函数与导数：含参单调性问题复习讲义-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：含参单调性问题复习讲义 函数与导数：含参单调性问题复习讲义 1.求单调性的基本流程：知识点解析 （1）求函数的定义域. （2）求函数的导数. （3）令函数的导数等于0，求根. （4）根据的根把定义域分区间，确定不同区间导数的正负，进而由导数的正负确定函数单调性. 2.含参问题的基本讨论点： （1）的根的个数（0个、1个、2个）. （2）的根的意义（自身意义、定义域问题）. （3）的根的大小（多根且能因式分解）. （4）在不同区间的正负. 3.若有两个根且定义域为，需要结合韦达定理进行讨论,对于二次方程： （1）. （2）. （3）若，则方程有两个不相等的正数根. 若，则方程有两个不相等的负数根. 若，则方程有一个正数根与一个负数根. 考点一 讨论根的意义 【知识点解析】 1. 讨论的根是否有意义 步骤 讨论点 步骤1 确定函数的定义域. 步骤2 求导，令导数，求根（只有一根）. 步骤3 讨论的根自身是否有意义以及根是否在定义域内. 步骤4 根据根的意义，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高二下·福建·期末·节选）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由， ①当时，有，函数单调递增； ②当时，令，有，可得函数的减区间为，增区间为. 2．（24-25高二下·福建福州·期末·节选）已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 由于，故原点不在曲线上， 设过原点的直线与曲线相切于点. 则切线斜率，即， 解得，切点坐标为， 所以切线斜率，故所求切线方程为. （2）的定义域为，， ①当时，，可得在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当，在内单调递减，在内单调递增. 3．（24-25高二下·广东云浮·期末·节选）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 的定义域为，． 令，得． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故当时，有极大值，且极大值为． （2）的定义域为，． 当时，，在上单调递增． 当时，令，得或（舍去）． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 4．（24-25高二下·山东烟台·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）依题意， 当时，，在上单调递增． 当时，令得，，即． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 5．（24-25高二下·广东广州·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在单调递增； 时，在单调递减； 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． 6．（2025·云南玉溪·模拟预测·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. 【详解】（1）. ，，∴当 时，，∴ 在上单调递减； 当 时，. 令 ，解得：. 由，解得：；由，解得：. 时， 单调递减，单调递增； 综上可知：当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. 7．（24-25高二下·河北·阶段练习·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）. 当时，是减函数. 当时，令，解得. 当时，；当. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，是减函数； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 8．（24-25高二下·广东东莞·期末·节选）已知函数，． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由题意有． 当时，，在单调递减； 当时，令，得，单调递增； 令，得，单调递减． 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． 考点二 讨论根的数量 【知识点解析】 1. 讨论的根的数量 步骤 讨论点 步骤1 确定函数的定义域. 步骤2 求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根. 步骤3 根据判别式的正负讨论的根的数量. 步骤4 根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高二下·重庆·期末·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调性． 【答案】(1)答案见详解 【详解】（1）由，则，， 令， 当时，有，即，所以在R上单调递减； 当时，，， 方程的两根为，，且， 当和时，，即， 当时，，即， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在R上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 2．（24-25高二下·河南郑州·期末·节选）设函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见详解 【详解】（1）函数的定义域为，且， 令，由， 当时，，由，得， 令，得， 令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 当时，，则，所以在R上单调递减； 当时，，则，故，所以在R上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在和上单调递减. 当时，所以在R上单调递减. 3．（24-25高二下·天津静海·阶段练习·节选）设函数，，其中，. (1)求的单调区间； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）因为函数， 所以，则， ①当时，对任意的，且不恒为零， 此时，函数在上单调递增的递增区间为，无减区间； ②当时，，由可得， 由可得或， 此时函数的增区间为，，减区间为. 综上所述，当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为，，减区间为. 4．（2025·重庆·三模·节选）已知函数 ． (1)讨论函数 的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）， ①当，即时，恒成立，在上单调递增． ②当，即或时，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【知识点解析】 考点三 讨论根的大小 1. 讨论的根的大小 步骤 讨论点 步骤1 确定函数的定义域. 步骤2 求导，导数可因式分解为的形式，令导数，求根. 步骤3 讨论的两个根的大小. 步骤4 根据根的大小，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高二下·山威海·期末·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）， ①当时，， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 2．（24-25高二下·北京东城·期末·节选）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1），其中，定义域为， 令，则或， 当时，即，此时，所以在上单调递减； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 3．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数． (1)若在点处的切线方程为，求的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 因为过点，所以解得， 又因为，在点处的切线方程为， 所以，, 所以. （2）因为，令， 解得，， ①当即时， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数； ②当即时，， 在上为增函数； ③当即时， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 综上：当时，的单调递增区间为和，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，递减区间为. 4．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末·节选）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为，. 令，解得或. 当，令得或；令得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减； 当，恒成立，∴函数在上单调递增； 当，令得或；令得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当，函数在上单调递增； 当，函数在和上单调递增，在上单调递减. 5．（24-25高二下·北京平谷·期末·节选）已知函数． (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）对函数求导得：. 当时，，此时在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，则. 若，或；若，则， 此时在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，则. 若，或；若，则， 此时在，上单调递减，在上单调递增. 6．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1). (2)答案见解析 【详解】（1）当时，函数，所以， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即得； （2）函数，所以. 当时，单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，递减区间是；递增区间是； 当时，递减区间是；递增区间是； 7．（24-25高二下·四川达州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）当时，， 则，， 所以切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）由，可得：. 令，解得：，. 当时，令，得或；令，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得或；令，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时，函数的单调递增区间为：和，单调递减区间为：； 当时，函数的单调递增区间为：上单调递增，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为：和，单调递减区间为：. 8．（24-25高二下·云南玉溪·期末·节选）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）的定义域为，                ，             当时，由得，或，由，得； 当时，恒成立； 当时，由，得或，由，得. 综上可得，当时，在上为增函数； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【知识点解析】 考点四 讨论根的大小与根是否有意义 1. 讨论的根的大小与根是否有意义 步骤 讨论点 步骤1 确定函数的定义域. 步骤2 求导，导数可因式分解为的形式，令导数，求根. 步骤3 讨论的两个根的大小，以及是否在定义域内. 步骤4 根据根的大小以及是否在定义域内，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 2．（24-25高二下·湖南长沙·期末·节选）设函数． (1)当时．求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，且当时取等号，函数在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 3．（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）求导得：． 由题意得，所以． （2）的定义域为． 当时， 令，解得，此时在上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减． 当时，令，解得或1． ①当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即时， 在上恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 4．（24-25高二下·河北·期末·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）函数的定义域为， 又 当时，在上，，是减函数； 当时，由得：或（舍）， 所以在上，，是减函数， 在上，，是增函数， 当时，在上，是减函数；当时，在上，是减函数，在上，是增函数. 5．（24-25高二下·安徽·阶段练习·节选）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增． 【详解】（1）当时，，∴， ∵，∴， ∴曲线在处的切线方程为：． （2）的定义域为， ， ①当时，恒成立，在上单调递减； ②当时，令，得，令，得， ∴在上单调递减，在上单调递增． 6．（24-25高二下·重庆·阶段练习·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 7．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1），所以切点为 又，所以切线方程为 （2）定义域为 令，解得或， ①当，即时，在单调递减，在上单调递增， ②当，即时，在单调递减， ③当，即时， 在上单调递减，在上单调递增. 8．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习·节选）设，函数 (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）定义域为， ， ①当时，得，得， 则在上单调递减，在上单调递增； ②当时，得或，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，，则在上单调递增； ④当时，得或，得， 则在上单调递减，在和上单调递增， 综上可得，①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，在上单调递增； ④当时，在上单调递减，在和上单调递增 【知识点解析】 考点五 讨论根的数量与根的意义 1. 讨论的根的大小与根是否有意义 步骤 讨论点 步骤1 确定函数的定义域. 步骤2 求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根. 步骤3 根据判别式的正负讨论的根的数量. 步骤4 确定根的数量之后，用求根公式写出根的表达式，进而利用韦达定理确定根的正负. 步骤5 根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性 2.利用韦达定理讨论根的正负 ※已知二次方程有两个不相等的实数根、. (1)若，则且. (2)若，则且. (3)若，则. 【例题分析】 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末·节选）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意可知的定义域为， 当时，，则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2）， 当，因为，恒成立，所以在上单调递减； 当，令，即，因为， 若时，得，，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 若时，，则恒成立，则在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 2．（24-25高二下·福建莆田·期末·节选）已知函数. (1)讨论的单调性： 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由，， 则， 不妨设， 则关于的方程的判别式， 当时，，，故， 函数在上单调递增； 当时，，方程有两个不相等的正根，， 且，， 当时，， 当时，， 在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在，上单调递增， 在单调递减； 当时，在上单调递增. 3．（24-25高三下·山西大同·期末·节选）已知函数． (1)若函数在点处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)1； (2)答案见解析； 【详解】（1）的定义域为，，所以， 依题意有，即，解得，此时， 所以在点处的切线方程为，与平行． 所以实数a的值为1． （2）令，方程的判别式． 若，即，恒成立， 即对任意，，所以在单调递增； 若，即或， 当时，恒成立， 即对任意，，所以在单调递增； 当时，令，得或； 令，得． 在上，；在上，． 所以在，上单调递增，在上单调递减． 综上， 当时，在区间恒单调递增； 当时，在区间单调递减，在区间，单调递增． 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测·节选）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间； 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【详解】（1）由题意得，定义域为， ， 可得曲线在点处的切线的斜率为0． ， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）， 易知，且． 令，则． 当，即时，在上恒成立，且等号不恒成立， 即在上恒成立，且等号不恒成立，因此在上单调递增． 当，即时， 由解得或， ， 当时，；当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，. 5．（24-25高二下·江西·阶段练习·节选）已知函数． (1)求函数的单调区间． 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 且，令，有． 当，即时，，此时函数的单调递增区间为（0，），无单调递减区间． 当，即或时，有，解得. 若，有，则由得或，由得； 若，有，则恒成立，此时函数的单调递增区间为（0，），无单调递减区间． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为（0，），无单调递减区间． 6．（24-25高二下·黑龙江·期中·节选）已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． 【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减 【详解】（1）因为， 所以， 设，， (i)时，则， 所以在上递增；            (ii)或，， 当时，，， 方程的两根都为正， 令可得：，令可得：， 所以在上递增，在上递减； 当时，，， 方程的两根都为负， 令可得：，所以在上递增， 综上：当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减； 课后提升训练 1．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数 (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）时，，定义域为R，， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为； （2）， 令得或， 因为，所以， 令得或， 所以单调递增区间为，. 2．（24-25高二下·河北邯郸·期末·节选）已知函数，其中，. (1)若曲线在处的切线方程为，求，的值； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由得，， 由题意得，，因为， 所以，解得. 将代入切线方程可得，即，解得， 由题意得，，因为，所以，解得. （2）， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 3．（2024·陕西西安·模拟预测·节选）已知，. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由题可知：函数的定义域为 ，由，令，所以或， 当时，令，；令，或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 当时，在恒成立，所以函数在单调递减； 当时，令，；令，或， 所以函数在单调递增，在单调递减 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知，函数. (1)若2是的极值点，求的值和该极值； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得 2是的极值点， ，即. 经检验符合题意，极值. （2）由题意知：定义域为，， 令，解得：，； ①当，即时，若，；若，； 在，上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，且不恒等于，在上单调递减； ③当，即时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当，在，上单调递减，在上单调递增. 5．（24-25高二下·浙江·期末·节选）已知函数. (1)判断的单调性，并求出单调区间； 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 【详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，可得，解得：， 令，可得，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增. 6．（24-25高二下·山东淄博·期末·节选）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为， 当时，，则， 由，解得，由，解得；由，解得， 则单调递减区间为，单调递增区间为， 故函数的最小值为. （2）由题意得， 则 令，解得或， 当时，， 由，解得或，由，解得， 则在上单调递减，上单调递增，上单调递减. 当时，，得到，在上单调递减， 当时，，由，解得或， 由，解得， 则在上单调递减，在上单调递增，上单调递减 综上所述：当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 7．（24-25高二下·湖北十堰·期末·节选）已知函数，. (1)判断的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）因为，所以. 当时，，所以在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. 8．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末·节选）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，点在函数图象上， 由得，， 则在点处的切线方程为，即. （2）定义域为， ， 当时，恒成立，在上单调递减， 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：含参单调性问题复习讲义 函数与导数：含参单调性问题复习讲义 1.求单调性的基本流程：知识点解析 （1）求函数的定义域. （2）求函数的导数. （3）令函数的导数等于0，求根. （4）根据的根把定义域分区间，确定不同区间导数的正负，进而由导数的正负确定函数单调性. 2.含参问题的基本讨论点： （1）的根的个数（0个、1个、2个）. （2）的根的意义（自身意义、定义域问题）. （3）的根的大小（多根且能因式分解）. （4）在不同区间的正负. 3.若有两个根且定义域为，需要结合韦达定理进行讨论,对于二次方程： （1）. （2）. （3）若，则方程有两个不相等的正数根. 若，则方程有两个不相等的负数根. 若，则方程有一个正数根与一个负数根. 考点一 讨论根的意义 【知识点解析】 1. 讨论的根是否有意义 步骤 讨论点 步骤1 确定函数的定义域. 步骤2 求导，令导数，求根（只有一根）. 步骤3 讨论的根自身是否有意义以及根是否在定义域内. 步骤4 根据根的意义，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高二下·福建·期末·节选）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 2．（24-25高二下·福建福州·期末·节选）已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)讨论的单调性； 3．（24-25高二下·广东云浮·期末·节选）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)讨论的单调性； 4．（24-25高二下·山东烟台·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 5．（24-25高二下·广东广州·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 6．（2025·云南玉溪·模拟预测·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 7．（24-25高二下·河北·阶段练习·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 8．（24-25高二下·广东东莞·期末·节选）已知函数，． (1)讨论的单调性； 考点二 讨论根的数量 【知识点解析】 1. 讨论的根的数量 步骤 讨论点 步骤1 确定函数的定义域. 步骤2 求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根. 步骤3 根据判别式的正负讨论的根的数量. 步骤4 根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高二下·重庆·期末·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调性． 2．（24-25高二下·河南郑州·期末·节选）设函数. (1)讨论的单调性； 3．（24-25高二下·天津静海·阶段练习·节选）设函数，，其中，. (1)求的单调区间； 4．（2025·重庆·三模·节选）已知函数 ． (1)讨论函数 的单调性； 【知识点解析】 考点三 讨论根的大小 1. 讨论的根的大小 步骤 讨论点 步骤1 确定函数的定义域. 步骤2 求导，导数可因式分解为的形式，令导数，求根. 步骤3 讨论的两个根的大小. 步骤4 根据根的大小，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高二下·山威海·期末·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 2．（24-25高二下·北京东城·期末·节选）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； 3．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数． (1)若在点处的切线方程为，求的值； (2)求的单调区间． 4．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末·节选）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 5．（24-25高二下·北京平谷·期末·节选）已知函数． (1)求函数的单调区间； 6．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 7．（24-25高二下·四川达州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 8．（24-25高二下·云南玉溪·期末·节选）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【知识点解析】 考点四 讨论根的大小与根是否有意义 1. 讨论的根的大小与根是否有意义 步骤 讨论点 步骤1 确定函数的定义域. 步骤2 求导，导数可因式分解为的形式，令导数，求根. 步骤3 讨论的两个根的大小，以及是否在定义域内. 步骤4 根据根的大小以及是否在定义域内，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 2．（24-25高二下·湖南长沙·期末·节选）设函数． (1)当时．求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 3．（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 4．（24-25高二下·河北·期末·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 5．（24-25高二下·安徽·阶段练习·节选）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 6．（24-25高二下·重庆·阶段练习·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 7．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 8．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习·节选）设，函数 (1)讨论函数的单调性； 【知识点解析】 考点五 讨论根的数量与根的意义 1. 讨论的根的大小与根是否有意义 步骤 讨论点 步骤1 确定函数的定义域. 步骤2 求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根. 步骤3 根据判别式的正负讨论的根的数量. 步骤4 确定根的数量之后，用求根公式写出根的表达式，进而利用韦达定理确定根的正负. 步骤5 根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性 2.利用韦达定理讨论根的正负 ※已知二次方程有两个不相等的实数根、. (1)若，则且. (2)若，则且. (3)若，则. 【例题分析】 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末·节选）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 2．（24-25高二下·福建莆田·期末·节选）已知函数. (1)讨论的单调性： 3．（24-25高三下·山西大同·期末·节选）已知函数． (1)若函数在点处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测·节选）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间； 5．（24-25高二下·江西·阶段练习·节选）已知函数． (1)求函数的单调区间． 6．（24-25高二下·黑龙江·期中·节选）已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． 课后提升训练 1．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数 (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； 2．（24-25高二下·河北邯郸·期末·节选）已知函数，其中，. (1)若曲线在处的切线方程为，求，的值； (2)讨论函数的单调性； 3．（2024·陕西西安·模拟预测·节选）已知，. (1)讨论的单调性； 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知，函数. (1)若2是的极值点，求的值和该极值； (2)讨论函数单调性. 5．（24-25高二下·浙江·期末·节选）已知函数. (1)判断的单调性，并求出单调区间； 6．（24-25高二下·山东淄博·期末·节选）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论函数的单调性； 7．（24-25高二下·湖北十堰·期末·节选）已知函数，. (1)判断的单调性； 8．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末·节选）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$