精品解析：吉林省长春市十一高中2024-2025学年高二下学期第三学程考试数学试卷

长春市十一高中2024—2025学年度高二下学期第三学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 函数零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 被誉为中国现代数学之父的华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.例如：函数图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上减函数，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. z的虚部为 C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若复数满足，则的最小值为1 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 对于，，有 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性强 11. 已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则__________． 13. 若直线为曲线的一条切线，则实数k的值为________． 14. 定义在上的可导函数满足，且在上有成立.若实数满足，则的取值范围是__________． 四、解答题 15. 已知函数. （1）当时，求函数在上极值； （2）当时，求函数的单调区间． 16. 某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师（50岁以上）20人，青年教师（49岁以下）30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人． （1）根据以上数据建立一个列联表； （2）试根据小概率值的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系； （3）以样本频率作为概率，在该校任取3位青年教师，求这3位教师中恰好有两位赞同新课程教学模式的概率． 附：，，其中 ，. 17. 甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是. （1）求m的值； （2）若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 18. 已知函数． （1）若，求在区间上的最大值与最小值． （2）关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 19. 意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性． （1）求证：； （2）求函数的最小值； （3）求证：对，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春市十一高中2024—2025学年度高二下学期第三学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用根式性质，指数幂性质和对数性质化简计算即可. 【详解】对于A，，故A错误 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出使解析式有意义的自变量的范围． 【详解】由题意，解得． 故选：D． 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】函数的定义域为，且函数在单调递增， 当时，，，， ，， 所以，所以函数在必有一个零点. 故选：D 4. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求解最值即可得解. 【详解】由于，故, 因此对任意的恒成立， 故对任意的恒成立， 由于，当且仅当即时等号成立， 故， 故选：C 5. 被誉为中国现代数学之父的华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.例如：函数图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值的正负，判断选项. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，故排除AC， ，故排除B，只有D满足条件. 故选：D 6. 已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 7. 已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得，利用对数运算可得，再利用函数图象及性质求出的取值范围即可. 【详解】函数的图象对称轴，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 令，则函数的图象与直线有4个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象，得，，由，得， 由，得，则， 函数在上单调递减，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C 8. 若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，利用求得的值，从而得到，分和两种情况讨论，当时，结合二次函数图象判断函数单调性，从而求得的取值范围. 【详解】求导得， 因为极小值点为2，所以，解得， 所以， （1）当时，，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增，极小值点为2符合题意； （2）当时，令得， ①当时，，令得，令得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以极小值点为2符合题意； ②当时，要使得极小值点为2，结合二次函数图象，则要求，解得； 综上，的取值范围为， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. z的虚部为 C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若复数满足，则的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的除法乘法运算结合模长公式判断A，根据复数定义判断B，应用复数对应点判断C，应用模长关系计算判断D. 【详解】由，得，所以，，A正确； z的虚部为，B错误； ，在复平面内对应的点为，位于第二象限，C正确； 因为，D正确. 故选:ACD. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 对于，，有 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性强 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式定理、正态分布、二项分布的期望与方差、样本相关系数的性质来逐一分析选项即可. 【详解】对于A：因为， 所以，A选项错误； 对于B：因为，所以正态分布曲线关于对称， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 ，B选项正确； 对于C：因为，且，即，解得 则，C选项正确； 对于D：样本相关系数越接近1，两个变量的线性相关性越强；越接近0，两个变量的线性相关性越弱. ，，因为，即，所以B组数据比A组数据的相关性强，D选项错误. 故选：BC 11. 已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由得出的图象关于点对称，由和得出可判断A；由和可判断B；根据的定义域均为和图象关于点对称可判断C；记，，，结合选项A知数列和数列均为等差数列，利用等差数列的求和公式可判断D. 【详解】， 的图象关于点对称，即， 对于A，，①， ，②， ②-①得，故A正确； 对于B，，③， ④， ③-④得，的图象关于点对称，故B错误； 对于C，的定义域为且图象关于点对称，，故C正确； 对于D，的定义域为且图象关于点对称，， 由②知，当时，，， 当时，，， ，，， 记，，， 由选项A知，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 数列是以为首项，以为公差的等差数列， ，， ，故D错误. 故选：AC. 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由换元法，即可求解. 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 13. 若直线为曲线一条切线，则实数k的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】设切点为，对求导得，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设切点为， 对求导得， 由题意，解得. 故答案为：1. 14. 定义在上的可导函数满足，且在上有成立.若实数满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据已知判断函数的奇偶性和单调性，再将目标不等式转化为，利用单调性和奇偶性可解. 【详解】记，则 由可得 所以偶函数 记，则 因为当时，，当时， 所以，当时，有最小值 又因为在上，即 所以 所以在上单调递增， 由可得 即 所以，即，解得. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数. （1）当时，求函数在上的极值； （2）当时，求函数的单调区间． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）单调递增区间为，，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据函数极值和导函数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间，判断函数极值. （2）根据函数单调性和函数导数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为，则， 令，即，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以在上的极小值小值为，无极大值； 【小问2详解】 当时，函数，定义域为， 则， 令，解得或， 当，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为. 16. 某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师（50岁以上）20人，青年教师（49岁以下）30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人． （1）根据以上数据建立一个列联表； （2）试根据小概率值的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系； （3）以样本频率作为概率，在该校任取3位青年教师，求这3位教师中恰好有两位赞同新课程教学模式的概率． 附：，，其中 ，. 【答案】（1）答案见解析 （2）对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出列联表即可； （2）零假设为：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关，求出即可求解； （3）求出青年教师对新课程教学模式赞同的频率，求出在该校任取一位青年教师赞同新课程教学模式的概率，求出3位教师中恰好有两位赞同新课程教学模式的概率. 【小问1详解】 列联表如下． 对新课程教学模式 教师身份 合计 老教师 青年教师 赞同 10 24 34 不赞同 10 6 16 合计 20 30 50 【小问2详解】零假设为：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关， 由公式得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关； 【小问3详解】 青年教师对新课程教学模式赞同的频率为， 所以在该校任取一位青年教师赞同新课程教学模式的概率为， 3位教师中恰好有两位赞同新课程教学模式的概率为. 17. 甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是. （1）求m的值； （2）若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为1. 【解析】 【分析】（1）首先求出掷一枚骰子，点数为1或2的概率和点数为3、4、5、6的概率，然后根据掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是这一条件求出的值. （2）首先确定的可能取值，然后针对每个取值求对应的概率，然后列出分布列，最后利用数学期望公式求出期望值. 【小问1详解】 由题意可知，掷一枚骰子，点数为1或2的概率为，点数为3、4、5、6的概率为. 由于掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是， 则，化简得， 解得或者（舍去）. 所以. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量可能取值为0，1，2. 则； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 18. 已知函数． （1）若，求在区间上的最大值与最小值． （2）关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）最小值-1，最大值 （2）. 【解析】 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性，然后求值即可； （2）求导，可知函数的最小值，得到，然后分，，计算即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，所以， 令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得最小值. ，，而， 所以：此在处取得最大值 【小问2详解】 . 因为，令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以， 所以：， 即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设， 则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 19. 意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性． （1）求证：； （2）求函数的最小值； （3）求证：对，． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入双曲余弦和双曲正弦函数的解析式，化简即可. （2）求函数解析式，利用换元法结合基本不等式可求函数的最小值. （3）当时，研究的符号，判断它们的大小，当时，构造函数，利用函数的单调性进行判断. 【小问1详解】 因为. 所以：. 【小问2详解】 . 设，则，当且仅当时取“”. 则，在上单调递增. 所以. 所以函数最小值为. 【小问3详解】 当时，，. 对， 因为，所以为偶函数； 设，则， 因为，所以，，所以， 所以，即在上单调递增. 所以当时，. 对，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增. 所以当时，. 所以； 当时，. 设. 所以， 所以. 即. 综上可得：对，. 【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键是要分析双曲余弦函数和双曲正弦函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$