函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值复习讲义-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值复习讲义 函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值复习讲义 考点一 导数与函数的单调性 【知识点解析】 1.导数与单调性的基本关系 设函数在区间内可导，则 （1）对任意成立，则函数在区间上严格单调递增. （2）对任意成立，则函数在区间上严格单调递减. 2.利用导数求函数单调性的步骤 （1）求定义域：确定函数的定义域. （2）求导函数 （3）解不等式和. ①令，求驻点. ②结合定义域，用驻点和不可导点划分区间，逐一判断各区间内的符号. （4）确定单调区间 【例题分析】 考向一 求函数的单调区间 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽·期末）已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西吉安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·新疆喀什·期末·多选）函数在下列哪个区间单调递增（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·新疆·期末）函数的单调递减区间为 ． 7．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知函数，则函数的单调递减区间是 . 8．（24-25高二下·天津·期中）的单调递增区间为 9．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 考向二 已知函数的单调区间求参数 1．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 2．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南信阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河北保定·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末·多选）已知在区间上单调递减，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 8．（24-25高二下·辽宁·期末）已知在上单调递增，则实数的所有取值构成的集合是 ． 9．（24-25高二下·湖南永州·期末）若，为正实数，函数在上单调递增，则的最大值为 ． 10．（24-25高二下·新疆喀什·期末）若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是 . 11．（24-25高二下·山东德州·期末）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在上单调递减． ①求的取值范围； ②证明：． 12．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)当时，确定函数的零点个数； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若，证明：. 考点二 导数与函数的极值 【知识点解析】 1. 极值的判定 第一充分条件：若函数在连续，两侧导数符号变化. 左侧正、右侧负则是极大值点. 左侧负、右侧正则为极小值点. 第二充分条件：若且存在. 时是极大值点. 时是极大值点. 需用第一充分条件进一步判断. 2.利用导数求函数极值的步骤 （1）求定义域：确定函数的定义域. （2）求导函数 （3）解不等式和. ①令，求驻点. ②结合定义域，用驻点和不可导点划分区间，逐一判断各区间内的符号. （4）确定单调区间 （5）根据函数的单调区间确定函数的极值点与极值. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）若是函数的极小值点，则实数（   ） A．6 B．3 C．2 D．4 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数在处取得极小值，则实数a的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．3或9 3．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河北邯郸·期末·多选）已知函数，则（    ） A．若，则函数的极小值点是 B．函数的图象关于点中心对称 C．若过点有三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 D．若函数在上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为 6．（24-25高二下·甘肃白银·期末·多选）已知函数，则（    ） A．的极小值点为2 B．的极小值为 C．当恰有1个零点时，的取值范围是 D．当恰有2个零点时，的取值范围是 7．（24-25高二下·山东济宁·期末）已知函数在处有极小值，则实数 ． 8．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）若函数在处有极小值，则等于 ． 9．（24-25高二下·天津·期末）若在上有两个极值点，则的取值范围是 ． 10．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的极值． 11．（24-25高二下·北京通州·期末）已知函数为偶函数． (1)求实数a的值； (2)求函数的单调区间和极值． 12．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 考点三 导数与函数的最值 【知识点解析】 1.函数存在最值的前提：函数在闭区间上连续（保证最值存在），且在开区间内可导. 2.最值与极值、端点值的关系：函数在区间上的最值，是其所有极值与区间端点函数值中的最大、最小值 . 2.利用导数求函数极值的步骤 若函数且在闭区间上连续（保证最值存在），且在开区间内可导. （1）求导函数 （2）解不等式和. ①令，求驻点. ②结合定义域，用驻点和不可导点划分区间，逐一判断各区间内的符号. （3）确定单调区间 （4）根据函数的单调区间确定函数的极值点与极值. （5）计算与，比较、与极值的大小关系，进而得到函数在上的最值. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）函数，的最大值为（   ） A．4 B． C． D．5 5．（24-25高二下·河北邢台·期末·多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B． C．的最大值为 D．有唯一零点 6．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求的单调区间及最值； (2)求出方程的解的个数． 7．（24-25高二下·天津·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 8．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)若，求在区间上的最大值与最小值． (2)关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 考点四 利用导数研究函数的性质 【例题分析】 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末·多选）已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（   ） A．曲线为函数的图象 B．曲线为函数的图象 C．函数在区间上是增函数 D．函数在区间上是减函数 2．（24-25高二下·湖北十堰·期末·多选）已知函数的导函数的大致图象如图所示.下列结论正确的是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．既有极大值，也有极小值 D．曲线在处的切线斜率为 3．（24-25高二下·吉林长春·期末·多选）已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 4．（2025·四川成都·一模·多选）设函数，则（   ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 5．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末·多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在区间上单调递减； B．； C．函数在处取极大值； D．函数在区间内有两个极小值点. 6．（24-25高二下·辽宁·期末·多选）设函数，则（    ） A．的极小值点为 B．在上为增函数 C．直线是曲线的切线 D．方程恰有一个解当且仅当 7．（24-25高二下·广东云浮·期末·多选）已知函数，则（    ）． A．的图象关于点对称 B．的极大值点为 C．在区间上的值域为 D．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为 8．（24-25高二下·贵州铜仁·期末·多选）设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（    ） A． B．函数的对称中心为 C．过引曲线的切线，有且仅有1条 D．若成等差数列，则 课后提升训练 1．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南信阳·期末·多选）设函数在上可导，其导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．在上单调递减 B．为的极小值点 C．函数有极大值 D．函数有三个零点 6．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）已知函数，则（   ） A．关于对称 B．的极小值点为 C．有三个零点 D．直线是曲线的一条切线 7．（24-25高二下·河北石家庄·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．此函数的最大值为（为自然对数的底数） B． C．，使 D．若，有两个不等实根，则（为自然对数的底数） 8．（24-25高二下·福建福州·期末·多选）设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．的对称中心是 C．当时， D．当时， 9．（24-25高二下·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 10．（2024·河北·模拟预测）若函数是增函数，则的取值范围是 . 11．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 12．（24-25高一下·上海·期末）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 13．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数. (1)若，求的单调区间和极值. (2)若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 14．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值复习讲义 函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值复习讲义 考点一 导数与函数的单调性 【知识点解析】 1.导数与单调性的基本关系 设函数在区间内可导，则 （1）对任意成立，则函数在区间上严格单调递增. （2）对任意成立，则函数在区间上严格单调递减. 2.利用导数求函数单调性的步骤 （1）求定义域：确定函数的定义域. （2）求导函数 （3）解不等式和. ①令，求驻点. ②结合定义域，用驻点和不可导点划分区间，逐一判断各区间内的符号. （4）确定单调区间 【例题分析】 考向一 求函数的单调区间 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 2．（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 3．（24-25高二下·安徽·期末）已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 令得，解得， 则的单调递减区间为. 故选：A 4．（24-25高二下·江西吉安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】定义域为，由题意得， 令，解得， 所以函数的递减区间为， 故选：D. 5．（24-25高二下·新疆喀什·期末·多选）函数在下列哪个区间单调递增（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】函数的定义域为，， 因为，由得或， 因此函数的增区间为、. 故选：BD. 6．（24-25高二下·新疆·期末）函数的单调递减区间为 ． 【答案】/(0,1] 【详解】由题可得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 故答案为： 7．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知函数，则函数的单调递减区间是 . 【答案】 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 8．（24-25高二下·天津·期中）的单调递增区间为 【答案】 【详解】因为，，所以. 单调递增区间为. 故答案为： 9．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，无递减区间 【详解】（1）； （2）定义域，令，即，即， ，其中判别式，故恒成立， 单调递增区间为，无递减区间. 考向二 已知函数的单调区间求参数 1．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】对函数求导得：， 因为函数在定义域上不是单调函数，所以导函数的函数值既有正值又有负值， 故，即，所以，所以实数不可能是. 故选：C 2．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由题，， 即在上恒成立， 则. 对于函数， 其在上单调递减，在上单调递增.则。 故选：B 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意有：当时，，所以， 所以，当时，，所以，所以， 又在上单调递减，所以，解得，所以， 故选：C. 4．（24-25高二下·河南信阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立． 设，，， 所以，函数在是单调递减， ，．． 故的最大值为. 故选：A． 5．（24-25高二下·河北保定·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知：函数在上单调递减，则在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立，所以. 故选：A 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末·多选）已知在区间上单调递减，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，则, 令得，或. 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. , 的图像如图 由题意得，在区间上单调递减，且，恒成立. 若，则在区间上单调递减， 则，解得. 若，则在区间和上单调递减， 则或，解得. 故选：ABD. 7．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解法一，因为在上单调递减， 所以在上恒成立． 所以，即，解得， 即实数的取值范围为． 解法二，由题意知在上恒成立， 所以在上恒成立． 记，当时， （由对勾函数的单调性可得），所以， 即实数的取值范围为． 8．（24-25高二下·辽宁·期末）已知在上单调递增，则实数的所有取值构成的集合是 ． 【答案】 【详解】求导得：，函数在上单调递增，则对所有恒成立. 令： 当时：恒成立，所以单调递增. 但当时，，且当时，，即时，，矛盾. 当时： ， 令得极值点： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 此时在处取得最小值：. 若恒成立，则最小值. 令： 则，当时，，递增；当时，，递减. 所以在处取得最大值，此时，因此，仅当时，满足条件. 验证，，其最小值为，故恒成立，函数在上单调递增. 所以，实数的所有取值构成的集合为. 故答案为：. 9．（24-25高二下·湖南永州·期末）若，为正实数，函数在上单调递增，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】求导得：.已知，为正实数，函数在上单调递增，故对所有恒成立. 当时，，此时需要； 当时，，此时需要； 当时，，此时等式成立. 特别地，当时，，此时必须满足，即. 综合可得为临界点，此时： 求最大值：将b代入，得. 设，求导：. 令：，. 故 当时，，函数递增； 当时，，函数递减; 所以时，取得最大值：. 故答案为：. 10．（24-25高二下·新疆喀什·期末）若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 由于函数在R上单调递增，对任意的，， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（24-25高二下·山东德州·期末）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在上单调递减． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【详解】（1），则， 所以，即切线斜率为1，切点为， 故处的切线方程为，即. （2）①函数在上单调递减， 所以在恒成立，即在恒成立， 令， 当时，， 所以在上递减，则， 所以，解得，即的取值范围是. ②设为数列的前项和， 则，可知不等式成立． 当时， ， 欲证明，即， 只需证明，即， 因为当时，，所以， 由①知，当，函数在上单调递减， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 因为，所以， 所以，即， 则，即， 所以. 12．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)当时，确定函数的零点个数； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若，证明：. 【答案】(1)个零点 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，令，即， ， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. ， 在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点， 在上只有个零点，即在上只有个零点. （2）由题意知，. 因为函数在上单调递增， 所以当时，，即恒成立. 令 ，则， 所以当时，，当时，，              所以在上单调递增，在上单调递减，            则，所以. 故实数的取值范围是.  . （3）若，要证， 只需证，即. 令 ，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以 令 ，则，令 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以，故原不等式成立. 考点二 导数与函数的极值 【知识点解析】 1. 极值的判定 第一充分条件：若函数在连续，两侧导数符号变化. 左侧正、右侧负则是极大值点. 左侧负、右侧正则为极小值点. 第二充分条件：若且存在. 时是极大值点. 时是极大值点. 需用第一充分条件进一步判断. 2.利用导数求函数极值的步骤 （1）求定义域：确定函数的定义域. （2）求导函数 （3）解不等式和. ①令，求驻点. ②结合定义域，用驻点和不可导点划分区间，逐一判断各区间内的符号. （4）确定单调区间 （5）根据函数的单调区间确定函数的极值点与极值. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）若是函数的极小值点，则实数（   ） A．6 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【详解】易得，则，解得． 当时，， 所以当和时，， 当时，，故是的极小值点，符合题意． 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数在处取得极小值，则实数a的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．3或9 【答案】A 【详解】由得 函数在处取得极小值， 解得或 ①当时， 则当或时，，当时，， 所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为， 所以当时，函数取得极小值，所以符合题意. ②当时， 则当或时，，当时，， 所以函数单调递增区间为，函数单调递减区间为， 所以当时，函数取得极大值，不合题意. 故选：A. 3．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】求导得， 因为极小值点为2，所以，解得， 所以， （1）当时，，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增，极小值点为2符合题意； （2）当时，令得， ①当时，，令得，令得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以极小值点为2符合题意； ②当时，要使得极小值点为2，结合二次函数图象，则要求，解得； 综上，的取值范围为， 故选：A. 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为函数有两个极值点， 所以在时有两个不同的解， 令，则在上有两个不同的解，， 当时，，则在上单调递增，则不存在两个不同的解； 当时，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，当时，， 因为在上有两个不同的解，所以，所以. 故选：A 5．（24-25高二下·河北邯郸·期末·多选）已知函数，则（    ） A．若，则函数的极小值点是 B．函数的图象关于点中心对称 C．若过点有三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 D．若函数在上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，，的定义域为， ，令得或， 当时，，在，上单调递增； 当时，，单调递减， 故函数的极大值点为，极小值点为1，故A错误； 对于B，由 ， 即， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，设切点为，则， 此切线的斜率为， 所以切线方程为， 化简可得， 将代入得， 由题知方程有三个解，令， 则由得， 所以当及时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以有极大值，极小值， 分析函数的图象可得，解得，故C正确； 对于D，，若函数在上存在唯一的极值点，则在内只有一个零点， 因为图象的对称轴为直线，所以，  即， 解得，故D正确， 故选：BCD. 6．（24-25高二下·甘肃白银·期末·多选）已知函数，则（    ） A．的极小值点为2 B．的极小值为 C．当恰有1个零点时，的取值范围是 D．当恰有2个零点时，的取值范围是 【答案】BC 【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，A错误，B正确. 当时，，当时，， 当恰有1个零点时，或，得，C正确. 当恰有2个零点时，且，得，D错误. 故选：BC. 7．（24-25高二下·山东济宁·期末）已知函数在处有极小值，则实数 ． 【答案】1 【详解】由题可知：，且或. 当时，， 令，则；令，则. 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以函数在处有极小值，成立； 当时，， 令，则；令，则. 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以函数在处有极大值，不成立； 故答案为：1 8．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）若函数在处有极小值，则等于 ． 【答案】108 【详解】， 因为在处有极小值，所以， 即，解得或， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值，不合题意， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极小值，合题意， 所以，则. 故答案为：108. 9．（24-25高二下·天津·期末）若在上有两个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 要使在上有两个极值点，则在上在上有两个不相等实数根， 令，由，则. 令；故， 由图象如下： 当或时，此时无实数根，不符合题意， 当，函数在时与只有一个交点，对应的值 有两个， 而，对应的值有1个，故不为0. 故答案为： 10．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1) (2)极小值，无极大值． 【详解】（1）因为，所以，切点为， 因为，所以， 切线方程为，即． （2）由（1）可知，有， 当时，令，得， 当x变化时，和的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，有极小值，无极大值． 11．（24-25高二下·北京通州·期末）已知函数为偶函数． (1)求实数a的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为函数（）是偶函数， 所以， 所以，即. （2）由（1）知函数的解析式为（）. 当时，，求导得. 令，；令，. 此时函数在上单调递增，在上单调递减. 令，因为，所以，根据单调性可知函数在处取极小值，无极大值. 当时，，求导得. 令，；令，. 此时函数在上单调递减,在上单调递增.此时函数在处取极小值，无极大值. 12．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，无极大值. (2)答案见解析. 【详解】（1），， ， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，无极大值. （2）定义域为，， 当，即时，，在单调递增， 当且，即时， 此时只有一个解， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，有两个解， 所以和时，，单调递增， 时，，单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 考点三 导数与函数的最值 【知识点解析】 1.函数存在最值的前提：函数在闭区间上连续（保证最值存在），且在开区间内可导. 2.最值与极值、端点值的关系：函数在区间上的最值，是其所有极值与区间端点函数值中的最大、最小值 . 2.利用导数求函数极值的步骤 若函数且在闭区间上连续（保证最值存在），且在开区间内可导. （1）求导函数 （2）解不等式和. ①令，求驻点. ②结合定义域，用驻点和不可导点划分区间，逐一判断各区间内的符号. （3）确定单调区间 （4）根据函数的单调区间确定函数的极值点与极值. （5）计算与，比较、与极值的大小关系，进而得到函数在上的最值. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，令， 则，因为在，在， 所以在单调递减，在单调递增， 因为， 所以最小值为. 故选：A. 2．（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：A. 3．（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 4．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）函数，的最大值为（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题意 ， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数，的最大值为. 故选：B. 5．（24-25高二下·河北邢台·期末·多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B． C．的最大值为 D．有唯一零点 【答案】ABD 【详解】由，得，当时，在上单调递增，A正确． 当时，在上单调递减，所以， 因为，所以，B正确． 易得在处取得最大值，最大值为，C错误． 令0，得，函数与函数两函数的图象有唯一交点，所以有唯一零点，D正确． 故选：ABD 6．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求的单调区间及最值； (2)求出方程的解的个数． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【详解】（1）由题设，故时有，时有， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当趋向时趋向，趋向时趋向，故， 综上，的递减区间为，递增区间为，最小值为，无最大值； （2）由（1）分析，可得的大致图象如下： 当时，无解； 当时，有两个不同解； 当或时，有且仅有一个解. 7．（24-25高二下·天津·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由求导得：， 由可得，由可得或， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； （2）由（1）已得函数在上单调递减，在上单调递增， 因，则函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故当时，函数取得最大值为. 8．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)若，求在区间上的最大值与最小值． (2)关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)最小值-1，最大值 (2). 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以， . 令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得最小值. ，，而， 所以：此在处取得最大值 （2）. 因为，令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以， 所以：， 即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设， 则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 考点四 利用导数研究函数的性质 【例题分析】 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末·多选）已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（   ） A．曲线为函数的图象 B．曲线为函数的图象 C．函数在区间上是增函数 D．函数在区间上是减函数 【答案】BD 【详解】对于AB，因为时单调递增，时单调递减， 所以由图可知曲线M为函数的图象，曲线N为函数的图象， 故A错误，B正确； 对于CD，由图可知当时，时， 因为，所以当时，时， 所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 故C错误，D正确. 故选：BD 2．（24-25高二下·湖北十堰·期末·多选）已知函数的导函数的大致图象如图所示.下列结论正确的是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．既有极大值，也有极小值 D．曲线在处的切线斜率为 【答案】BCD 【详解】由图可知，当时，； 当时，. 故在、上单调递减，在上单调递增，A错B对， 故函数在处取得极小值，在处取得极大值，C对， 因为，所以曲线在处的切线斜率为，D对. 故选：BCD. 3．（24-25高二下·吉林长春·期末·多选）已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 【答案】AB 【详解】对于A，因为，所以， 而，则，即是增函数，故A正确， 对于B，由题意得，结合已知得是增函数， 则有且仅有1个零点，故B正确， 对于C，因为， 所以，即， 可得的图象不关于原点对称，故C错误， 对于D，因为是增函数，所以无极值，故D错误. 故选：AB 4．（2025·四川成都·一模·多选）设函数，则（   ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 【答案】AD 【详解】，解得，所以在上单调递减，故A正确； 又时，单调递减，单调递增，， 所以时，的值域为，故B错误； 在上单调递减，在和单调递增， ，所以只有一个零点，故C错误； 因为，所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：AD. 5．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末·多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在区间上单调递减； B．； C．函数在处取极大值； D．函数在区间内有两个极小值点. 【答案】BD 【详解】由图知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 因此函数在上递增，在上递减，A错误，，B正确； 的极小值点为和，极大值点为，C错误，D正确. 故选：BD. 6．（24-25高二下·辽宁·期末·多选）设函数，则（    ） A．的极小值点为 B．在上为增函数 C．直线是曲线的切线 D．方程恰有一个解当且仅当 【答案】AC 【详解】由得，， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，取得极小值，所以A正确； 所以在上单调递减，所以B错误； 当时，解得，则， 所以在处切线方程为，所以C正确； 已知在上单调递减，在上单调递增，极小值； 当时，且，当时，， 所以当恰有一个解时，，所以D错误； 故选：AC. 7．（24-25高二下·广东云浮·期末·多选）已知函数，则（    ）． A．的图象关于点对称 B．的极大值点为 C．在区间上的值域为 D．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为 【答案】AC 【详解】因为函数为奇函数，其图象关于原点对称，把函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象，所以A正确． 因为，所以， 令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的极大值点为，B错误． 又的极大值为，极小值为，，， 所以在区间上的值域为，C正确． 画出函数的图象，如图所示， 由得， 若关于x的方程有两个不相等的实数根， 则函数的图象与直线有两个交点， 由图象知或，所以t的值为或，D错误． 故选：AC. 8．（24-25高二下·贵州铜仁·期末·多选）设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（    ） A． B．函数的对称中心为 C．过引曲线的切线，有且仅有1条 D．若成等差数列，则 【答案】ABD 【详解】由，令，解得：或， 在，上单调递增，在上单调递减． 对于A，若有3个零点，则，解得：，故A正确； 对于B，令，注意到 ，则函数的对称中心为，B对； 对于C，因曲线切线只与曲线形状有关，与曲线位置无关， 令对选项判断无影响，此时， 对于方程，其判别式大于0，由韦达定理，两根之积小于0，即两根一正一负， 则若有3个从小到大依次为的零点，则． 设切点坐标为，则切线方程为， 将点即代入整理得，即，解得或， 所以切线有2条，故C错误； 对于D， ， ，，（*）， 若成等差数列，则，则，， 代入（*）得：，故D正确． 故选：ABD 课后提升训练 1．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数，所以单调递增，, 选项A：计算 而在时趋向，故A错. 选项B：因为 得B错. 选项C：计算 C错. 选项D：计算 ， 函数， 所以，得D正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】求导得， 因为极小值点为2，所以，解得， 所以， （1）当时，，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增，极小值点为2符合题意； （2）当时，令得， ①当时，，令得，令得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以极小值点为2符合题意； ②当时，要使得极小值点为2，结合二次函数图象，则要求，解得； 综上，的取值范围为， 故选：A. 4．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 5．（24-25高二下·河南信阳·期末·多选）设函数在上可导，其导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．在上单调递减 B．为的极小值点 C．函数有极大值 D．函数有三个零点 【答案】AC 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项A正确； 不是的极值点，选项B错误； 2为的极大值点，函数有极大值，选项C正确； 由于不知道的极小值与极大值的符号， 所以不能确定函数的零点的个数，选项D错误． 故选：AC． 6．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）已知函数，则（   ） A．关于对称 B．的极小值点为 C．有三个零点 D．直线是曲线的一条切线 【答案】ACD 【详解】对于A，，则，所以函数关于对称，故A正确； 对于B，， 所以时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增. 所以，在处取得极小值， 故的极小值点为，故B错误； 对于C，由上分析可知，在处取得极大值，极小值， 所以的图象与轴有三个交点，即有三个零点，故C正确； 对于D，令，解得， 所以斜率为的切线过切点，则切线方程为即，故D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高二下·河北石家庄·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．此函数的最大值为（为自然对数的底数） B． C．，使 D．若，有两个不等实根，则（为自然对数的底数） 【答案】ABD 【详解】对于A，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以函数的最大值为，因此选项A正确， 对于B，因为，且当时，单调递减， 所以，因此选项B正确； 对于C，因为，当时，单调递减且，当时，单调递增， 所以函数有唯一零点， 因此由，由于函数的最大值为， 所以方程无实数解，故选项C说法不正确； 对于D，有两个不等实根，则有两个不等的解， 因为，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，且当时，当时且， 所以有两个不等的解，则，故D正确. 故选：ABD 8．（24-25高二下·福建福州·期末·多选）设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．的对称中心是 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【详解】A选项，， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故为的极小值点，A正确； B选项，，故不是奇函数， 不是函数的对称中心，B错误； C选项，当时，，由A知，所以在上单调递增， 所以，C正确； D选项，当时，， 由于在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 所以，D错误. 故选：AC 9．（24-25高二下·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10．（2024·河北·模拟预测）若函数是增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：由题意可得函数的定义域为， 且， 因为函数是增函数， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 易知为单调递增函数， 且， 所以； 当时， 令， 则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以， 所以， 即， 所以， 令， 令， 则， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 所以，当时取等号， 所以，满足题意； 当时，则，不满足题意； 当时， 此时，不满足题意； 当时，则在上单调递减， 且 ，不满足题意； 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 11．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为 当时， 则 则 所以曲线在处的切线方程为 即 （2）函数的定义域为 ①当时，因为 所以 所以函数在上单调递增. ②当时，令 则 当或时， 当时， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 12．（24-25高一下·上海·期末）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极大值2，极小值 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程：，即. （2）函数的定义域为R，， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 13．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数. (1)若，求的单调区间和极值. (2)若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以，. 令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得极小值. 综上，在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值. （2）. 因为，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，所以，即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 14．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是； (2). 【详解】（1）依题意，，， 由，得；由，得， 故函数的单调增区间是，单调减区间是； （2）原方程可化为，即，亦即， 若原方程在有实根，则与在上有交点， 因为，所以在上单调递增，又， 且时，且速度远远快于x，所以，所以， 所以要使与在上有交点，则， 综上，当时，关于x的方程在区间内有实根. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$