专题19：可化为一元二次方程的分式方程（2大知识点+8大题型+真题检验） 2025-2026学年 沪教版（五四制）（2024）八年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题19 可化为一元二次方程的分式方程 知识点一、分式方程及其解法 1、分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2、解分式方程的方法：通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解． 3、增根的概念：分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根． 4、解分式方程的一般步骤 （1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程，求出整式方程的根； （3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解． 5、 分式方程组的概念 由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组． 6、 解分式方程组的方法 找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验． 知识点二、分式方程应用题 列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系” （1） 利用题目中的关键语句寻找相等关系； （2） 利用公式、定理寻找相等关系； （3） 从生活、生产实际经验中寻找相等关系． 题型01：分式方程的概念 【例1】下列关于x的方程：中，分式方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】下列方程中哪些是可以化为一元二次方程的分式方程（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A．x+y=5 B． C． D． 2．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型02：解分式方程 【例3】下列方程中，有实数根的是（    ）· A． B． C． D． 【例4】解方程 【例5】解方程组： （1）； （2）． 【跟踪训练】 1．下列关于的方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 2.把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（　　） A． B． C． D． 3．方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．解方程：． 5．解分式方程： (1)； (2)． 题型03：将分式方程化为整式方程 【例6】解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【例7】用换元法解方程时，设则原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．用换元法解分式方程+1＝0时，如果设＝y，那么原方程可以变形为整式方程（　　） A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝0 2．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ． 题型04：增根问题 【例8】已知关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【跟踪训练】 1.若关于的分式方程有增根，则的值为 2.（2022八年级下·上海·专题练习）＝有增根，求所有可能的t之和． 题型05：无解问题 【例9】若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【跟踪训练】 1．若关于x的分式方程无解，则m的值是______． 2.如果关于的方程无实数根，那么的值为 ． 3.若关于方程无解，则的值是 ． 4．若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 题型06：根据分式方程的解求参数的值或范围 【例10】若关于的方程只有一个根，求的值，并直接写出对应的原方程的根． 【跟踪训练】 1．关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 2．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（  ） A． B．且 C． D．且 3.若关于的方程有无数多个解，则 ． 题型07：分式方程的应用题 【例11】甲乙两个班分别接到一项植树任务，甲班需植树100棵，乙班需植树90棵．已知甲班平均每天比乙班多植树5棵，且甲班完成任务所用的天数比乙班少一天．求甲班平均每天植树多少棵？ 【跟踪训练】 1.某校八（1）班和四川省某贫困县一所中学的八（2）班是牵手班级，八（1）班所有学生准备捐款3600元帮助小伙伴们来购置学习用品，在实际捐款中又有4名老师参加，如果总的捐款数不变，则参加捐款的每人平均少捐了10元，求这个班的人数． 2.某校同学去春游，包了一辆面包车，现价是180元，出发时又增加2名同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费，设实际参加春游同学共有x人，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 3.某中学八年级举行春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度比第二小组快，第一小组比第二小组早到达目的地，求两个小组的步行速度.若设第二小组的步行速度为，则可列出方程为（    ） A． B． C． D． 4.随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 题型08：综合提升 【例12】已知关于x的分式方程+＝． (1)若方程有增根，求k的值． (2)若方程的解为负数，求k的取值范围． 【跟踪训练】 1．已知：， (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围； (3)当取什么整数时，分式的值为整数． 2．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 3．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 一、选择题 1．（2024宝山区八年级期中）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024金山区八年级期中）如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 3．（2024-2025建平中学八年级期中）关于的方程无解，则的值是（    ） A． B．1 C．0 D．2 4．（2024-2025上宝中学八年级期中）若关于的方程有增根，则的值为（    ） A．3 B．1 C．0 D． 5．（2024-2025实验西校中学八年级期中）“双减”政策实施后，为减轻学生的学业负担，增加学生校内课外的阅读量，某校欲购买一些图书《科学家的故事》以供学生课外阅读．现有，两个商家供货，商家每本图书的售价比商家每本图书的售价少2元，用2000元购买商家图书的数量与用2200元购买商家图书的数量相同．设商家的图书每本售价为元，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024闵行区八年级期中）“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为(   ) A． B． C． D． 二、填空题 7．(2024八下·上海嘉定区·期中)如果关于的方程的有增根，那么则的值为 ． 8．（2024杨浦区八年级期中）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 9．(2024八下·上海金山区·期中)若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 10．(2024八下·上海进才中学北校·期中)若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 11．(2024八下·上海闵行区·期中)解分式方程时，产生增根，那么k的值是 ． 12．(22-23八下·上海罗南中学·期中)已知解关于的方程产生增根，那么的值是 ． 13．(2024八下·上海普陀区梅陇中学·期中)已知关于的分式方程有增根，则 ． 14．(2024八下·上海青浦区·期中)若关于的方程有增根，则的值为 ． 15．(22-23八下·上海徐汇区徐汇中学·期中)某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道x米，根据题意可得方程___________________ 16．(2024八下·上海松江区·期中)一项工程，甲单独完成比乙单独完成多用6天，若甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成，若设甲单独完成此项工程需天，则下列方程正确的是_________ 17．(2024八下·上海黄浦区·期中)某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务.设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程____________ 18．(21-22八下·上海外国语大学附属双语学校·期中)某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为： ． 3、 解答题 19.解方程： （1）； （2）； （3）． 20.解方程： （1）； （2）； （3）． 21.（2024青浦区八年级期中）已知关于的方程有增根，求的值． 22.（2024徐汇中学八年级期中）已知关于的方程无解，求的值． 23.（2024文来中学八年级期中）已知关于的方程的根是负数，求a的取值范围． 24．(2024八下·上海浦东新区部分学校·期中)当m取什么值时，方程无实数解． 25．（2024上宝中学八年级期中）已知关于的分式方程． (1)若这个方程无解，求的值； (2)若这个方程的解是非负数，求的值． 26．（2024黄浦区八年级期中）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元． (1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______； (2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件． 27.（2024普陀区八年级期中）某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需 货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5 个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服? 28．（2022秋·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？ 29．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题19 可化为一元二次方程的分式方程 知识点一、分式方程及其解法 1、分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2、解分式方程的方法：通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解． 3、增根的概念：分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根． 4、解分式方程的一般步骤 （1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程，求出整式方程的根； （3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解． 5、 分式方程组的概念 由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组． 6、 解分式方程组的方法 找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验． 知识点二、分式方程应用题 列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系” （1） 利用题目中的关键语句寻找相等关系； （2） 利用公式、定理寻找相等关系； （3） 从生活、生产实际经验中寻找相等关系． 题型01：分式方程的概念 【例1】下列关于x的方程：中，分式方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义判断即可. 【详解】分式方程是：共3个；故选C. 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是理解分式方程的意义. 【例2】下列方程中哪些是可以化为一元二次方程的分式方程（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义进行判断即可； 【详解】解：选项A中，转化为，不符合题意，故选项A错误； 选项B中，转化为，不符合题意，故选项A错误； 选项C中，转化为：，不符合题意，故选项C错误； 选项D中，转化为：，符合题意，故选项D正确； 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键. 【跟踪训练】 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A．x+y=5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有求知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：A、x+y=5方程不含分母，是整式方程，故不是分式方程； B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； C、不是方程，是分式, 故不是分式方程； D、方程分母中含未知数x，故是分式方程． 故选D． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】①的分母中含有未知数，是分式方程； ②是整式方程； ③是整式方程； ④的分母中含有未知数，是分式方程． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 题型02：解分式方程 【例3】下列方程中，有实数根的是（    ）· A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根的判别式，解分式方程、算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件求解方程依次来判断． 【详解】解：A、，，故没有实数根，不符合题意； B、，方程两边都乘以得：，检验：当时，分式的分母为0，所以此方程没有解，不符合题意； C、由，得，因为算术平方根的结果是非负数，所以此方程无解，不符合题意； D、由，得，两边平方得，解得，经检验是原方程的解，故有实数根，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了方程的根的问题，解题的关键是掌握根的判别式，会解分式方程，算术平方根的非负性． 【例4】解方程 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据分式方程的运算法则进行运算即可． 【详解】 解：整理可得：， 所有项同乘去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为可得：， 检验：把代入可得：， ∴是原方程的解． 【例5】解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2） ． 【解析】（1）对分式方程移项通分得， 展开即得， 由此即得或， 解得：，， 经检验，，都是原分式方程的根； （2）对分式方程变形得， 由此得，两边分别通分即得， 两边分母不同，则必有，解得，经检验，是原分式方程的根． 【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算． 【跟踪训练】 1．下列关于的方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的非负性可判断A；求出分式方程的解，再检验即可判断B；方程变形得到进而可判断C；根据根的判别式即可判断D；从而可得答案. 【详解】解：A、由可得，故原方程无实数解； B、去分母得，当时，，所以是方程的增根，故原方程无实数解； C、方程可变形为，所以，故原方程有实数解； D、因为方程的，所以原方程无实数解； 故选：C. 【点睛】本题考查了二次根式的非负性、分式方程的求解、高次方程的求解以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握上述知识是解题关键. 2.把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方式解题的关键，根据解分式方程去分母的方法求解即可． 【详解】解：分式方程的两边同时乘以，约去分母，得，即为． 故选：D． 3．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案； 【详解】解：两边同时乘以得， ， 解得， ， 当时，， ∴是原方程的解， 故选：A． 4．解方程：． 【答案】 【分析】去分母，整理得，求出方程的根，最后检验． 【解析】解： 整理得：    解得：， 经检验是原方程的根， 是原方程的增根，舍去． 所以，原方程的根为 【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟悉分式方程求解过程． 5．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，关键是利用了转化的思想，把分式方程化为整式方程，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1） 整理得： 去分母，得： 去括号，得 移项，合并同类项得 将系数化为1，得 检验：把代入， 所以是原分式方程的解． （2） 去分母，得： 去括号，得 移项，合并同类项得 将系数化为1，得 检验：把代入， 所以是原分式方程的解． 题型03：将分式方程化为整式方程 【例6】解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．设，则；然后将与代入原方程，再将分式方程化为整式方程即可． 【详解】解：， ， 由原方程，得 ； 方程的两边同时乘以，得 ， 移项，得 ． 故选：A． 【例7】用换元法解方程时，设则原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知方程变形后，将代入即可得到结果． 【解析】解：根据题意得：，即， 由，得到方程化为关于y的整式方程是， 故选：C． 【点睛】此题考查了换元法解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【跟踪训练】 1．用换元法解分式方程+1＝0时，如果设＝y，那么原方程可以变形为整式方程（　　） A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝0 【答案】D 【分析】根据换元法，把换成y，然后整理即可得解． 【解析】解：∵＝y， ∴原方程化为． 整理得：y2+y﹣1＝0． 故选D． 【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，进行转化，再将分式方程转化为整式方程即可． 【解析】解：设， 则原方程化为：， 去分母，得：，即：； 故答案为：． 【点睛】本题考查换元法解分式方程．熟练掌握换元法，以及将分式方程转化为整式方程的方法，是解题的关键． 题型04：增根问题 【例8】已知关于的分式方程有增根，则的值为___________． 13．或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： ， 当，即或时，分式方程有增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 故m的值是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键． 【跟踪训练】 1.若关于的分式方程有增根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将代入整式方程，进行求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴把代入，得：， 解得：； 故答案为：1． 2.（2022八年级下·上海·专题练习）＝有增根，求所有可能的t之和． 【答案】3 【分析】根据根据有增根，说明0或﹣1可能是方程的增根，将分式方程化为整式方程可得（x+1）2+x2＝x+t，进一步求得t的所有可能值，相加即可求解． 【详解】解：∵有增根， ∴说明0或﹣1可能是方程的增根， 去分母得：（x+1）2+x2＝x+t， 代入x＝0，有t＝1； 代入x＝﹣1，有t＝2． 故所有可能的t之和为3． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 题型05：无解问题 【例9】若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先化分式方程为整式方程，分系数中含m和不含m两种情况求解，含m用一元一次方程的无解知识求解；不含m时，用分式方程的增根求解． 【解析】将方程去分母得到： ， 即， ∵分式无解， ∴ 将代入中， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的意义得到整式方程的解是解题的关键． 【跟踪训练】 1．若关于x的分式方程无解，则m的值是______． 15．-1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得，， 是分式方程的增根， 即当时，把代入， 得：，此时分式方程无解， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 2.如果关于的方程无实数根，那么的值为 ． 【答案】6或14 【分析】本题考查了分式方程无解问题、实数，熟练掌握分式方程的解法步骤是解题的关键．对方程去分母化为整式方程，再解整式方程得到，根据关于的方程无实数根可知或，得到关于的方程，求解方程即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 关于的方程无实数根， 或， 或， 解得：或， 的值为6或14． 故答案为：6或14． 3.若关于方程无解，则的值是 ． 【答案】1 【分析】把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出的值，两者相等得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于方程无解， ， ， ， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解分式方程、分式方程无解，熟练掌握解分式方程的步骤以及理解分式方程无解的情况是解题的关键． 4．若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 【答案】或 【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可． 【解析】解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算． 题型06：根据分式方程的解求参数的值或范围 【例10】若关于的方程只有一个根，求的值，并直接写出对应的原方程的根． 【答案】当时，；当时，；当时， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有且仅有一个实数根，分情况讨论，即可确定出k的值即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：． 整理得：． ∴． ∵原方程只有一个实数根， ∴ ． 即． 解得：． 当时，原方程的根为：． 若整式方程中的，则增根为或， 当时，代入方程可得，， 此时方程，解得：（舍去） 当时，代入方程可得，， 此时方程为，解得：（舍去） 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了分式方程含参问题、一元二次方程根的情况，熟练掌握分式方程的计算方法和一元二次方程根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，是解题的关键． 【跟踪训练】 1．关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． 【解析】解：解分式方程的解为， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， 解得：且， 故选C． 2．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（  ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先解分式方程，然后根据方程的解的情况列不等式组计算求解． 【详解】解： 整理，可得 解得， 由题意可得，解得且， 故选：B． 3.若关于的方程有无数多个解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，将分式方程变为，根据分式为0的条件得出，化简得出，根据有无数多个解，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 整理得：， ∵方程有无数多个解， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型07：分式方程的应用题 【例11】甲乙两个班分别接到一项植树任务，甲班需植树100棵，乙班需植树90棵．已知甲班平均每天比乙班多植树5棵，且甲班完成任务所用的天数比乙班少一天．求甲班平均每天植树多少棵？ 【答案】甲班平均每天植树20棵 【分析】此题考查了分式方程的应用，设甲班平均每天植树x棵，则乙班平均每天植树棵，根据甲班需植树100棵，乙班需植树90棵，已知甲班平均每天比乙班多植树5棵，列方程求解即可． 【详解】解：设甲班平均每天植树x棵，则乙班平均每天植树棵， 根据题意得：， 解得：或(舍去)， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 答：甲班平均每天植树20棵． 【跟踪训练】 1.某校八（1）班和四川省某贫困县一所中学的八（2）班是牵手班级，八（1）班所有学生准备捐款3600元帮助小伙伴们来购置学习用品，在实际捐款中又有4名老师参加，如果总的捐款数不变，则参加捐款的每人平均少捐了10元，求这个班的人数． 【答案】36人 【分析】设这个班有人，根据题意即可列出分式方程，解即可求得． 【详解】解：设这个班有人， 根据题意得，． 整理得     解得      ， 经检验，，都是原方程得根，因为人数不能为负数， 所以 答：这个班级有36人． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据数量关系列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检 2.某校同学去春游，包了一辆面包车，现价是180元，出发时又增加2名同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费，设实际参加春游同学共有x人，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，利用每人分摊的车费参加春游的人数，结合实际比原计划每位同学少分摊3元车费，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵出发时又增加2名同学，且实际参加春游同学共有x人， ∴原计划参加春游的同学共有人， 依题意得：． 故选：C． 3.某中学八年级举行春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度比第二小组快，第一小组比第二小组早到达目的地，求两个小组的步行速度.若设第二小组的步行速度为，则可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：第一小组的步行速度为，则： 列出方程为； 故选A． 4.随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 题型08：综合提升 【例12】已知关于x的分式方程+＝． (1)若方程有增根，求k的值． (2)若方程的解为负数，求k的取值范围． 【答案】(1)k的值为6或﹣8 (2)k＜﹣1，且k≠﹣8 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的范围即可； 【解析】（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1， 将x＝1代入整式方程得：k＝6， 将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8， 则k的值为6或﹣8． （2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 去括号合并得：7x﹣1＝k，即x＝， 根据题意得：＜0，且≠1且≠﹣1， 解得：k＜﹣1，且k≠﹣8． 【点睛】本题考查分式方程的解得情况，解分式方程的基本方法是一化二解三检验，分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的值． 【跟踪训练】 1．已知：， (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围； (3)当取什么整数时，分式的值为整数． 【答案】(1) (2)且 (3)当时，分式的值为；当时，分式的值为0；当时，分式的值为；当时，分式的值为0 【分析】（1）将分式的分子、分母分解因式，将除法化为乘法，约分计算即可； （2）将A、B的值代入解方程，根据解是非负数，得到，计算即可； （3）将A利用完全平方公式及整式加减法添括号法则变形为，由值为整数得到x的值，代入计算． 【解析】（1）解： ； （2）解：由题意： ， ， ． ∵解是非负数， ∴ ∴． ∵即， ∴， 解得， ∴且； （3）解： ． 当时，分式的值为； 当时，分式的值为0； 当时，分式的值为； 当时，分式的值为0． 【点睛】此题考查了分式的除法运算法则，解分式方程，正确掌握分式的分解，运算法则，完全平方公式是解题的关键． 2．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【解析】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 3．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【解析】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 一、选择题 1．（2024宝山区八年级期中）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 4．D 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解． 【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程； B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程； C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程； D、分母含有未知数x，所以D是分式方程． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键． 2．（2024金山区八年级期中）如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 5．B 【分析】设，则，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∴原式变形为， 故选：． 【点睛】本题考查的是解分式方程中的换元思想，掌握运用换元的思想将分式方程变形为解一元二次方程是解题的关键． 3．（2024-2025建平中学八年级期中）关于的方程无解，则的值是（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解、解分式方程，先解分式方程，再根据分式方程无解得出的值，从而即可得出的值，掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程的无解或者这个整式方程的解使原分式方程的分母等于，是解此题的关键 . 【详解】解：去分母得， 解得， ∵方程无解， ∴方程有增根，即， 解得：， 把代入得， 解得， 故选：B . 4．（2024-2025上宝中学八年级期中）若关于的方程有增根，则的值为（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的特征，是解决问题的关键． 去分母把分式方程化为整式方程，根据分式方程的增根使分式方程的分母为0，求出增根代入整式方程求解即可． 【详解】方程两边都乘， 得，， ∵关于的方程有增根， ∴， 解得，， ∴， 解得，． 故选：D． 5．（2024-2025实验西校中学八年级期中）“双减”政策实施后，为减轻学生的学业负担，增加学生校内课外的阅读量，某校欲购买一些图书《科学家的故事》以供学生课外阅读．现有，两个商家供货，商家每本图书的售价比商家每本图书的售价少2元，用2000元购买商家图书的数量与用2200元购买商家图书的数量相同．设商家的图书每本售价为元，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两商家图书销售单价间的关系，可得出商家的图书每本售价为元，利用数量总价单价，结合用2000元购买商家图书的数量与用2200元购买商家图书的数量相同，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：商家每本图书的售价比商家每本图书的售价少2元，且商家的图书每本售价为元， 商家的图书每本售价为元． 根据题意得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6．（2024闵行区八年级期中）“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小组原有人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为： ，根据每个同学比原来少分摊了3元车费即可得到等量关系． 【详解】解：设小组原有人， 根据题意可得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清楚题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系． 二、填空题 7．(2024八下·上海嘉定区·期中)如果关于的方程的有增根，那么则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，掌握解决增根问题的步骤是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，然后再确定增根的值，再将增根代入化为整式方程的方程求出k的值即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得：， ∵方程有增根， ∴，解得：， 把代入中可得：． 故答案为：． 8．（2024杨浦区八年级期中）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 去分母，整理得，根据分式方程无解可知增根分别为或，分别求解即可． 【详解】分式方程两边都乘以最简公分母，得：， 整理得：， 关于的分式方程无解， 当时，得，解得， 当时，得，解得． ∴的值为或1． 故答案为：或1． 9．(2024八下·上海金山区·期中)若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查分式方程，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值了． 【详解】解： 方程两边都乘以，得： ∵方程有增根， ∴最简公分母，即增根是． 把代入整式方程，得： 解得，． 故答案为：3． 10．(2024八下·上海进才中学北校·期中)若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根据分式方程的根的情况求参数，去分母解分式方程得，根据分式方程有增根，得到，计算即可． 【详解】解： ∴ 去分母得： ∵分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．(2024八下·上海闵行区·期中)解分式方程时，产生增根，那么k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先把原方程去分母得到，再根据题意得到是方程的解，据此把代入方程中求出k的值即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， ∵解分式方程时，产生增根， ∴是方程的解， ∴， 故答案为：． 12．(22-23八下·上海罗南中学·期中)已知解关于的方程产生增根，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据增根的概念，可知，由此即可求解． 【详解】解： ∴， ∵关于的方程产生增根， ∴，把代入得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的增根的概念，理解并掌握分式中增根的含义是解题的关键． 13．(2024八下·上海普陀区梅陇中学·期中)已知关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】-1 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，然后把代入得，再解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 整理得， 把代入得，解得； 所以当时，原方程有增根． 故答案为． 【点睛】本题考查了分式方程的增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 14．(2024八下·上海青浦区·期中)若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】增根是将分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程后的方程中算出未知字母的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ， ， ∵原方程有增根， ∴最简公分母，即增根为， 把代入整式方程，得； ∴时，关于的方程有增根 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 15．(22-23八下·上海徐汇区徐汇中学·期中)某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道x米，根据题意可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题属于工程问题，未知量是工作效率：实际每天修建盲道x米．题目告诉了工作总量：3000米，那么根据工作时间来列等量关系．等量关系为：原计划工作时间现在工作时间=2天，据此列出方程． 【详解】解：实际每天修建盲道x米，则原计划每天修米． 由题意，知原计划用的时间为天，实际用的时间为：天， 故所列方程为：． 故选A． 【点睛】本题考查用分式方程解决工程问题，工程问题的基本关系式为：工作时间工作总量工作效率．找到关键描述语，得到等量关系是解决问题的关键． 16．(2024八下·上海松江区·期中)一项工程，甲单独完成比乙单独完成多用6天，若甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成，若设甲单独完成此项工程需天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲单独完成此项工程需x天，则乙单独完成此项工程需（x-6）天，根据“甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成”，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设甲单独完成此项工程需x天，则乙单独完成此项工程需（x-6）天， 依题意得：， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 17．(2024八下·上海黄浦区·期中)某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务.设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原计划每天修米，根据结果提前2天完成了任务列方程即可． 【详解】设原计划每天修米，由题意得 ． 故选D． 【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤． 18．(21-22八下·上海外国语大学附属双语学校·期中)某工人要完成个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工个零件，加工个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，设原计划每分钟加工个零件，则可列方程为： ． 【答案】 【分析】根据题意可知：用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少分钟，即可列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 3、 解答题 19.解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3） 无解． 【解析】（1）方程两边同乘，得，整理得 ，解得，，经检验，，都是原方程的根； （2）方程两边同乘，得，整理得，解得：，，经检验，，都是原方程的根； （3）方程两边同乘，得，整理得，解得：，，经检验，，都是原方程的增根，即原方程无解． 20.解方程： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）方程两边同乘，得，整理得， 解得：，，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）方程两边同乘，得，整理得，解得：，，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （3）两边同乘，得，整理得 ，解得：，，经检验，是原方程的增根， 即原方程的根为． 【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根． 21.（2024青浦区八年级期中）已知关于的方程有增根，求的值． 【难度】★★ 【答案】或． 【解析】分式方程两边同乘，得，分式方程有增根，由， 解得：，，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得或 ，解得或． 【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值． 22.（2024徐汇中学八年级期中）已知关于的方程无解，求的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】分式方程两边同乘，得，整理解得：，因为原 分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得，解得． 【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根． 23.（2024文来中学八年级期中）已知关于的方程的根是负数，求a的取值范围． 【答案】且． 【解析】分式方程两边同乘，得，整理解得：，方程的根是 负数，则有，得，同时分式方程的根不能为相应增根，即， 得，由此即得且． 【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根． 24．(2024八下·上海浦东新区部分学校·期中)当m取什么值时，方程无实数解． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握方程和不等式的解法是解答本题的关键. 把分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ∵方程无实数解， ∴， 解得：； 当，时分式方程无意义， 把代入得， 把代入得； 综上分析可知：当或时方程无实数解. 25．（2024上宝中学八年级期中）已知关于的分式方程． (1)若这个方程无解，求的值； (2)若这个方程的解是非负数，求的值． 【答案】(1)3或 (2)且 【分析】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． （2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可． 【详解】（1）， 两边都乘以，得 ， ∴， 当时，分式方程无解，此时． 当时，分式方程无解，此时即． 综上可知，若这个方程无解，的值为3或； （2）∵， ∴， 由题意，得 且， 解得且． 26．（2024黄浦区八年级期中）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元． (1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______； (2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件． 【答案】(1) (2)该公司从甲地购进这种商品60件商品，从乙地购进这种商品100件． 【分析】（1）设从乙地购进的商品件数是y件，依题意得，据此即可求解； （2）根据“乙地同一商品每件比甲地便宜30元”列分式方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设从乙地购进的商品件数是y件， 依题意得， 整理得， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 解得或， 经检验，或都是分式方程的解，但不符合题意，舍去， ∴，， 答：该公司从甲地购进这种商品60件商品，从乙地购进这种商品100件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验． 27.（2024普陀区八年级期中）某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需 货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5 个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服? 【难度】★★★ 【答案】3万套． 【解析】设改进操作方案后每月能生产万套衣服，则改进之前每月生产万套， 依题意可得，整理得，解得：，， 经检验，，都是原方程的根，但不合题意应舍去，即得：， 即改进操作方案后每月能生产万套衣服． 【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解． 28．（2022秋·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？ 【答案】甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米． 【分析】设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米，根据“行驶一半的路程甲所用时间比乙所用时间多2小时”列出方程求解即可． 【详解】解：设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去， ∴原方程的解是x＝3， 则x＋2＝5， 答：甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，关键是能够表示两人所用时间，然后根据题意列方程求解． 29．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？ 【答案】甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天． 【分析】设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天，由甲、乙两队合作，6天可以完成，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天， 根据题意得：， 解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝15， 经检验：x＝15是原方程的解，且符合题意， 则x−5＝10， 答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$