精品解析：河南省三门峡市2024-2025学年七年级下学期期末质量检测数学试卷

2024-2025 学年度下学期期末质量检测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置， 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的． 1. 下列数据中，最小的实数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 我国自主研发的软件人工智能大模型，其图标设计以鲸鱼为核心元素，象征着在人工智能领域的深度探索精神．以下四个图标，其中可以由左图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表述，能确定某地点位置的是（ ） A. 万达影院第2排 B. 黄河东路 C. 北偏东25° D. 4. 若为正整数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①两个负数的积是正数；②如果，那么；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④时，钟面上的时针与分针所成的角是直角． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 二十四节气是我国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时、昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．某地区一年中部分节气所对应的白昼时长示意图如图所示．下列节气中，白昼时长超过的是（ ） A. 春分 B. 小暑 C. 秋分 D. 立冬 9. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长儿何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳还剩余4.5尺（注：1尺米）；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，．．．的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，一片树叶放置在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点均在格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________． 12. 为了解我市初中生每天完成家庭作业所花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据；②分析数据；③制作并发放调查问卷；④得出结论，提出建议．你认为这四个步骤合理的先后排序为__________． 13. 若方程组的解满足，则的取值范围为___________． 14. 将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若，则的度数为___________． 15. 已知，a、b是正整数． (1)若是整数，则满足条件的a的值为______； (2)若是整数，则满足条件的有序数对(a，b)为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）求不等式的正整数解． 17. 在学习完二元一次方程组的解法后，老师给出方程组，小美和小庆的部分做法如下． 小美的部分过程 小庆的部分过程 ，得 由②，得 ③， 把①代入③， 得 （1）下列说法正确的是（ ） A．小美的过程正确 B．小庆的过程正确 C．小美和小庆的过程都正确 D．小美和小庆的过程都不正确 （2）小美用的是___________，小庆用的是___________．（选择你认为正确的序号填入） ①加减消元法 ②代入消元法 （3）请你选择一种方法写出这个方程组的完整求解过程． 18. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； （3）求的面积． 19. 三门峡市作为河南积极推动新能源发展的城市之一，在2025年举办了一场新能源汽车推广展示活动．为了解当地市民对不同类型汽车的喜好，工作人员随机抽取了部分参与活动的市民，进行了“我最喜欢的汽车类型”调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表和扇形统计图． “我最喜欢的汽车类型”统计表 类型 人数 百分比 纯电 48% 混动 氢燃料 4 油车 6 c% “我最喜欢的汽车类型”扇形图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了___________人；表中___________； （2）请计算扇形统计图中“氢燃料”类所在扇形的圆心角的度数； （3）若参加此次汽车展览会的人数共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 20. 如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． （1）点表示的数为___________；点表示的数为___________． （2）请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为___________，小数部分为___________． （3）已知是整数，，且，求的值． 21. 如图，已知，，，求证：． 22. 河南三门峡地处豫晋陕三省交界，素有“黄河明珠”之称，其独特的地理环境孕育了众多知名特产．灵宝苹果脆片（酥脆香甜）和卢氏连翘茶（清雅回甘）就是其中两种非常受欢迎的特产．两位游客到特产店选购三门峡特产作为伴手礼，经询问得知：购买2袋灵宝苹果脆片和3袋卢氏连翘茶共需61元；购买3袋灵宝苹果脆片和1袋卢氏连翘茶共需39元． （1）每袋灵宝苹果脆片和卢氏连翘茶各多少元？ （2）两人计划购买两种特产共10袋，且总花费不超过130元，同时希望灵宝苹果脆片的数量不超过卢氏连翘茶的2倍，问有哪几种购买方案？ 23. 一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：__________． （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年度下学期期末质量检测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置， 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的． 1. 下列数据中，最小的实数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较．根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故最小的数为， 故选：A． 2. 我国自主研发的软件人工智能大模型，其图标设计以鲸鱼为核心元素，象征着在人工智能领域的深度探索精神．以下四个图标，其中可以由左图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，根据平移变换的定义判断即可． 【详解】解：能通过如图平移得到的是选项B， 故选：B． 3. 根据下列表述，能确定某地点位置的是（ ） A. 万达影院第2排 B. 黄河东路 C. 北偏东25° D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位置的表示方式，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据在平面内，要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置即可得出答案． 【详解】A、仅给出排数，未说明具体座位号，无法确定唯一位置，不符合题意； B、仅给出道路名称，未说明门牌号或交叉路口，无法精确定位，不符合题意； C、仅给出方向，未提供距离，无法确定具体点不符合题意； D、经纬度（东经，北纬）是地理坐标的两个参数，可唯一对应地球上的一个点符合题意； 故选：D． 4. 若为正整数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 本题可根据不等式的基本性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】A、当时，满足，但，并不满足，所以该选项错误，不符合题意； B、因为，在不等式两边同时加，可得，所以该选项正确，符合题意； C、因为为正整数，所以，因为，所以，而不是，所以该选项错误，不符合题意； D、因为为正整数，所以，因为，所以，而不是，所以该选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 如图所示，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．先证明，根据平分，求得，再根据平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①两个负数的积是正数；②如果，那么；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④时，钟面上的时针与分针所成的角是直角． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真命题的判断，解题的关键是熟练掌握相关数学知识． 本题需要根据有理数乘法法则、立方根的性质、垂线的性质以及钟面角的计算方法，对每个命题进行分析判断． 【详解】①根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 因为两个数都是负数，同号相乘得正，所以两个负数的积是正数，该命题是真命题； ②如果，对等式两边同时开立方，可得，该命题是真命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这里没有强调“在同一平面内”，在空间中过一点与已知直线垂直的直线有无数条，所以该命题是假命题； ④时，分针指向6，时针在3和4的正中间． 钟面—圈为，共被分成12个大格，每个大格的角度为． 此时时针与分针之间的夹角为2.5个大格，所以夹角为，不是直角，该命题是假命题． 综上，真命题有①②，共2个， 故选：C． 7. 若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的解集，结合数轴可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 由数轴可得，不等式的解集为， ∴， 解得． 8. 二十四节气是我国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时、昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．某地区一年中部分节气所对应的白昼时长示意图如图所示．下列节气中，白昼时长超过的是（ ） A. 春分 B. 小暑 C. 秋分 D. 立冬 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，能读懂函数的图象并从中整理出进一步解题的有关信息是解题的关键．由图可知，白昼时长超过的是小满、夏至、小暑，即可解决． 【详解】解：由图可知，白昼时长超过的是小满、夏至、小暑， 选项中只有选项B符合题意， 故选：B． 9. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长儿何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳还剩余4.5尺（注：1尺米）；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用．用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4．5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案． 【详解】解：由题意可得方程组为： 故选：C． 10. 如图，，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，．．．的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律，找到变化规律是解题的关键． 观察图形可以看出每个为一组，再根据纵坐标变化找到规律即可解． 【详解】解：∵各三角形都是等腰直角三角形， ∴直角顶点的纵坐标的绝对值等于斜边长度的一半为斜边的一半， ∴，，， ∵， ∴点在第一象限，横坐标是，纵坐标是， ∴的坐标为．   故选：A ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，一片树叶放置在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点均在格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标，根据条件找到原点位置及坐标轴方向是解题的关键． 分别根据的坐标，可确定出原点位置及坐标轴方向，继而求解． 【详解】解：由点的坐标，点的坐标，则可得． 故答案为∶ ． 12. 为了解我市初中生每天完成家庭作业所花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据；②分析数据；③制作并发放调查问卷；④得出结论，提出建议．你认为这四个步骤合理的先后排序为__________． 【答案】③①②④ 【解析】 【分析】本题考查了数据的收集与整理，掌握统计调查的一般步骤是解题关键．根据题目提供的问题情境，采取抽样调查的方式进行，于是先确定抽查样本，制作并发放调查问卷，紧接着统计收集来的数据，对数据进行分析，最后得出结论，提出建议． 【详解】解：在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理分析数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况，最后得出结论，提出建议和整改意见， 即这四个步骤合理的先后排序为：③制作并发放调查问卷；①收集数据；②分析数据；④得出结论，提出建议． 故答案为：③①②④． 13. 若方程组的解满足，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若，则的度数为___________． 【答案】##124度 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，标出如图所示的角度则有，，，，分别求出和，进一步求得和，即可求出答案． 【详解】解：作如图辅助线， 则，，，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 15. 已知，a、b是正整数． (1)若是整数，则满足条件的a的值为______； (2)若是整数，则满足条件的有序数对(a，b)为______． 【答案】 ①. (1)3 ②. (2)（3，7）或（12，28） 【解析】 【分析】（1）3=3×1，根据以上算式的长即可； （2）根据二次根式的性质和已知得出即可． 【详解】解：（1）∵是整数，a是正整数， ∴a=3， 故答案为3；  （2）∵是整数， ∴a=3，b=7或a=12，b=28， 因为当a=7，b=10时，=1+1=2是整数； 当a=12，b=28时，是整数； 即满足条件的有序数对（a，b）为（3，7）或（12，28）， 故答案为（3，7）或（12，28）． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）求不等式的正整数解． 【答案】（1）（2）正整数解为：1，2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一元一次不等式的整数解，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方和算术平方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出对应的整数解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴此不等式的正整数解为：1，2． 17. 在学习完二元一次方程组的解法后，老师给出方程组，小美和小庆的部分做法如下． 小美的部分过程 小庆的部分过程 ，得 由②，得 ③， 把①代入③， 得 （1）下列说法正确的是（ ） A．小美的过程正确 B．小庆的过程正确 C．小美和小庆的过程都正确 D．小美和小庆的过程都不正确 （2）小美用的是___________，小庆用的是___________．（选择你认为正确的序号填入） ①加减消元法 ②代入消元法 （3）请你选择一种方法写出这个方程组的完整求解过程． 【答案】（1）D （2）①；② （3） 选择小美的方法： ，得，解得； 将代入①得，解得， 这个方程组的解为 选择小庆的方法： 由②得③， 把①代入③得，即， 解得， 将代入①得， 解得， 这个方程组的解为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）小美的过程中，的结果应该为；小庆的过程中，由可得，据此可得答案； （2）根据解题过程即可得到答案； （3）分别利用加减消元法和代入消元法解原方程组即可． 【小问1详解】 解：由题意得，小美的过程中，的结果应该为； 小庆的过程中，由，可得， ∴小美和小庆的过程都不正确， 故选：D； 【小问2详解】 解：由题意得，小美用的是加减消元法，小庆用的是代入消元法， 故答案为：①；②； 【小问3详解】 略 18. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图并写出平移后坐标即可； （2）根据平移的规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，即可得到坐标； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作，点的坐标为； 【小问2详解】 解：若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为； 【小问3详解】 解：的面积． 19. 三门峡市作为河南积极推动新能源发展的城市之一，在2025年举办了一场新能源汽车推广展示活动．为了解当地市民对不同类型汽车的喜好，工作人员随机抽取了部分参与活动的市民，进行了“我最喜欢的汽车类型”调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表和扇形统计图． “我最喜欢的汽车类型”统计表 类型 人数 百分比 纯电 48% 混动 氢燃料 4 油车 6 c% “我最喜欢的汽车类型”扇形图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了___________人；表中___________； （2）请计算扇形统计图中“氢燃料”类所在扇形的圆心角的度数； （3）若参加此次汽车展览会的人数共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50，24 （2）扇形统计图中“氢燃气”类所在扇形的圆心角的度数为 （3）估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有4400人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢纯电人数除以调查人数可求得m； （2）用喜欢“氢燃料”人数除以调查人数可求得b，用360度乘以所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解，或先求得n再求占比即可． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取了，， 故答案为：50，24； 【小问2详解】 解：， ， 答：扇形统计图中“氢燃气”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：解法一：（人） 解法二： ， （人） 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有4400人． 20. 如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． （1）点表示的数为___________；点表示的数为___________． （2）请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为___________，小数部分为___________． （3）已知是整数，，且，求的值． 【答案】（1）， （2）2， （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）根据，有，即可得，代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）得点B表示的数为， ， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； 【小问3详解】 解： 是整数，， ， ． 21. 如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，先证明，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，再得出，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 22. 河南三门峡地处豫晋陕三省交界，素有“黄河明珠”之称，其独特的地理环境孕育了众多知名特产．灵宝苹果脆片（酥脆香甜）和卢氏连翘茶（清雅回甘）就是其中两种非常受欢迎的特产．两位游客到特产店选购三门峡特产作为伴手礼，经询问得知：购买2袋灵宝苹果脆片和3袋卢氏连翘茶共需61元；购买3袋灵宝苹果脆片和1袋卢氏连翘茶共需39元． （1）每袋灵宝苹果脆片和卢氏连翘茶各多少元？ （2）两人计划购买两种特产共10袋，且总花费不超过130元，同时希望灵宝苹果脆片的数量不超过卢氏连翘茶的2倍，问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）灵宝苹果脆片每袋8元，卢氏连翘茶每袋15元 （2）有四种购买方案：①购买灵宝苹果脆片3袋，购买卢氏连翘茶7袋；②购买灵宝苹果脆片4袋，购买卢氏连翘茶6袋；③购买灵宝苹果脆片5袋，购买卢氏连翘茶5袋；④购买灵宝苹果脆片6袋，购买卢氏连翘茶4袋． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设每袋灵宝苹果脆片元，每袋卢氏连翘茶元，根据购买2袋灵宝苹果脆片和3袋卢氏连翘茶共需61元；购买3袋灵宝苹果脆片和1袋卢氏连翘茶共需39元建立方程组求解即可； （2）设购买灵宝苹果脆片袋，则购买卢氏连翘茶袋，根据总花费不超过130元同时灵宝苹果脆片的数量不超过卢氏连翘茶的2倍建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设每袋灵宝苹果脆片元，每袋卢氏连翘茶元． 由题意得，， 解得，， 答：灵宝苹果脆片每袋8元，卢氏连翘茶每袋15元． 【小问2详解】 解：设购买灵宝苹果脆片袋，则购买卢氏连翘茶袋． 由题意可得，， 解得，， 为整数， 或或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 有四种购买方案：①购买灵宝苹果脆片3袋，购买卢氏连翘茶7袋；②购买灵宝苹果脆片4袋，购买卢氏连翘茶6袋；③购买灵宝苹果脆片5袋，购买卢氏连翘茶5袋；④购买灵宝苹果脆片6袋，购买卢氏连翘茶4袋． 23. 一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：__________． （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】（1）60° （2）或110 【解析】 【分析】（1）根据两角之和为180°以及两角之比为2:1即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，此时分两种情况讨论，第一种当时，根据，即有，再结合，则有，进而有，据此即可得到关于t的方程，解方程即可求解；第二种情况，当时，同理可得． 【小问1详解】 ∵，， ∴， 故答案为：60°； 【小问2详解】 A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 解得， 综上所述，当或110时，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类讨论的思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $