精品解析： 广东省广州市海珠区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024学年第二学期质量监测 七年级数学 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第3页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔：写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题（共30分） 一、单选题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 在平面直角坐标系中，点在第（　　）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 如图，、被所截，则的同位角是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. D. 4. 八宝粥是由多种食物熬制而成的，为了直观地显示八宝粥各种成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　） A. 趋势图 B. 折线图 C. 扇形图 D. 直方图 5. 不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列算式中正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图是小海同学一次立定跳远的示意图，小海从点起跳，落到了点处，若米，则小海的跳远成绩可能是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 9. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则中正方形的边长不可能是（　　） A. B. C. D. 10. 甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水．如果甲打满一桶水需要分钟，乙打满一桶水需分钟，要使两人都打满一桶水所用时间和（包括等待时间）最少，应如何安排？（ ） A. 安排甲先打水 B. 安排乙先打水 C. 甲、乙的打水顺序不影响总时间 D. 无法确定 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 某中学共有2500名学生，要想了解全校学生的每周课外阅读时间的情况，从中抽取了200名学生进行统计分析，在这个问题中，样本容量是___________． 12. 如图，直线交于点O，且，则______度． 13. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则a的值为______． 14. 定义运算“◎”，规定，其中、为常数，若，则___________． 15. 抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，则的度数为___________． 16. 将一张长方形纸片如图方式折叠并压平，点B恰好与上与点重合，沿剪去一个边长等于长方形宽的正方形，得到一个长方形，这种“折剪”的过程称为一次操作．现在有一张长为4，宽为的长方形纸片，经过此种三次操作后，得到的图形恰为正方形，则的值为___________． 三、解答题（本题有7个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解不等式或不等式组： （1） （2） 19. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若直角梯形，顶点坐标分别为：，，，，将该四边形平移后，得到四边形，此时，点的对应点的坐标为． （1）请在图中画出平移后的四边形． （2）平移后的坐标为___________． （3）求出四边形与直角梯形重叠部分的面积． 20. 已知：如图， （1）求证：； （2）若平分平分，且，求的度数． 21. 某校在6月6日“全国爱眼日”当天随机抽取50名学生进行视力检测，分成五组，将所得数据进行整理，信息如下： 信息一：视力频数分布表： 组别 A B C D E 人数（频数） 5 8 16 信息二：视力情况频数分布直方图． 请根据图表信息，解答下列问题： （1）___________，___________，并补全视力情况频数分布直方图； （2）抽取的50名学生中视力不低于4.9的学生人数是多少？ （3）若全校有1000名学生，请根据样本估计全校视力不低于4.9的学生人数． 22. 某社区计划组织居民外出参加一场大型公益活动，需要租车接送参与者．社区工作人员收集了以下租车信息： 信息1 豪华大巴载客量为50人，普通中巴载客量为30人，若租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元． 信息2 本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元，且租用的汽车总数为10辆． 请完成以下任务： 【任务1】请计算一辆豪华大巴和一辆普通中巴的租金分别为多少元？ 【任务2】要控制租车费用在预算范围内，在确保所有参加活动的居民能够一次性送达且不超载的前提下，请列出所有可行的租车方案并找出最省钱的方案． 23. 【阅读材料】 已知：实数满足，且，求的值． 对于上述问题，三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于的方程组，再求的值． 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求的值． 丙同学：先解方程组，再求的值． 【解决问题】 （1）请你选择___________（用“甲”“乙”或“丙”填空）同学思路，写出解答过程． （2）试说明在关于的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变． 附加题：有能力的同学请选做附加题，将作为评优秀的依据 24. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射两条反射光线，且．设镜子与的夹角． 【问题初探】 （）图①是一种由两面镜子、组成的反光镜，当两面镜子，的夹角___________．时，与平行，请说明理由； 【拓展应用】 （）图②是一种由三面镜子组成的反光镜，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜子的夹角，已知入射光线从镜子开始反射，经过次反射后，反射光线与入射光线平行，请直接写出与的等量关系：___________． 【深入探究】 （）如图③，若，，入射光线与反射光线的夹角．若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． 25. 现需要用若干质地均匀、横截面形状大小相同、长度不同的小木棒拼成一条长木条，拼接过程小木棒不能折断，两根木棒间的接缝长度忽略不计． （1）若用12根长度为和的小木棒拼成一条总长度为的长木条，请计算两种长度的小木棒各用了多少根． （2）若使用若干根长度为和的小木棒拼成一条总长度为的长木条，其中长为的小木棒数量小于长为的小木棒数量的两倍，请设计一个方案，使得使用小木棒的总数量最少． （3）这些小木棒质地均匀、横截面大小形状相同，则这些小木棒的重量跟长度有关，当小木棒数量较多时，可以通过称量小木棒的重量来计算木棒的数量，已知这些小木棒每重．现有一堆含长度为和的混合小木棒100根，称得这些小木棒重量为．把木棒按，分成三堆，使用天平称，称得每堆重量的大小关系如图所示，请问能否使用这堆木棒围成一个正方形？若可以，请举例说明；若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期质量监测 七年级数学 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第3页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔：写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题（共30分） 一、单选题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 在平面直角坐标系中，点在第（　　）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据平面直角坐标系各象限的坐标符号特征判断点所在的象限即可，解题的关键是理解在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴符合第四象限的符号特征， ∴点在第四象限， 故选：． 2. 如图，、被所截，则的同位角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同位角，熟练掌握定义是解题的关键．根据同位角的定义判断即可． 【详解】解：如图，、被所截， 和在和的上方，在的同一侧 的同位角是 故选：A． 3. 下列四个数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：、是有理数，不符合题意； 、是分数，属于有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 、是有理数，不符合题意； 故选：． 4. 八宝粥是由多种食物熬制而成的，为了直观地显示八宝粥各种成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　） A. 趋势图 B. 折线图 C. 扇形图 D. 直方图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、趋势图、折线统计图、直方图，根据扇形统计图特点即可求解，解题的关键是理解扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；直方图用于展示连续数据的分布情况，如不同区间的频数分布，趋势图通常与折线图类似，非标准统计图名称． 【详解】解：根据题意，为了直观地显示八宝粥各种成分的百分比，最适合使用的统计图是，应选择扇形统计图， 故选：． 5. 不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 数轴表示为． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式组的解法、不等式组解集在数轴上的表示法等知识，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 下列算式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根与立方根的概念及运算，解题关键是注意符号，区别题目所求的是平方根还是算术平方根． 根据二次根和三次根定义，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、表示9的算术平方根，结果为非负数，故，而非，错误； B、表示-27的三次根，因，故，正确； C、表示9的平方根，应为，但选项写为，漏掉负根，错误； D、先计算被开方数为，故，但选项写为，错误． 故选：B． 7. 如图是小海同学一次立定跳远的示意图，小海从点起跳，落到了点处，若米，则小海的跳远成绩可能是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，小海的跳远成绩是按照垂线段测量，根据垂线段最短可得到结果，准确理解垂线段最短的定义是解题的关键． 【详解】解：由题可得，小海的跳远成绩是按照垂线段测量， ∵米， ∴按照垂线段最短定理可得小强的跳远成绩一定小于米，选项中只有选项满足， 故选：． 8. 已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴，，，． 故☆表示的方程可能是． 故选C． 9. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则中正方形的边长不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的大小比较，根据算术平方根的定义，求出大小正方形的长，从而得出正方形的边长取值范围，再用估算无理和大小方法求解即可，结合已知条件，求得正方形的边长范围是解题的关键． 【详解】解：设大正方形的边长为，中正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得，， ∴，， ∴， 即正方形的边长取值范围为， 又， ∴选项不符合题意，符合题意， 故选：． 10. 甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水．如果甲打满一桶水需要分钟，乙打满一桶水需分钟，要使两人都打满一桶水所用时间和（包括等待时间）最少，应如何安排？（ ） A. 安排甲先打水 B. 安排乙先打水 C. 甲、乙的打水顺序不影响总时间 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了不等式的应用，解题关键是熟练掌握作差法，通过比较单次打水时间，依据让用时短者先打水可最小化总等待时间的原则，计算并对比不同顺序的总时间来确定最优安排 ； 分两种情况讨论：若甲先打水，和若乙先打水，分别求出两人都打满一桶水所用时间和，比较即可求解． 【详解】∵， 由于，故， 即乙的单次打水时间比甲短． 故乙的打水时间总比甲短． 甲打水时间为分钟，乙打水时间为分钟．乙等待甲打水的时间∶分钟，加上乙自己打水的时间b分钟， 此时两人都打满一桶水所用时间和为分钟； 若乙先打水， 乙打水时间∶分钟，甲等待乙打水的时间∶分钟，加上甲自己打水的时间钟， 此时两人都打满一桶水所用时间和为分钟； ∴ ∴乙先打水时总时间更短． 故选：B． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 某中学共有2500名学生，要想了解全校学生的每周课外阅读时间的情况，从中抽取了200名学生进行统计分析，在这个问题中，样本容量是___________． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，根据总体、个体、样本、样本容量的意义，即可解答．熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 【详解】解：某中学共有2500名学生，要想了解全校学生的每周课外阅读时间的情况，从中抽取了200名学生进行统计分析，在这个问题中，样本容量是200， 故答案为：200． 12. 如图，直线交于点O，且，则______度． 【答案】120 【解析】 【分析】根据题意和对顶角相等求出的度数，根据邻补角的性质求出的度数． 【详解】∵，， ∴， ∴． 故答案为120． 【点睛】本题考查了对顶角的性质和邻补角的定义，掌握对顶角相等、邻补角的定义是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则a的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了点所在的象限，熟练掌握轴上的点的横坐标等于0是解题关键．根据轴上的点的横坐标等于0可得，由此即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在轴上， ∴， 解得， 故答案为：6． 14. 定义运算“◎”，规定，其中、为常数，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 由新定义可得方程组，利用加减消元法解方程组，求出，的值，进而得出答案． 【详解】解：由新定义可得方程组：， ，得③， ①③，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ． 故答案为：． 15. 抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，则的度数为___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，延长交于，先证明，再利用三角形的外角的性质求解即可．关键是平行线性质的熟练掌握． 【详解】解：如图，延长交于， ，， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 16. 将一张长方形纸片如图方式折叠并压平，点B恰好与上与点重合，沿剪去一个边长等于长方形宽的正方形，得到一个长方形，这种“折剪”的过程称为一次操作．现在有一张长为4，宽为的长方形纸片，经过此种三次操作后，得到的图形恰为正方形，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，先分别表示三次裁剪后的正方形的边长，再建立方程求解即可． 【详解】解：第一次操作后剩余长方形的两边分别为，， 第二次操作后剩余长方形的两边分别为，， 第三次操作后剩余长方形的两边分别为，，或，； ∴或， 解得：或； 故答案为：或 三、解答题（本题有7个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）首先计算算术平方根、开立方，后算加减即可； （2）首先计算乘法、绝对值，后算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式或不等式组： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，以及解一元一次不等式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）依次解不等式，再根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），即可得到不等式组的解集． （2）根据解一元一次不等式的方法，按步骤计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组无解； 【小问2详解】 解： 去分母，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得． 19. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若直角梯形，顶点坐标分别为：，，，，将该四边形平移后，得到四边形，此时，点的对应点的坐标为． （1）请在图中画出平移后的四边形． （2）平移后的坐标为___________． （3）求出四边形与直角梯形重叠部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系，作图—平移变换，平移的性质，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）先作出平面直角坐标系，再根据平移的性质求解即可； （2）根据所作图形求解即可； （3）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 由（1）得，平移后的坐标为； 【小问3详解】 由（1）得，重叠的部分为 的面积． 20. 已知：如图， （1）求证：； （2）若平分平分，且，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义： （1）先由，得，再结合，进行角的等量代换，即可作答． （2）先由，得，再结合角平分线的定义，得，因为平分，得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ， ∵平分， ∴， 又∵平分， ∴． 21. 某校在6月6日“全国爱眼日”当天随机抽取50名学生进行视力检测，分成五组，将所得数据进行整理，信息如下： 信息一：视力频数分布表： 组别 A B C D E 人数（频数） 5 8 16 信息二：视力情况频数分布直方图． 请根据图表信息，解答下列问题： （1）___________，___________，并补全视力情况频数分布直方图； （2）抽取的50名学生中视力不低于4.9的学生人数是多少？ （3）若全校有1000名学生，请根据样本估计全校视力不低于4.9的学生人数． 【答案】（1）18，3，见解析 （2）人 （3）人 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图和频数分布表的知识，读懂统计图表获取必要的信息是解题的关键． （1）由频数分布直方图可知，再根据样本容量是50求出，补全频数分布直方图即可； （2）根据数据计算即可； （3）用1000乘以视力不低于4.9的百分比即可． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可知， ， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：18，3； 【小问2详解】 不低于4.9的学生人数是人； 答：抽取的50名学生中视力不低于4.9的学生人数是21人； 【小问3详解】 （人）， 答：估计全校视力不低于4.9的学生人数为420人． 22. 某社区计划组织居民外出参加一场大型公益活动，需要租车接送参与者．社区工作人员收集了以下租车信息： 信息1 豪华大巴载客量为50人，普通中巴载客量为30人，若租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元． 信息2 本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元，且租用的汽车总数为10辆． 请完成以下任务： 【任务1】请计算一辆豪华大巴和一辆普通中巴的租金分别为多少元？ 【任务2】要控制租车费用在预算范围内，在确保所有参加活动的居民能够一次性送达且不超载的前提下，请列出所有可行的租车方案并找出最省钱的方案． 【答案】[任务1] 一辆豪华大巴车的租金为500元，一辆普通中巴车的租金为350元；[任务2] 方案一：租租豪华大巴车8辆，租租普通中巴车2辆，租金为元；方案二：租租豪华大巴车9辆，租租普通中巴车1辆，租金为元，方案一最省钱 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到等量关系列出方程组是解题关键． [任务1]设一辆豪华大巴车的租金为元，一辆普通中巴车的租金为元，根据“租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元”列出方程组，解方程组即可； [任务2]设租豪华大巴车辆，则租普通中巴车辆，根据“本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元”列出不等式组，解不等式组求出的取值范围，结合为整数求出的值即可得出租车方案，再求出两种租车方案的费用比较即可． 【详解】解：[任务1]设一辆豪华大巴车的租金为元，一辆普通中巴车的租金为元， 根据题意得：， 解得， 答：一辆豪华大巴车的租金为500元，一辆普通中巴车的租金为350元； [任务2]设租豪华大巴车辆，则租普通中巴车辆， 根据题意得：， 解得， 为正整数， 或， 该社区有两种租车方案： 方案一：租租豪华大巴车8辆，租租普通中巴车2辆，租金为（元）； 方案二：租租豪华大巴车9辆，租租普通中巴车1辆，租金为（元） ， 方案一更省钱． 23. 【阅读材料】 已知：实数满足，且，求的值． 对于上述问题，三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于的方程组，再求的值． 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求的值． 丙同学：先解方程组，再求的值． 【解决问题】 （1）请你选择___________（用“甲”“乙”或“丙”填空）同学思路，写出解答过程． （2）试说明在关于的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变． 【答案】（1）乙（答案不唯一） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）选择不同同学的思路，解方程即可； （2）将第一个方程两边同乘2再与第二个方程相加并计算即可． 【小问1详解】 解：选择甲同学的思路， ， ①②得， 把代入①可得， 解得， 方程的解为， ， 解得； 选择乙同学的思路， 将原方程组中的两个方程相加得， 整理得：， ， ， 解得：； 选择丙同学的思路， ， ①②得， 把代入①，可得， 解得， 方程的解为， 则， 解得． 故答案为：乙（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：， ①②得：， 整理得：， 即不论取什么实数，的值始终不变． 附加题：有能力的同学请选做附加题，将作为评优秀的依据 24. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射两条反射光线，且．设镜子与的夹角． 【问题初探】 （）图①是一种由两面镜子、组成的反光镜，当两面镜子，的夹角___________．时，与平行，请说明理由； 【拓展应用】 （）图②是一种由三面镜子组成的反光镜，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜子的夹角，已知入射光线从镜子开始反射，经过次反射后，反射光线与入射光线平行，请直接写出与的等量关系：___________． 【深入探究】 （）如图③，若，，入射光线与反射光线的夹角．若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． 【答案】（）；（）；（） 【解析】 【分析】（）由平行线的性质可得，即得，得到，进而即可求解； （）过点作，可得，由平行线的性质得，利用三角形内角和定理可得，即得，同理得，进而由平行线的性质得到，化简即可求解； （）由图可得，，即得，再根据锐角三角形的定义列出不等式组解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）当时，与平行，理由如下： 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即两面镜子，的夹角时，与平行， 故答案为：； （）如图，、、为反射光线，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （）解：由图可得，， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∵三角形为锐角三角形， ∴， 解得． 25. 现需要用若干质地均匀、横截面形状大小相同、长度不同的小木棒拼成一条长木条，拼接过程小木棒不能折断，两根木棒间的接缝长度忽略不计． （1）若用12根长度为和的小木棒拼成一条总长度为的长木条，请计算两种长度的小木棒各用了多少根． （2）若使用若干根长度为和的小木棒拼成一条总长度为的长木条，其中长为的小木棒数量小于长为的小木棒数量的两倍，请设计一个方案，使得使用小木棒的总数量最少． （3）这些小木棒质地均匀、横截面大小形状相同，则这些小木棒的重量跟长度有关，当小木棒数量较多时，可以通过称量小木棒的重量来计算木棒的数量，已知这些小木棒每重．现有一堆含长度为和的混合小木棒100根，称得这些小木棒重量为．把木棒按，分成三堆，使用天平称，称得每堆重量的大小关系如图所示，请问能否使用这堆木棒围成一个正方形？若可以，请举例说明；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）的小木棒用了8根，的小木棒用了4根 （2）使用的小木棒3根，的小木棒13根时，使用小木棒的总数量最少 （3）解：设长度为的小木棒a根，长度为的小木棒b根，长度为的小木棒c根，则 ， 整理得， ∴，且， ∴为大于小于等于的正整数， ∵由天平秤可知， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∵， ∴举例如下：正方形的两边选择长度为的小木棒10根，长度为的小木棒2根，长度为的小木棒5根， 此时， 另外两边选择长度为的小木棒30根，长度为的小木棒3根， 此时， ∴选择方法可以为：选择长度为的小木棒80根，长度为的小木棒10根，长度为的小木棒10根，可以围成一个正方形． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式解决实际问题． （1）设的小木棒用了x根，的小木棒用了y根．根据“12根长度为和的小木棒拼成一条总长度为的长木条”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设使用的小木棒m根，则使用的小木棒根，根据“长为的小木棒数量小于长为的小木棒数量的两倍”列出不等式，求出m的取值范围，再根据m，为非负整数，得到m的值，进而即可求解； （3）设长度为的小木棒a根，长度为的小木棒b根，长度为的小木棒c根，根据“混合小木棒100根，这些小木棒重量为”列出方程组，得到b，c的关系，由天平秤得到，从而确定满足题意的a，b，c的值，再进一步举例即可解答． 【小问1详解】 解：设的小木棒用了x根，的小木棒用了y根．根据题意，得 ， 解得， 答：的小木棒用了8根，的小木棒用了4根． 【小问2详解】 解：设使用的小木棒m根，则使用的小木棒根，根据题意，得 ， 解得， ∵m，为非负整数， ∴， 当时，使用的小木棒根，总共根； 当时，使用的小木棒根，总共根； 当时，使用的小木棒根，总共根， ∴使用的小木棒3根，的小木棒13根时，使用小木棒的总数量最少． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $