精品解析：江苏省泰州市兴化市2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷

2025年春学期学生阶段性评价 七年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在当今数字化、全球化的时代，AI已成为各国竞争力的重要标志．下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，故该选项符合题意； B. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C. 不轴对称图形，故该选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 由无法用来判断， ∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据幂的乘方、同底数幂的乘除运算和合并同类项法则逐项运算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项运算错误，不合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不合题意； 、，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 4. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， ∴能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法． 5. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ） A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 6. 如图，在正方形中，点在边上，绕点按顺时针方向旋转得到，点在边上，且，若要求出图中面积，只需知道（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点Q，由正方形的性质得，则，由旋转得，因为，所以，可证明，则，即可得到问题的答案． 【详解】解：延长交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D、点B到直线的距离相等， ∴， ∴若要求出的面积，只需知道， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 第二部分非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的计算，根据计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 航天员的宇航服加入了气凝胶，可以抵御太空的高温．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，其颗粒尺寸通常小于，将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 如图，沿射线方向平移到（点E在线段上），如果，，那么平移距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移性质，解题的关键是掌握平移前后对应点连线的长度等于平移的距离． 根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：平移的距离为， 故答案为：． 10. 若，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了逆用同底数幂除法公式求解等知识，逆用同底数幂除法公式得到，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是______． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，掌握命题的基本知识是解题的关键．把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”． 所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．” 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 若，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题关键．根据单项式乘以多项式法则可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：10． 14. 已知，且，那么的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把式子变形为，由可得不等式组，解出不等式组即可求解． 【详解】解：，即， 由得，， 不等式，解得， 不等式，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解不等式组，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握用换元、整体代换方法解方程组是解题的关键．设，可得，即可求解． 【详解】解：由，得： ， 设， 由得：， 方程组的解是， 是方程组的解， ， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，点为直线上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的逆定理的应用，先证明，可得，结合旋转可得，再进一步确定最小位置与最大位置求解即可． 【详解】解：∵直角中，，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，，，； 如图，连接， 则， 当时，最小，则最小， 此时， ∴的最小值为， 当与重合时，三点共线，此时最大，如图， ∴的最大值为； ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式，平方差公式的应用； （1）直接利用完全平方公式进行计算即可； （2）直接利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 18. 解下列一元一次不等式（组）． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解：解不等式得：； 解不等式得：； ∴一元一次不等式组的解集为：． 19. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用加代入元法解二元一次方程即可； （2）用加减消元法解二元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为； 小问2详解】 解：， 原方程组可变为， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 20. 如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【答案】①②，③，证明过程见解析；或①③，②，证明过程见解析；或②③，①，证明过程见解析 【解析】 【分析】三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①；命题一证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题二证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题三证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出． 【详解】命题一：如图，已知①②，求证：③． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 命题二：如图，已知①③，求证：②． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 命题三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②，③．或①③，②．或②③，①． 【点睛】本题主要考查了命题，平行线的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握命题的定义和组成，平行线的判定和性质，等量代换． 21. 如图，网格中每个小正方形边长为1，顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． （1）在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； （2）通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 【答案】（1）图形见解析，14 （2）图形见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换； （1）根据平移的性质作图即可；利用割补法计算即可． （2）结合旋转的性质，连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图（1），即为所求． 线段扫过图形的面积为． 故答案为：14． 【小问2详解】 解：如图（2），连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则绕点逆时针旋转可以与重合， 则点即为所求． 22. 某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作2 h，乙机器人工作4 h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3 h，乙机器人工作2 h，一共可以分拣650件包裹． （1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； （2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2250件，它们每天至少要一起工作多少小时？ 【答案】（1）甲机器人每小时分拣150件，乙机器人每小时分拣100件包裹；（2）它们每天至少要一起工作9小时． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作2h，乙机器人工作4h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3h，乙机器人工作2h，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可； （2）设它们每天要一起工作t小时，根据“甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2250件”列出不等式，求解即可． 【详解】（1）设甲机器人每小时分拣x件，乙机器人每小时分拣y件包裹，根据题意得： ，解得：． 答：甲机器人每小时分拣150件，乙机器人每小时分拣100件包裹． （2）设它们每天要一起工作t小时，根据题意得：（150+100）t≥2250，解得t≥9． 答：它们每天至少要一起工作9小时． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；根据题意找到题中的等量关系，不等关系是解题的关键. 23. 用等号或不等号填空： （1）比较2x与的大小： ①当时，________， ②当时， ________， ③当x=-1时，________； （2）通过上面的填空，猜想2x与的大小关系为______________； （3）无论x取什么值，2x与总有这样的大小关系吗？试说明理由． 【答案】（1）①，＜；②=；③＜（2）；（3）总有这样的大小关系，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据代数式求值，再根据有理数的大小比较，可得答案； （2）根据代数式求值，再任意选两个数代入代数式，最根据有理数的大小比较，可得答案； （3）根据因式分解的完全平方公式和平方本身的非负性即可得答案． 【详解】解：（1）比较2x与x2+1的大小： 当x=2时，2x＜x2+1 当x=1时，2x=x2+1 当x=-1时，2x＜x2+1， 故答案为：＜，=，＜； （2）当x=3时，2x＜x2+1， 当x=-2时，2x＜x2+1， 故答案为：≤ （3）理由：∵， ∴． 无论x取什么值，2x与总有这样的大小关系． 【点睛】本题考查了代数式的值及代数式的大小比较，利用完全平方公式是非负数是解题关键． 24. 已知关于x，y的方程组 （1）请用含的式子表示该方程组的解； （2）①当取不同值时，，的值也随之变化，取部分数值列表如下： 则表格中的__________，__________； ②不管如何变化，，之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出这个关系式并证明； （3）根据上述思路，解答下列问题： ①若关于，的方程组中，求的最大值； ②直接写出关于，的方程组与的公共解为__________． 【答案】（1） （2）①2，2；②存在，； （3）①的最大值为；② 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质； （1）根据消元法求解； （2）①代入（1）中的结果求解；②把（1）中方程组的解相加求解； （3）①根据不等式的性质求解；②先把第二个方程组变式，求出与的关系，再求解． 【小问1详解】 解： 得： 解得：， 得： 解得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 ①当时，， 当时，， 故答案为：，． ②存在， ； 即； 【小问3详解】 ①， 解得：， ， 的最大值为； ②第二个方程组的第方程加上第个方程的倍得：， ， 解方程组， 得：， . 故答案为：． 25. 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，在学习《整式乘法》时，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 【课本回顾】如图1，验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________； 【自主探究】如图3，4个完全相同的长方形围成一个正方形．用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积，代数式1：__________，代数式2：__________；根据代数式1、2，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立的理由． 【知识运用】若，运用你所得到的关系式，计算的值； 【知识延伸】已知，求的值． 【答案】课本回顾：；自主探究：；；，理由见解析；知识运用：49；知识延伸：4 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式和完全平方公式的几何背景． 课本回顾：根据大矩形的面积可以表示为4个小矩形的面积相加，可得公式； 自主探究：阴影部分面积可以表示为4个长方形的面积的和，也可表示为大正方形的面积减去小正方形的面积，分别表示出来即可得出结论，再用乘法公式展开、合并同类项即可证明； 知识运用：由，再代入数值进行计算即可； 知识延伸：设，，可得，，再求解，，从而可得答案． 【详解】解：课本回顾：由图可知，大矩形的面积为：， 故答案为：； 自主探究：用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积， 代数式1：， 代数式2：； ∴得到的等式为：， 理由： ， ∴； 故答案为：；； 知识运用： ， ∵，， ∴原式； 知识延伸：设，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 26. 阅读：在同一个三角形中，如果两条边相等，那么它们所对的角也相等，简称“等边对等角”．例如：在中，若，依据“等边对等角”可得． 运用上述知识，解决问题： 已知：如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，连接，将沿翻折后，点关于的对称点落在边上，且． （1）若，求的度数； （2）试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由； （3）将绕点逆时针后得到，当的一边恰好落在一边所在的直线上时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）为或 【解析】 【分析】（1）求解，可得，由对折可得：，可得，再进一步利用角的和差关系可得答案； （2）求解，，由对折可得：，可得，进一步求解即可； （3）如图，当落在直线上时，由（2）得：，，结合，可得，再建立方程求解即可；如图，当落在直线上时，同理可得：，，，再建立方程求解看； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由对折可得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由见解析： ∵， ∴， ∵， ∴， 由对折可得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当落在直线上时， 由（2）得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 如图，当落在直线上时， 同理可得：， ∵，， ∴， 解得：； 综上：为或． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，三角形的外角的性质，等边对等角的含义，熟练的画图是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期学生阶段性评价 七年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在当今数字化、全球化的时代，AI已成为各国竞争力的重要标志．下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ） A 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 6. 如图，在正方形中，点在边上，绕点按顺时针方向旋转得到，点在边上，且，若要求出图中的面积，只需知道（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 计算：__________． 8. 航天员的宇航服加入了气凝胶，可以抵御太空的高温．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，其颗粒尺寸通常小于，将数据用科学记数法表示为______． 9. 如图，沿射线方向平移到（点E在线段上），如果，，那么平移距离为__________． 10. 若，则的值为__________． 11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是______． 12. 计算：______． 13. 若，则的值为______． 14. 已知，且，那么的取值范围为_________． 15. 已知关于x，y二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 16. 如图，在中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，点为直线上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； 18. 解下列一元一次不等式（组）． （1）． （2）． 19. 解下列方程组： （1）； （2）． 20. 如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 21. 如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． （1）在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； （2）通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 22. 某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作2 h，乙机器人工作4 h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3 h，乙机器人工作2 h，一共可以分拣650件包裹． （1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； （2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2250件，它们每天至少要一起工作多少小时？ 23. 用等号或不等号填空： （1）比较2x与的大小： ①当时，________， ②当时， ________， ③当x=-1时，________； （2）通过上面的填空，猜想2x与的大小关系为______________； （3）无论x取什么值，2x与总有这样的大小关系吗？试说明理由． 24. 已知关于x，y的方程组 （1）请用含的式子表示该方程组的解； （2）①当取不同值时，，的值也随之变化，取部分数值列表如下： 则表格中__________，__________； ②不管如何变化，，之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出这个关系式并证明； （3）根据上述思路，解答下列问题： ①若关于，的方程组中，求的最大值； ②直接写出关于，的方程组与的公共解为__________． 25. 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，在学习《整式乘法》时，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 【课本回顾】如图1，验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________； 【自主探究】如图3，4个完全相同的长方形围成一个正方形．用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积，代数式1：__________，代数式2：__________；根据代数式1、2，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立的理由． 【知识运用】若，运用你所得到的关系式，计算的值； 【知识延伸】已知，求的值． 26. 阅读：在同一个三角形中，如果两条边相等，那么它们所对的角也相等，简称“等边对等角”．例如：在中，若，依据“等边对等角”可得． 运用上述知识，解决问题： 已知：如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，连接，将沿翻折后，点关于的对称点落在边上，且． （1）若，求的度数； （2）试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由； （3）将绕点逆时针后得到，当的一边恰好落在一边所在的直线上时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$