． 13. 若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是________． 14. 如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 15. 如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是______． 三、计算题：本大题共1小题，共9分． 16. 一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地货车的路程，小轿车的路程与时间的对应关系如图所示． （1）货车的速度是______，小轿车中途停留了______ （2）分别求出货车行驶的路程与之间的函数表达式及当时，小轿车行驶的路程与之间的函数表达式； （3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？ 四、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：； （3）解方程：． 18. 每年11月9日是全国消防日．为提高师生的消防安全意识和自我保护能力，某校开展了“筑牢消防防线，竞逐知识锋芒”消防安全知识竞赛活动．为了解七、八年级的学生对消防知识的掌握情况，学校从七年级、八年级各随机抽取20名学生进行测试，满分100分，以下是测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】七年级20名学生测试成绩统计如下：56，58，64，67，69，70，70，71，74，77，78，78，84，86，86，86，86，91，92，95． 【整理数据】八年级20名学生测试成绩频数分布表： 成绩 人数 0 4 5 7 4 【描述数据】七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为50≤x＜60）： 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：根据信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 八年级 （1）补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图． （2）请直接写出a，b的值． （3）估计该校八年级参加测试的名学生中成绩在分及以上的人数． （4）请根据“学生参加消防知识竞赛成绩统计表”，从平均数、众数、中位数三个统计量中任意选一个，对本次竞赛中两个年级的成绩做出评价． 19. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 20. 某电商公司根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型小音箱的进价比A型小音箱的进价多10元，用4500元购进A型小音箱的台数是用4000元购进B型小音箱的台数的1.5倍． （1）求每台A，B两种型号的小音箱的进价． （2）该电商公司计划分别购进A，B两种型号的小音箱共70台进行销售，其中A型小音箱台数不少于B型小音箱台数的2倍，A型小音箱每台售价为35元，B型小音箱每台售价为48元，怎样安排进货才能使售完这70台小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形平行四边形； （2）过点E作于点G，若，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求点的坐标，并判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． （3）把直线绕着点在平面内旋转，设旋转后直线为，且设直线的一次函数的解析式为，若直线和正方形只有两个公共点，直接写出旋转后满足条件的直线中的的取值范围注：中的值越大，直线越陡峭，的值越小，直线越平缓 23. 我们可以将命题：“三角形两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半”做如下推理： 已知：如图，在中，，分别是，的中点， 求证：，且． 证明：过点作的平行线交的延长线于点，即， ______， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形，______ ，，______ ，； （1）请在上面括号内标注理由； 【知识应用】请直接利用命题结论解决（2）（3）小题： （2）如图，已知点、、、是四边形各边中点，，，求证：四边形为正方形． （3）请利用图的结论解决图问题：在平行四边形中，，，，点、分别是边，上的动点，连接，，点是上的中点，点是上的中点，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年河南省开封市杞县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是分式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的识别．根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断各选项是否符合条件即可． 【详解】解：A. ：分母是常数，不含字母，不是分式； B. ：分母为，含字母，符合分式定义； C. ：分母是常数3，不含字母，属于整式中的单项式； D. ：分母是常数2，且整体为多项式，不是分式． 故选：B． 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，对于两个变量x、y，若对于每个x的确定值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此求解即可． 【详解】解：由函数的定义可知，A、B、C三个选项中的图象能表示y是x的函数， D选项中的图象不能表示y是x的函数， 故选：D． 3. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为米，用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 4. 矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等量关系“长=矩形的面积 宽”，把相关数值代入即可求解． 【详解】解；由题意得： ． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的面积的灵活应用，关键是找到所求量的等量关系． 5. 一次函数y＝2x图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式知k=2>0，b=-3<0，则一次函数y＝2x的图象经过第一、第三，第四象限，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数y＝2x， ∴k=2>0, b=-3<0， ∴一次函数y＝2x的图象经过第一、第三，第四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，对于一次函数对于一次函数=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第三象限；当k>0，b<0时，一次函数图象经过第一、第三，第四象限；当k<0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第四象限；当k<0，b<0时，一次函数图象经过第二、第三，第四象限． 6. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．根据平行四边形，，进而得，推出，再根据得，由此即可得出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ∴， ， ， ． 故选：C． 7. 函数y1=|x|，．当y1＞y2时，x的范围是(　　) A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】当x≥0时，y1=x，又，∴两直线的交点为（2，2）， 当x＜0时，y1=-x，又，∴两直线的交点为（-1，1）， 由图象可知：当y1＞y2时x的取值范围为：x＜-1或x＞2， 故选C. 【点睛】本题考查的是两条直线相交问题，关键要由已知求出两直线的交点，然后根据数形结合思想进行解答. 8. 如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数是（ ）度． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，尺规作图作角平分线，尺规作图作垂线，角平分线的性质，平行线的性质．先根据矩形的性质得到，由作图痕迹得到，，则，最后根据平行线的性质作答即可． 【详解】解： 如图，∵矩形， ∴， 由作图痕迹可知平分， ∴， 由作图痕迹可知垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据矩形与折叠的性质可得出，，利用证明，设，则，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵翻折， ∴，，， 在与中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 故选A． 10. 如图，矩形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，，，一动点从点出发，沿着的方向在矩形的边上运动，运动到点停止．点为图1中的某个定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．那么，点的位置可能是图1中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】从图2中可看出当x=6时，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，选项中只有点G在BD上，所以点M的位置可能是图1中的点O． 【详解】解：∵AB=2，BC=4，四边形ABCD是矩形， ∴当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上， ∴从选项中可得只有G点符合，所以点M的位置可能是图1中的点G． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当x=6时，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上这一信息． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个图象过点，且随的增大而增大的函数解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质．根据题意及函数的性质可进行求解． 【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大， 可知该函数可以为(答案不唯一)； 故答案为：(答案不唯一)． 12. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，先根据点的坐标得到的长，再由平行四边形对边相等且平行得到，即轴，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴，即轴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是________． 【答案】a>-2且a≠1 【解析】 【分析】先把a看成常数，解出x，根据分式方程有负数解，得到一个关于a的不等式，即可求出a的取值范围. 【详解】去分母得：1-(x+3)=a 解得：x=-a-2 ∵分式方程有负数解 ∴-a-2<0且-a-2≠-3 解得：a>-2且a≠1 ∴实数a的取值范围是a>-2且a≠1. 【点睛】本题考查的是分式方程的解. 14. 如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理．作点关于直线的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接，其与的交点即为点，再作交于点， ∵与关于对称， ∴，，当且仅当，，在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点为对角线的交点， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， 在中，， 即：的最小值为． 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共9分． 16. 一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地货车的路程，小轿车的路程与时间的对应关系如图所示． （1）货车的速度是______，小轿车中途停留了______ （2）分别求出货车行驶的路程与之间的函数表达式及当时，小轿车行驶的路程与之间的函数表达式； （3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？ 【答案】（1）；2 （2）， （3）货车出发小时与小轿车首次相遇 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得货车的速度和小轿车中途停留的时间； （2）根据函数图象中的数据可以分别求得与之间的函数表达式及当时，与之间的函数表达式； （3）根据中的函数解析式和函数图象可以解答本题． 【小问1详解】 解：由题意可得， 货车的速度为：，小轿车中途停留了：， 故答案为：60，2； 【小问2详解】 解：当时，货车行驶的路程为：， 设与之间的函数表达式是， ，得， 即与之间的函数表达式是， 设与之间的函数表达式是， ， 解得， 即与之间的函数表达式是； 【小问3详解】 当时，， 当时，， 得， 答：货车出发小时与小轿车首次相遇． 四、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：； （3）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键． （1）利用有理数的乘方法则，算术平方根的定义，负整数指数幂，绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）将括号内的通分并计算，再将除法化为乘法并约分即可； （3）利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 18. 每年11月9日是全国消防日．为提高师生的消防安全意识和自我保护能力，某校开展了“筑牢消防防线，竞逐知识锋芒”消防安全知识竞赛活动．为了解七、八年级的学生对消防知识的掌握情况，学校从七年级、八年级各随机抽取20名学生进行测试，满分100分，以下是测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】七年级20名学生测试成绩统计如下：56，58，64，67，69，70，70，71，74，77，78，78，84，86，86，86，86，91，92，95． 【整理数据】八年级20名学生测试成绩频数分布表： 成绩 人数 0 4 5 7 4 【描述数据】七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为50≤x＜60）： 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：根据信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 八年级 （1）补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图． （2）请直接写出a，b的值． （3）估计该校八年级参加测试的名学生中成绩在分及以上的人数． （4）请根据“学生参加消防知识竞赛成绩统计表”，从平均数、众数、中位数三个统计量中任意选一个，对本次竞赛中两个年级的成绩做出评价． 【答案】（1）图见解析 （2）， （3）人 （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图、中位数、众数、方差等知识点，掌握中位数、众数、方差的意义是解题的关键． （1）先求出七年级70～80分的人数，然后补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的定义求解即可； （3）根据样本中20名学生测试成绩中在80分及以上的人数为人估计八年级参加测试的300名学生中成绩在80分及以上的人数． （4）根据平均数、众数、中位数的意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：七年级在范围内的人数有（人）， 补全直方图如下所示： 【小问2详解】 解：由七年级20名学生测试成绩可得：成绩从小到大排列处于第十、十一位的数据为：，，则中位数， 86出现4次，次数最多，则众数． 故答案为： ，． 【小问3详解】 解： （人）． 答：估计该校八年级参加测试的名学生中成绩在分及以上的人数有人． 【小问4详解】 从平均数看，八年级学生测试成绩的平均数高于七年级平均数．所以八年级学生成绩好． 从中位数看，八年级学生测试成绩的中位数高于七年级．说明七年级学生成绩大 概有一半在以上，八年级学生成绩大概有一半在以上．所以八年级学生成绩好． 从众数看，七年级学生成绩为分最多，八年级学生得分的最多． （答案不唯一，符合题意即可）． 19. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 20. 某电商公司根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型小音箱的进价比A型小音箱的进价多10元，用4500元购进A型小音箱的台数是用4000元购进B型小音箱的台数的1.5倍． （1）求每台A，B两种型号的小音箱的进价． （2）该电商公司计划分别购进A，B两种型号的小音箱共70台进行销售，其中A型小音箱台数不少于B型小音箱台数的2倍，A型小音箱每台售价为35元，B型小音箱每台售价为48元，怎样安排进货才能使售完这70台小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每台型小音箱的进价为元，每台型小音箱的进价为元 （2）购进型小音箱台，型小音箱台，售完之后所获的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找出数量关系列出方程，不等式以及函数解析式是解答本题的关键． （1）设每台型小音箱的进价为元，则每台型小音箱的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． （2）设购进型小音箱台，则购进型小音箱台，根据题意列出表达式得出的范围，设利润为元，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每台型小音箱的进价为元，则每台型小音箱的进价为元， 依题意得： 解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意． 每台型小音箱的进价：（元） 答：每台型小音箱的进价为元，每台型小音箱的进价为元． 【小问2详解】 设购进型小音箱台，则购进型小音箱台， 依题意得： 解得： 设利润为元，则 随的增大而减少 取最小值时，获得利润最大， 即当时，（元） 所以应购进型小音箱台，型小音箱台，售完之后所获的利润最大，最大利润是元． 21. 如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点E作于点G，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用和，使用证明，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据等腰三角形的三线合一性质可知，，再由求出，采用勾股定理求出的长，即的长，再用等面积法求出的长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 过点E作于点G ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即 ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用等面积法求高是本题的解题技巧，掌握平行四边的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求点的坐标，并判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． （3）把直线绕着点在平面内旋转，设旋转后的直线为，且设直线的一次函数的解析式为，若直线和正方形只有两个公共点，直接写出旋转后满足条件的直线中的的取值范围注：中的值越大，直线越陡峭，的值越小，直线越平缓 【答案】（1），； （2）在；见解析； （3）且．． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，求得交点坐标是解本题的关键． （1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将点代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，通过证得，得出，，即可求得，得出，代入反比例函数解析式即可判定点在反比例函数的图象上． （3）根据直线的旋转，当直线过点时为临界点，求出此时的即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴反比例函数表达式为， 把点代入，得， ∴， 把，分别代入， 得， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：点在反比例函数的图象上． 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点，则， 在中，当时，， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∴直线的解析式为， 当直线过点时，由（2）知，； 当直线顺时针旋转时，不符合题意； 当直线逆时针旋转时，符合题意，直到直线过点， 此时，，解得， 综上，的取值范围：且． 23. 我们可以将命题：“三角形两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半”做如下推理： 已知：如图，在中，，分别是，的中点， 求证：，且． 证明：过点作的平行线交的延长线于点，即， ______， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形，______ ，，______ ，； （1）请在上面括号内标注理由； 【知识应用】请直接利用命题结论解决（2）（3）小题： （2）如图，已知点、、、是四边形各边中点，，，求证：四边形为正方形． （3）请利用图的结论解决图问题：在平行四边形中，，，，点、分别是边，上的动点，连接，，点是上的中点，点是上的中点，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；（2）见解析；（3） ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正方形的判定，三角形中位线定理，能够作出适当的辅助线是解题的关键． （1）由平行四边形的判定与性质可得出结论； （2）证出，同理：，得出，则四边形是平行四边形，由正方形的判定可得出结论； （3）连接，过点作，垂足为，根据三角形中位线定理得出，再由勾股定理分别求出的长度即可求解． 【详解】（1）证明：过点作的平行线交的延长线于点，即， 两直线平行，内错角相等， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，，平行四边形的对边平行且相等 ，； 故答案为：两直线平行，内错角相等；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等； （2）证明：点、是、的中点， ， 同理：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形为正方形． （3）解：的最大值与最小值的差为． 连接，过点作，垂足为， 点是上的中点，点是上的中点， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 的最大值为，最小值为， 的最大值与最小值的差为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$