专题3.2 勾股定理的逆定理（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

专题3.2 勾股定理的逆定理 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理的逆定理 1 知识点梳理02：勾股数 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：勾股树（数）问题 2 考点2：判断三边能否构成直角三角形 4 考点3：在网格中判断直角三角形 6 考点4：利用勾股定理的逆定理求解 10 考点5：勾股定理逆定理的拓展问题 13 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 20 基础夯实 20 培优拔高 26 知识点梳理01：勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 知识点梳理02：勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 考点1：勾股树（数）问题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【思路引导】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为 ，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为 ， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 【变式训练1】（2025八年级下·全国·专题练习）在下列四组数中，属于勾股数的是（   ） A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A．1，，不都是整数，故不是勾股数，不符合题意； B．，故是勾股数，符合题意； C．，故不是勾股数，不符合题意； D．0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级上·全国·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【思路引导】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【规范解答】解：如图，由题意得，正方形的面积为，由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积为， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… “生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：C． 考点2：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析 (2)能；35，12，37 【思路引导】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 【规范解答】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【考点剖析】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 【变式训练1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 【答案】A 【思路引导】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负性． 由非负数的和为0可得各边长，再验证是否满足勾股定理的逆定理即可判断形状． 【规范解答】解：由方程可知，每个非负数项均为0，得： ，，， 解得：，，， 三边分别为9、12、15， 验证勾股定理的逆定理： 满足，故该三角形为直角三角形， 故选：A． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【思路引导】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的定义等知识点，利用非负数的性质得出a、b、c之间的关系是解题的关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 考点3：在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，．动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回．点，运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止．连接，设运动时间为秒． (1)判断的形状，并说明理由； (2)记的面积为，请用含有的代数式来表示； (3)伴随着，两点的运动，线段的垂直平分线为直线．当直线经过点时，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)当时，；当时， (3) 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质、列代数式等知识，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可得； （2）分两种情况：①和②，先求出的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）分两种情况：①和②，先求出的长，从而可得的长，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【规范解答】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：由题意可知，动点从点出发沿运动到终点所需时间为秒，动点从点出发沿运动到点所需时间为秒， ①当时，， 则的面积； ②当时，， 则的面积； 综上，当时，；当时，． （3）解：如图，连接， ①当时，，， ∴， ∵线段的垂直平分线为直线， ∴， 在中，，即， 解得，符合题设， 此时； ②当时，，， 同理可得：， 在中，，即， 解得（不符合题设，舍去）， 综上，的长为． 【变式训练1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，每个小正方形的边长为1．    (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)四边形的面积为，周长为 (2)是直角，理由见解析 【思路引导】本题考查勾股定理；勾股定理逆定理，数形结合是解题的关键； （1）根据勾股定理直接求解及割补法求解即可得到答案； （2）根据勾股定理逆定理直接判断即可得到答案； 【规范解答】（1）解：由题意可得， ，，，， 则四边形的周长为 由图形可得，   ； （2）解：是直角，理由如下， 由勾股定理得，   ， ∵， ∴是直角． 【变式训练2】（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点，连接，利用证明，推出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，再利用等量代换即可解答． 【规范解答】解：如图：取格点，连接，    ∵，，， ∴， ∴， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 考点4：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在的正方形网格中每个小方格都是边长为的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段的端点、都在格点上． (1)在所给的的正方形网格中，不限方法画出一个以为直角边的直角； (2)试计算所画的的面积． 【答案】(1)画图见解析；（画出三个中的一个即可） (2)图和图中两直角面积都是，图中直角面积是． 【思路引导】（）根据网格特点及勾股定理逆定理画图即可； （）根据（）中所作的图形，利用割补法求出三角形面积即可； 本题考查了利用网格和勾股定理逆定理画直角三角形，利用割补法三角形面积，利用网格正确画出直角三角形是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所求，即为所求；（画出三个中的一个即可） （2）解：当所画的直角三角形是图时，； 当所画的直角三角形是图时，； 当所画的直角三角形是图时，． 【变式训练1】（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（    ） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查垂线段的性质勾股定理的逆定理，解题的关键是学会由面积法求高．根据垂线段最短可知，当P与D重合时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴， 过点B作于点D， 则， ∴， 故选C． 【变式训练2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】如图，连接，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，得，由等边三角形的性质得到，， 证明，得，在中，根据勾股定理的逆定理可得，即可得解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【考点剖析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识点．掌握等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． 考点5：勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 【答案】(1)锐角； (2)或 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可． 根据题意，三角形的三边长分别是，，，其中最长边是，计算出和的大小，从而可以判断三角形的形状； 当是最长边时，可得方程，解方程求出即可，当是最长边时，可得方程，解方程求出即可． 【规范解答】（1）解：三角形的三边长分别是，，，其中最长边是， ， 该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）解：三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 故答案为：或． 【变式训练1】（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【答案】A 【思路引导】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【规范解答】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为 ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形， 故不符合题意； B、∵三边之比为， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵三边长分别为，2，， ∴， ∴三角形为直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 【变式训练2】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【思路引导】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【规范解答】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 1．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 2．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】见解析 【思路引导】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解． 【规范解答】解：如图所示，    如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形， 如图②，，，则，则是等腰直角三角形， 如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形， 【考点剖析】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【思路引导】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可． 【规范解答】∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱， ∴直棱柱的高， ∴，，，， ∵， ∴选B． 【考点剖析】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键． 4．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿 方向航行． 【答案】北偏东50°（或东偏北40°） 【思路引导】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解． 【规范解答】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里， ∴， ∴∠APB=90°， ∴， ∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行； 故答案为北偏东50°（或东偏北40°）． 【考点剖析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 5．（2022·山东滨州·中考真题）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（  ） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，， 3 【答案】B 【思路引导】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【规范解答】A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误； B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确； C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误； D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误． 故选：B 【考点剖析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的一组数据是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【思路引导】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理判断即可．如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形． 【规范解答】解：A、，所以1，2，3不能作为直角三角形的三边，不符合题意； B、，所以2，3，4不能作为直角三角形的三边，不符合题意； C、，所以3，4，5能作为直角三角形的三边，符合题意； D、，所以4，5，6不能作为直角三角形的三边，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．，， 【答案】B 【思路引导】本题考查的是勾股数，勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念逐一验证判断即可． 【规范解答】解：A 、 即 36， 64，100，，而 ，不满足 ，所以，，不是勾股数，不符合题意； B 、5，12，13，均为正整数，且 ，满足勾股定理，是勾股数，符合题意； C 、1.5，2，2.5包含小数，非正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数，不符合题意； D 、 不是正整数，且 ，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意． 故选：B ． 3．（24-25八年级下·河南周口·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【规范解答】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：B． 4．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 【答案】A 【思路引导】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【规范解答】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A 5．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 【答案】D 【思路引导】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【规范解答】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ． 【答案】17 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．据此求解即可． 【规范解答】解：①3，4，5中； ②5，12，13中； ③7，24，25中； ④9，40，41中； …． ∴， ∴， （负值已舍）． 故答案为：17． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：点、 ，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、 ，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 是直角三角形，故点符合题意； 点、 ，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若是的三边，且，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如下图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，求四边形的面积．（单位：米） 【答案】 【思路引导】先根据勾股定理算出的长，进而可以得到的各边长，再根据勾股定理的逆定理得到此三角形是直角三角形，进而得到所求面积为的面积减去的面积，即可得到答案； 【规范解答】解：∵， ， ， ， 是直角三角形，且 【考点剖析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解决此题的关键是合理的利用勾股定理逆定理． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地（图中的阴影部分）．经测量，，，，且． (1)试说明：； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】(1)见解析； (2)此块空地全部种植花卉共需花费元． 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一定理． 根据可得，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，且；      过作于点，根据等腰三角形的三线合一定理可得，利用勾股定理可求，根据可求种植花卉的面积，再根据每种植花卉需要花费元，求出总费用即可． 【规范解答】（1）证明：， ， 是直角三角形，且；                              （2）解：如图，过作于点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， （元）， 答：此块空地全部种植花卉共需花费元．   培优拔高 11．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，点D是等边三角形内一点，，，，是由绕点A逆时针旋转得到的，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】连接，由旋转的性质可证明是等边三角形，得，再由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形得出，进而求出，利用等边对等角求出，从而可得出结论． 【规范解答】解：连接，如图： ∵是等边三角形， ∴， ， 由旋转的性质可得， ∴，即， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ， 故选：A． 【考点剖析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解本题的关键是判断出是等边三角形． 12．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．由勾股定理的逆定理可知，由折叠的性质可知，，，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】解：在中，，，， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故选：D 13．（24-25八年级上·山东济南·期末）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（    ） A．3，4，5 B．4，5，7 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【规范解答】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴能够成直角三角形，故本不选项符合题意． 故选：B． 14．（24-25七年级上·山东泰安·期中）在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理，找出数据之间的关系是解题的关键．由勾股数组：，…，分析变化规律，即可获得答案． 【规范解答】解：由勾股数组：，…， ∴第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 第5组勾股数中间的数为：，即勾股数组， 第6组勾股数中间的数为：，即勾股数组． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点D作交于H，连接，可证明得到，进而得到；证明，得到，则垂直平分，可得，可设，则，，，再证明，根据三角形面积得到，再进一步可得答案． 【规范解答】解：如图所示，过点D作交于H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 16．（22-23八年级上·重庆·期中）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可． 【规范解答】解：设， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则 米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则 米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 18．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，已知等腰中，，，是边上一点，且，． (1)求 的长； (2)求中边上的高． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出是解此题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理求出，求出，再根据勾股定理求出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出即可． 【规范解答】（1）∵，且，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； （2）， 过A作于E，则是的高，    ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即中边上的高是． 19．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据折叠的对称性，即可作折叠后的； （2）根据折叠的性质，求证是等边三角形，由勾股定理逆定理得是直角三角形，得到即可求； 【规范解答】（1）解：以点D为圆心，分别以为半径，画弧，二弧交于点E， 连接， 则即为所求． （2）解：根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，且， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查轴对称的基本作图，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握折叠的尺规作图实质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的应用是解题关键． 20．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，，，点是延长线上一点，连接，若． (1)试说明：是直角三角形； (2)求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题考查的是勾股定理的逆定理和勾股定理，掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可证明． （2）根据勾股定理求出，求出，过点作于，再根据三角形的面积公式求出即可． 【规范解答】（1）解：在中，，， ， 是直角三角形且为直角； （2）解：在中，， ， 过点作于， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 勾股定理的逆定理 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理的逆定理 1 知识点梳理02：勾股数 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：勾股树（数）问题 2 考点2：判断三边能否构成直角三角形 3 考点3：在网格中判断直角三角形 4 考点4：利用勾股定理的逆定理求解 5 考点5：勾股定理逆定理的拓展问题 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 11 知识点梳理01：勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 知识点梳理02：勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 考点1：勾股树（数）问题 【典例精讲】（24-25八年级上·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【变式训练1】（2025八年级下·全国·专题练习）在下列四组数中，属于勾股数的是（   ） A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5 【变式训练2】（24-25八年级上·全国·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 考点2：判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【变式训练1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 【变式训练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 考点3：在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，．动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回．点，运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止．连接，设运动时间为秒． (1)判断的形状，并说明理由； (2)记的面积为，请用含有的代数式来表示； (3)伴随着，两点的运动，线段的垂直平分线为直线．当直线经过点时，求的长． 【变式训练1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，每个小正方形的边长为1．    (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【变式训练2】（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 考点4：利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在的正方形网格中每个小方格都是边长为的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段的端点、都在格点上． (1)在所给的的正方形网格中，不限方法画出一个以为直角边的直角； (2)试计算所画的的面积． 【变式训练1】（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（    ） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 【变式训练2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点5：勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 【变式训练1】（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【变式训练2】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 1．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 2．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    3．（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 4．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿 方向航行． 5．（2022·山东滨州·中考真题）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（  ） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，， 3 基础夯实 1．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的一组数据是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．，， 3．（24-25八年级下·河南周口·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 5．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 8．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若是的三边，且，则的面积为 ． 9．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如下图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，求四边形的面积．（单位：米） 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地（图中的阴影部分）．经测量，，，，且． (1)试说明：； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 培优拔高 11．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，点D是等边三角形内一点，，，，是由绕点A逆时针旋转得到的，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 13．（24-25八年级上·山东济南·期末）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（    ） A．3，4，5 B．4，5，7 C．5，12，13 D．6，8，10 14．（24-25七年级上·山东泰安·期中）在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 ． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为 ． 16．（22-23八年级上·重庆·期中）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 17．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 18．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，已知等腰中，，，是边上一点，且，． (1)求 的长； (2)求中边上的高． 19．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，连接，求的度数． 20．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，，，点是延长线上一点，连接，若． (1)试说明：是直角三角形； (2)求点到的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$