精品解析：湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年度下学期期末质量监测 八年级数学 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 计算的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小颖（点B）到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 一组数据：2，3，7，8，10，11，13，14，16中位数是（ ） A. 16 B. 11 C. 10 D. 8 7. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）． A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对顶角相等 C. 同位角相等 D. 若，则 8. 一组数据按从小到大的顺序排列为：1，2，3，x，6，9，如果这组数据的中位数是4.5，那么这组数据的众数为（ ） A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5 9. 如图，在平行四边形中，．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点P，交于点Q；再分别以点P、Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线交的延长线于点E．则的长是（ ） A. B. C. D. 1 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随x的增大而减小 B. 当时， C. 方程组的解为 D. 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算的结果是________． 12. 某一次函数的图像经过点，且该函数随的增大而减小．请写出一个符合条件的一次函数的表达式________． 13. 下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 平均数 9.35 9.34 9.34 方差 6.6 69 6.7 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择________． 14. 如图，一艘轮船从港口O出发向东北方向航行了到达A处，在港口的东南方向处有一灯塔B，此时A，B之间的距离为____________． 15. 如图，在矩形中，点E是边上一点，，将沿折叠得，连接，若平分．则（1）_________；（2）的长是_________． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 18. 周末，启智数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为，风筝线的长为，牵线放风筝的手到地面的距离的长为． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请你帮助他们完成以下任务： （1）根据测量所得数据，则风筝离地面的垂直高度_________； （2）若风筝沿方向下降了到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 19. 红星中学以“守法规知礼让，安全文明出行”为主题，组织交通安全知识竞赛．现从七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩均为整数，成绩得分用x表示），共分成五个等级：（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：），（其中成绩大于90为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的20名学生成绩在D等级中的数据是：81，85，85，85，85，89． 八年级抽取的20名学生成绩在D等级中的数据是：82，84，85，85，87，89，89． 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 81.4 a 85 15% 八年级 83.3 85 b 25% 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七、八年级各有600名学生参与了知识竞赛，请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生人数一共有多少？ 20. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，的图象交x轴于点B，且两条直线相交于点． （1）则_________， _________； （2）求的面积； （3）结合图象，直接写出不等式的解集． 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 22. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．某航模店在取得官方授权后，推出了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“天宫”模型的成本是“神舟”模型成本的，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）求每个“神舟”和“天宫”模型的成本分别是多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型其100个，且每个“神舟”模型的售价为34元，“天宫”模型的售价为26元．设购买“神舟”模型m个，销售这批模型的利润为w元． ①求w关于m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图①，在正方形中，是上的点（不与、重合），连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）如图②，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，求证：； （3）在图②中，判断和数量关系，并说明理由． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM. （1）菱形ABCO边长 ； （2）求直线AC的解析式； （3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒， ①当0＜t＜时，求S与t之间的函数关系式； ②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末质量监测 八年级数学 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 计算的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平方根．根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：． 故选：B 2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，，在直角三角形中，勾（较短的直角边）的平方加股（较长的直角边）的平方等于弦（斜边）的平方． 题中已知两直角边分别为3和4，要求弦，代入数据计算即可． 【详解】解：弦 故选A． 3. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含完全平方数；②分母不含根号，即可解题． 【详解】解： A：，不是最简二次根式，不符合题意． B：是最简二次根式，符合题意． C：，不是最简二次根式，不符合题意． D：，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 5. 如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小颖（点B）到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， ∴小颖到地面距离为， 故选：D． 6. 一组数据：2，3，7，8，10，11，13，14，16的中位数是（ ） A. 16 B. 11 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数的计算．中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．若数据个数为奇数，则中位数为中间的那个数；若为偶数，则为中间两个数的平均值，据此解答即可． 【详解】解：把数据从小到大排列为：2，3，7，8，10，11，13，14，16，共有9个数据，为奇数个，位于正中间的数为10 因此中位数为10， 故选C． 7. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）． A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对顶角相等 C. 同位角相等 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，本选项符合题意； B、逆命题为相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意； C、逆命题是相等的角是同位角，错误，是假命题，不符合题意； D、逆命题为如果，那么，错误，是假命题，不符合题意． 故选：A 8. 一组数据按从小到大的顺序排列为：1，2，3，x，6，9，如果这组数据的中位数是4.5，那么这组数据的众数为（ ） A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数．熟练掌握众数和中位数的计算方法，是解题的关键．找中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数是中位数． 这组数据一共有六个数据，中位数必为最中间两数的平均数，据此即可求出x的值，进而得出数据的众数. 【详解】解：数据共有6个，中位数为中间两个数的平均数． 即． 解得． ∴这组数据排列为1，2，3，6，6，9． ∵其中6出现次数最多， ∴众数为6． 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点P，交于点Q；再分别以点P、Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线交的延长线于点E．则的长是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，尺规作图．由作法得：平分，再结合平行四边形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随x的增大而减小 B. 当时， C. 方程组的解为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数与不等式之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，先求出当时，，当时，，再根据函数图象结合一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数与的交点坐标为， 由函数图象可得，随x的增大而减小，故A结论正确，不符合题意； 由函数图象可得当时，，故B结论错误，符合题意； ∵一次函数与的交点坐标为， ∴方程组解为，故C结论正确，符合题意； ∵一次函数与的交点坐标为，且点在第一象限，函数的图象经过第一、二、四象限， ∴函数与y轴的交点在点的上方，即，故D说法正确，不符合题意； 故选：B． 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【详解】解：原式==， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键． 12. 某一次函数的图像经过点，且该函数随的增大而减小．请写出一个符合条件的一次函数的表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的解析式和性质，由一次函数的增减性设直线的解析式为，然后将点代入解析式得到的值，再取一个符合条件的的值即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵函数的值随值的增大而减小， ∴， ∵函数图像经过点， ∴， 取， 此时一次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 平均数 9.35 9.34 9.34 方差 6.6 6.9 6.7 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择________． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵甲的平均数较大，且甲的方差较小， ∴选择甲参加比赛， 故答案为：甲． 14. 如图，一艘轮船从港口O出发向东北方向航行了到达A处，在港口的东南方向处有一灯塔B，此时A，B之间的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 根据勾股定理得：（海里）． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点E是边上一点，，将沿折叠得，连接，若平分．则（1）_________；（2）的长是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，再由折叠的性质得到的度数，据此可得答案； （2）过点F作于H，由折叠的性质可得，则；再证明是等腰直角三角形，得到，则． 【详解】解：（1）由矩形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． （2）如图所示，过点F作于H， 由折叠性质可得， ∵， ∴； 由矩形的性质可得， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简，再进行二次根式的加减运算，即可得解； （2）先化简和去括号，再相乘，最后计算加减，即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OD＝OB，再由全等三角形的判定证△BEO≌△DFO即可； 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AF＝CE， ∴AF-OA＝CE-OC， 即OF＝OE， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18. 周末，启智数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为，风筝线的长为，牵线放风筝的手到地面的距离的长为． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请你帮助他们完成以下任务： （1）根据测量所得数据，则风筝离地面的垂直高度_________； （2）若风筝沿方向下降了到达点M，的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 【答案】（1）21.7 （2）要回收8米的风筝线． 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意， 在中，，，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：设此时风筝下降到点，由题意得， ∴， 在中，， ∴． ∴要回收8米的风筝线． 19. 红星中学以“守法规知礼让，安全文明出行”为主题，组织交通安全知识竞赛．现从七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩均为整数，成绩得分用x表示），共分成五个等级：（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：），（其中成绩大于90为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的20名学生成绩在D等级中的数据是：81，85，85，85，85，89． 八年级抽取的20名学生成绩在D等级中的数据是：82，84，85，85，87，89，89． 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 81.4 a 85 15% 八年级 833 85 b 25% 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七、八年级各有600名学生参与了知识竞赛，请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生人数一共有多少？ 【答案】（1） （2）八年级的成绩好一些，理由见解析 （3）估计两个年级竞赛成绩优秀的学生共有人 【解析】 【分析】本题考查了统计图的应用，中位数、众数，用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据统计图求出的值即可； （2）根据统计图的数据即可得到答案； （3）先求出七年级抽取的20名学生的竞赛成绩在等级的人数，再用样本估计总体的方法计算即可． 【小问1详解】 解：七年级抽取的20名学生的竞赛成绩在、、等级人数共有（人）， 七年级抽取的20名学生的竞赛成绩案从低到高排列，排在第位的为， ； 八年级抽取的20名学生的竞赛成绩在等级人数为：（人）， ； 八年级抽取的20名学生的竞赛成绩为满分人数为：（人）， ， 八年级众数； 故答案为：； 【小问2详解】 解：八年级的成绩好一些， 理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，故八年级的成绩好一些； 【小问3详解】 解：七年级抽取的20名学生的竞赛成绩在等级的人数为（人）， （人）， 答：估计两个年级竞赛成绩优秀的学生共有人． 20. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，的图象交x轴于点B，且两条直线相交于点． （1）则_________， _________； （2）求的面积； （3）结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）2，1 （2）27 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两条一次函数图像的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先把代入，即可求出m，然后把点C的坐标，即可求出k； （2）求出与x轴的交点，即可面积； （3）根据图象即可确定不等式的解集． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得，， ∴ 将代入得，， 解得， ∴， 故答案为：2，1； 【小问2详解】 解：对于，当时，， 解得：， 对于，当时，， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）知：， ∵， 即一次函数的图象在的图象下方时对应交点的横坐标的取值范围， ∴， ∴的解集是． 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2. 【解析】 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 22. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．某航模店在取得官方授权后，推出了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“天宫”模型的成本是“神舟”模型成本的，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）求每个“神舟”和“天宫”模型的成本分别是多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型其100个，且每个“神舟”模型的售价为34元，“天宫”模型的售价为26元．设购买“神舟”模型m个，销售这批模型的利润为w元． ①求w关于m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元 （2）①；②购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1132元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． （1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个元，根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①根据总利润等于两种模型利润之和列出函数解析式； ②再根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出m的取值范围，由函数的性质求最值即可． 小问1详解】 解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个元，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ∴（元）， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元． 【小问2详解】 解：①购买“神舟”模型m个，则购买“天宫”模型个， 则销售这批模型的利润． ②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半， ∴， 解得， ∵m是正整数， ∴， ∵在函数中，w随着m的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1132元． 23. 如图①，在正方形中，是上的点（不与、重合），连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）如图②，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，求证：； （3）在图②中，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）沿折叠得到，则，，，，用即可证明； （2）证明，而，则为等腰直角三角形，即可求解； （3）证明，则． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键． 【小问1详解】 证明：沿折叠得到，则，， ，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：，则， ∵， ∴，则， ， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：，理由： 设正方形的边长为， 在上取，则， 则， ，， ， ，则， ∴． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM. （1）菱形ABCO的边长 ； （2）求直线AC的解析式； （3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒， ①当0＜t＜时，求S与t之间的函数关系式； ②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值． 【答案】（1）5；（2）直线AC的解析式y=﹣x+；（3）①；②t=或． 【解析】 【分析】（1）Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长； （2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式； （3）根据S△ABC=S△AMB+S△BMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AM上和在MC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解． 【详解】解：（1）Rt△AOH中， ， 所以菱形边长为5； 故答案为5； （2）∵四边形ABCO是菱形， ∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）． 设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，得 ，解得， 直线AC的解析式； （3）设M到直线BC的距离为h， 当x=0时，y=，即M（0，），， 由S△ABC=S△AMB+SBMC=AB•OH=AB•HM+BC•h， ×5×4=×5×+×5h，解得h=， ①当0＜t＜时，BP=BA﹣AP=5﹣2t，HM=OH﹣OM=， S=BP•HM=×（5﹣2t）=﹣t+； 当＜t≤5时，BP=2t﹣5，h=， S=BP•h=×（2t﹣5）=t﹣， ∴ ②把S=3代入①中的函数解析式得，3=﹣t+， 解得：t=， 把S=3代入①的解析式得，3=t﹣， 解得：t=． ∴t=或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，根据三角形的面积关系求得M到直线BC的距离h是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $