精品解析：河南省新乡市延津县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024——2025八年级下学期期末学情检测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 【详解】根据二次根式的定义可得：是二次根式 故选：C． 2. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不可以作为直角三角形的三边长，该选项不合题意； 、∵， ∴可以作为直角三角形的三边长，该选项符合题意； 、∵， ∴不可以作为直角三角形的三边长，该选项不合题意； 、∵， ∴不可以作为直角三角形的三边长，该选项不合题意； 故选：． 3. 某次比赛共有23位选手参加角逐争取12个晋级名额，已知他们的分数互不相同，小张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列23名选手成绩统计量中的（ ） A. 众数 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【分析】有23位选手参加角逐争取12个晋级名额，晋级的选手肯定是得分高的12名选手，对23名选手的成绩按照从小到大进行排序，中位数及中位数之后有12个数，知道自己的成绩以及所有选手成绩的中位数即可判定是否能够晋级． 【详解】解：由题意可得，23名选手的成绩按照从小到大进行排序，中位数及中位数之后有12个数， 所以只需要知道自己的成绩以及所有选手成绩的中位数，就能够判断是否能够晋级 故选：C 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 4. 已知点、、在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，由一次函数值的符号，确定随变化情况，即可求解．此类题目只需要根据的符号确定函数随的变化情况，进而求解． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， 故； 故选：A． 5. 如图，在中，是的中线，分别是的中点，连接．已知，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，能够使用2个中点得到中位线是解题的关键．利用中线得到，再由两个中点得到中位线，利用三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：是的中线，， ， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ， 故选A． 6. 如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 7. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个．若要使选定的7个盲盒质量的中位数仍为，则6号盲盒和7号盲盒可以选择（ ） A. 甲、丁 B. 甲、戊 C. 乙、戊 D. 丙、戊 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用中位数的含义，由图形可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：∵要推出由7个盲盒组成的套装产品， ∴中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒， ∵序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， ∴选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100， 结合题图可得，6号盲盒和7号盲盒分别可以选择甲、戊或丙、丁或乙、丁，选项B符合题意 故选：B． 8. 如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式， 观察图象，根据从交点向右时直线在直线的上方，此时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点， ∴不等式的解集是． 故选：C． 9. 如图，菱形的顶点A在轴上，于点．将菱形沿折叠，点的对应点为，连接．若，且点的横坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的横坐标为，可得，则可求得，即可得到点坐标． 【详解】解：记交轴于点， 由折叠的性质得， 四边形为菱形，， ，， ， ， ， 点的横坐标为， ， ， ， ， 则点的坐标为． 10. 如图，在四边形中，，相交于点O，且，．点E从点B开始，沿四边形的边运动，当点E运动到点D的位置时停止运动，与相交于点N，F是线段的中点，连接．下列选项不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 当点E运动到的中点时， C. 当，时，线段的长的最大值为5 D. 当，点E在边上，且时，是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定等．根据平行四边形的判定得出A选项，根据中位线定理判断B选项，根据当点E与点D重合时的值最大得出C选项，进而根据等边三角形的判定判断D选项即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 故A正确，不符合题意． ∵点O，F分别是的中点， ∴是的中位线． ∴， 又∵点E是的中点， ∴． ∴，即 ， 故B正确，不符合题意． 当点E与点D重合时，的值最大． ∵， ∴的最大值是8． ∴，即线段长度的最大值是4， 故C错误，符合题意． ∵，，， ∴， 当时， ， ∴， ∴是等边三角形， 故D正确，不符合题意； 故选C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是最简二次根式，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：当时，是最简二次根式， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义． 12. 如图，这是象棋盘的一部分，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走1步后的落点与出发点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：根据勾股定理，走1步后的落点与出发点间的距离为． 故答案为：． 13. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 乙 丙 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________． 【答案】乙 【解析】 【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵ ∴被录用的是乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 14. “三等分一个任意角”是数学史上的一个著名问题．在探索中，有同学利用如图所示的图形逐步实现特定条件下角的三等分．如图，四边形是平行四边形，点E在对角线上，且，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，由三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，直线与交于点，与轴交于点，且点的横坐标为．动点在线段上，动点在直线上．直线的函数解析式为________．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在的上方，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知直线上的两点D与E的坐标，然后用待定系数法求得k与b的值，从而可得到直线的解析式． 过点作轴，可证，则，设点然后用t的代数式分别表示出线段等，利用求得t的值，则可确定的值，最后利用勾股定理可求得． 【详解】∵直线与AB交于点D，点D在矩形的边上，点B的坐标为，且点D的横坐标为， ∴点D的坐标为，同时在直线上， 又∵直线与y轴交于点， ∴，解得， 故直线的函数解析式为． 如图，过点作轴，交轴于点，交直线于点．则， ∴，即， 因是以N为直角顶点的等腰直角三角形，则，， ∴， ∴，又，， ∴，则． 因点N在直线上，设点且在第二象限， ， 点Q与点B的横坐标相同，为；点A与点B纵坐标相同，为3，则， ，解得 由勾股定理，得． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求解、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用． 解题的关键是：首先，根据矩形的性质及点的坐标特征确定直线上点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式；其次，通过构造辅助线（过点N作轴），将等腰直角三角形的条件转化为全等三角形的判定条件（），进而建立方程求解点N的坐标，最后运用勾股定理计算出线段AN的长度．整个解题过程体现了数形结合思想与方程思想的综合运用，需要较强的几何直观和逻辑推理能力． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）已知a，b满足等式，求的值． 【答案】（1）0（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式和二次根式有意义的条件． （1）先把各项化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，求出a的值，进而求出b的值，然后将a和b的值代入要求的式子中计算即可． 熟练掌握二次根式有意义的条件和二次根式化简是解题的关键． 【详解】解：（1）． （2）由题意，得，且， 解得，且， ，， ． 17. 如图，在平面内，存在一条线段．按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若，试求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图的理解与应用．熟练掌握勾股定理，尺规作图的理解与应用是解题的关键． 先通过设未知数表示出直角三角形各边长度，然后根据作图步骤得到线段之间的关系，从而求出m的值． 【详解】解：， ． ， 设，则， ． 由题意，得， ． ， ． 18. 我们知道直角三角形的一个性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．其逆命题：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于． （1）下面是证明该性质的逆命题的过程，请你补充完整． 如图1，在中，，求证：． 证明：如图1，延长至点D，使得，连接，则 …… 【应用】 （2）如图2，在矩形纸片中，，点G在线段上，连接．将沿折叠，使点A落在上的点E处，则的度数是______． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，矩形与折叠，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明为等边三角形，进而得到，三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据折叠的性质和矩形的性质，推出，进而得到，平行线的性质结合折叠的性质，求出，即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：如图1，延长至点D，使得，连接，则 ， ． ，， ∴垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ． （2）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 由（1）可知：在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 19. 如图，在四边形中，点分别是各边的中点，且，四边形是矩形．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定、三角形中位线、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定、三角形中位线、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键；连接交于点交于点交于点M，由题意易得四边形是平行四边形，，然后可根据菱形的判定及三角形中位线可进行求解． 【详解】证明：如解图，连接交于点交于点交于点M， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是菱形． 20. 2024年12月4日，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．2025年蛇年春节是春节“申遗”成功后的第一个春节，某中学为了提高学生对“非遗文化”的了解，组织七、八年级学生开展了一次“非遗文化”知识竞赛，并从中各抽取25名学生的竞赛成绩（竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分分别记为10分、9分、8分、7分）进行整理分析，并绘制统计图、表如下： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8．76 a 9 1.06 八年级 8．76 8 b 1.38 （1）根据以上信息，直接写出：______，______．把七年级竞赛成绩的条形统计图补充完整． （2）请你分析在这两个年级中，成绩更稳定的是哪个年级，并说明理由． （3）若该校七年级有学生500人参加本次知识竞赛，八年级有学生450人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请你估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）9；10；见解析 （2）七年级更稳定，理由见解析 （3）估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生共有576人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合． （1）根据中位数和众数的定义可知a、b的值，求出C的人数，补全统计图即可； （2）根据方差判断即可； （3）用各年级总人数乘以优秀率相加即可． 【小问1详解】 解：七年级中位数为第13个数，即； 由扇形统计图可知八年级众数为； C的人数为： 补全七年级竞赛成绩条形统计图如图所示． 故答案为：9；10； 【小问2详解】 七年级更稳定． 理由：∵七年级学生竞赛成绩的方差小于八年级的方差， ∴七年级学生竞赛成绩更稳定． 【小问3详解】 （人）． 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生共有576人． 21. 龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，位于洛阳市南郊伊河两岸的龙门山与香山上．为更好地提振文旅消费，该地管理部门推出了针对学生的门票优惠政策． 优惠方案一：每位学生在原价元的基础上全部八折收费． 优惠方案二：若学生人数不超过，每位学生在原价元的基础上全部按九折收费；若学生人数超过，其中名学生按照原价收费，剩余学生按五折收费． （1）分别写出这两个优惠方案实际收取的费用（单位：元）与参观的学生人数之间的函数解析式． （2）当学生人数超过时，试讨论选择哪种优惠方案较合算． 【答案】（1） ； 当时，； 当时，． （2）当时，选择方案一较合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案二较合算． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的应用、一元一次不等式的实际应用，解题关键是熟练掌握一次函数． （1）根据题意分情况列出一次函数解析式即可； （2）分情况讨论，运用一元一次不等式即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，得； 当时，； 当时，． 【小问2详解】 解：由，得， ，得， ，得， ∴当时，选择方案一较合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案二较合算． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． （1）求点的坐标． （2）过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求的面积． 【答案】（1） （2）①；②28 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理： （1）联立函数解析式，进行求解即可； （2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：联立函数解析式，得方程组，解得， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：①由题意，可知：的横坐标均为， 当时，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作轴于点． 由（1），可得． 在中，由勾股定理，得． ， ． ， ，解得， ∴点， ， ∴． 23. 综合与实践 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——折纸引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．根据以上操作，易得，再结合矩形的性质，可得，进而得到． 【初步应用】 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【迁移探究】 如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （3）若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析（2）5（3）的长为或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解；（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：由四边形折叠，得到四边形， ． 四边形是矩形， ， ， ， ． ， ，即． （2）矩形沿所在的直线折叠， ，，． 设，则． 在中，， ， 解得， ， ． （3）由折叠的性质，得，，，， ， ． 分两种情况： ①当点在线段上时． ， ，． ， ， ； （2）当点在线段上时． ， ，． ， ， ． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025八年级下学期期末学情检测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. C. D. 3. 某次比赛共有23位选手参加角逐争取12个晋级名额，已知他们的分数互不相同，小张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列23名选手成绩统计量中的（ ） A. 众数 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数 4. 已知点、、在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是的中线，分别是的中点，连接．已知，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 20 7. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个．若要使选定的7个盲盒质量的中位数仍为，则6号盲盒和7号盲盒可以选择（ ） A. 甲、丁 B. 甲、戊 C. 乙、戊 D. 丙、戊 8. 如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的顶点A在轴上，于点．将菱形沿折叠，点的对应点为，连接．若，且点的横坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，相交于点O，且，．点E从点B开始，沿四边形的边运动，当点E运动到点D的位置时停止运动，与相交于点N，F是线段的中点，连接．下列选项不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 当点E运动到的中点时， C. 当，时，线段的长的最大值为5 D. 当，点E在边上，且时，是等边三角形 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是最简二次根式，则的值可以是________．（写出一个即可） 12. 如图，这是象棋盘的一部分，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走1步后的落点与出发点间的距离为______． 13. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 乙 丙 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________． 14. “三等分一个任意角”是数学史上的一个著名问题．在探索中，有同学利用如图所示的图形逐步实现特定条件下角的三等分．如图，四边形是平行四边形，点E在对角线上，且，，则的度数是______． 15. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，直线与交于点，与轴交于点，且点的横坐标为．动点在线段上，动点在直线上．直线的函数解析式为________．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在的上方，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）已知a，b满足等式，求的值． 17. 如图，在平面内，存在一条线段．按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若，试求m的值． 18. 我们知道直角三角形的一个性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．其逆命题：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于． （1）下面是证明该性质的逆命题的过程，请你补充完整． 如图1，在中，，求证：． 证明：如图1，延长至点D，使得，连接，则 …… 【应用】 （2）如图2，在矩形纸片中，，点G在线段上，连接．将沿折叠，使点A落在上的点E处，则的度数是______． 19. 如图，在四边形中，点分别是各边的中点，且，四边形是矩形．求证：四边形是菱形． 20. 2024年12月4日，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．2025年蛇年春节是春节“申遗”成功后的第一个春节，某中学为了提高学生对“非遗文化”的了解，组织七、八年级学生开展了一次“非遗文化”知识竞赛，并从中各抽取25名学生的竞赛成绩（竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分分别记为10分、9分、8分、7分）进行整理分析，并绘制统计图、表如下： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8．76 a 9 1.06 八年级 8．76 8 b 1.38 （1）根据以上信息，直接写出：______，______．把七年级竞赛成绩的条形统计图补充完整． （2）请你分析在这两个年级中，成绩更稳定的是哪个年级，并说明理由． （3）若该校七年级有学生500人参加本次知识竞赛，八年级有学生450人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请你估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生共有多少人． 21. 龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，位于洛阳市南郊伊河两岸的龙门山与香山上．为更好地提振文旅消费，该地管理部门推出了针对学生的门票优惠政策． 优惠方案一：每位学生在原价元的基础上全部八折收费． 优惠方案二：若学生人数不超过，每位学生在原价元的基础上全部按九折收费；若学生人数超过，其中名学生按照原价收费，剩余学生按五折收费． （1）分别写出这两个优惠方案实际收取的费用（单位：元）与参观的学生人数之间的函数解析式． （2）当学生人数超过时，试讨论选择哪种优惠方案较合算． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． （1）求点的坐标． （2）过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求的面积． 23. 综合与实践 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——折纸引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．根据以上操作，易得，再结合矩形的性质，可得，进而得到． 【初步应用】 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【迁移探究】 如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （3）若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $