精品解析：江苏省泰州市海陵区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下面四幅图是一些机场的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞 B. 某期刊检查一篇待刊登文章中的错别字 C. 检测某批次汽车的防撞能力 D. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 6. 小方尝试直播带货，上了号四款商品的链接．图中的四个点分别描述了四款商品单件的利润率（利润率）与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（　　） A. 4号 B. 3号 C. 2号 D. 1号 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 8. 为迎接2025年世界环境日（6月5日），某校开展“环保知识竞答”活动，准备了一个不透明的箱子，里面装有红、蓝两种颜色的答题卡片（除颜色外都相同）．通过大量重复摸卡试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近．若箱子中共有80张卡片，则估计蓝色卡片约有___________张． 9. 用配方法解方程，方程可化为，则___________． 10. 分式的值是正整数，则正整数的值是___________． 11. 反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是___________．（用“”号连接） 12. 如图，在平行四边形中，于于，若，，，则平行四边形的面积为______． 13. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 14. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为___________． 15. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为___________． 16. 如图，在菱形中，，为边上一点，．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则菱形的边长为___________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算或化简： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 求值：，其中为整数，且． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程有一个根，求另一个根． 21. 我们丢弃的塑料袋有些即使经过几十年也不会被分解成无害物质，因此大量的塑料袋垃圾会造成环境污染．某校八年级（1）班在全校范围内，开展了关于学生家庭一周丢弃塑料袋数量的调查，调查后发现丢弃塑料袋的数量共有5种情况，记录数据整理图表如下（不完整）： 一周丢弃塑料袋数量（个） 16 17 18 19 20 对应家庭数（户） 5 10 10 5 一周丢弃塑料袋的5种情况对应家庭数分布的扇形统计图 请根据以上信息解决下列问题： （1）的值为___________，所有被调查学生的家庭一周共丢弃塑料袋___________个； （2）在扇形统计图中，求一周丢弃19个塑料袋家庭数对应的扇形圆心角的度数； （3）若每个塑料袋平铺后的平均面积约为0.15平方米，该校九（2）班有45名学生，请计算九（2）班所有学生家庭一周丢弃的塑料袋平铺后的总面积约为多少？ 22. 推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定，当受力面积为时，压强为． （1）求与的函数表达式； （2）若某工地地面压强超过时会发生塌陷事故，为确保安全，施工过程中受力面积应不小于多少？ 23. 问题背景：某河道清理工程，总淤泥量设为单位“1”，由于设备调度限制，工程队将清理任务划分为多个周期，规划如下：以4天为一个周期，第1周期完成全部任务的，第2周期完成余下任务的，第3周期再完成余下任务的……以此类推，当剩余量不超过时，则下一周期内完成所有剩余任务． 观察发现： 第1周期完成量，剩余量； 第2周期完成量，剩余量； 第3周期完成量，剩余量； ．．．．．． （1）第5周期完成量=___________，剩余量=___________； （2）求第（为正整数）周期后，累计完成的任务总量； （3）若第周期结束后剩余量为，则工程队最多需要多少天完成全部任务？ 24. （1）如图1，在四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点． 请从①，②，③中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构造出一个真命题并进行证明． 条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： （2）如图2，在矩形中，点为的中点，连接，，仅使用无刻度的直尺在右侧作出一点，并连接，使得四边形为平行四边形．（不写作法，保留作图痕迹） 25. 如图，点是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线交轴于点．设点的横坐标分别为，直线的函数表达式为． （1）当时， ①求直线函数表达式； ②若，直接写出的取值范围； （2）若点和点关于原点对称，作直线交轴于点，求证：． 26. 如图，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿过点的直线折叠，使翻折至处，折痕为交于点． （1）如图1，当时， ①求证：； ②求的长； （2）如图2，连接，四边形能否为菱形？若能，试确定点位置；若不能，请说明理由； （3）如图3，当时，仅用圆规在图3中作出点（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下面四幅图是一些机场的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞 B. 某期刊检查一篇待刊登文章中的错别字 C. 检测某批次汽车的防撞能力 D. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 【答案】C 【解析】 【分析】抽样调查适用于调查对象数量多、具有破坏性或无法全面调查的情况，需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】A、因钞票数量有限且需确保每张真实，必须全面检查，不适用抽样，故选项A不符合题意； B、为确保文章准确性，需逐字检查，不适用抽样，故选项B不符合题意； C、防撞测试具有破坏性，无法对所有汽车检测，适用抽样，故选项C符合题意； D、因涉及重大安全，需全面检查每个零件，不适用抽样，故选项D不符合题意． 故答案选：C． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4. 下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，通过计算各选项对应的一元二次方程的判别式，判断是否存在实数根即可． 【详解】对于一元二次方程 ，判别式 ： 选项A：， ，，， ，方程有两个实数根． 选项B： ，，， ，方程无实数根． 选项C： ，，， ，方程有两个实数根． 选项D： ，，， ，方程有两个实数根． 综上，只有选项B的判别式为负，故无实数根． 故选B． 5. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题判断命题的真假，涉及特殊四边形的判定定理，需逐一分析各选项是否符合相应四边形的定义或判定条件． 【详解】A．一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，而选项中另一组对边仅“相等”不满足条件（如等腰梯形），故为假命题，不符合题意． B．菱形的判定需对角线互相垂直且平分，或四边相等．选项仅满足对角线垂直，无法保证是菱形（如对角线垂直但不对称的风筝形），故为假命题，不符合题意． C．平行四边形的对角线必然互相平分，但矩形需满足对角线相等．选项未增加新条件，仅重复平行四边形性质，故为假命题，不符合题意． D．三个角为直角说明四边形是矩形，矩形对角线互相垂直时必为正方形（因对角线相等且垂直的矩形是正方形），故为真命题，符合题意． 故选：D． 6. 小方尝试直播带货，上了号四款商品的链接．图中的四个点分别描述了四款商品单件的利润率（利润率）与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（　　） A. 4号 B. 3号 C. 2号 D. 1号 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果． 【详解】解：∵利润等于成本乘以利润率， 描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴1号和3号的单件利润相等（横纵坐标之积相等）， ∵4号在双曲线的上方，2号在双曲线的下方， ∴表示4号的点的横纵坐标之积大于表示1号和3号的点的横纵坐标之积，表示2号的点的横纵坐标之积小于表示1号和3号的点的横纵坐标之积， ∴4号的利润大于1号和3号的利润，2号的利润小于1号和3号的利润． 故选：A． 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使式子实数范围内有意义，则， 即． 故答案： 8. 为迎接2025年世界环境日（6月5日），某校开展“环保知识竞答”活动，准备了一个不透明的箱子，里面装有红、蓝两种颜色的答题卡片（除颜色外都相同）．通过大量重复摸卡试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近．若箱子中共有80张卡片，则估计蓝色卡片约有___________张． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据蓝色卡片的频率可得摸到蓝色卡片的概率，根据概率公式即可求出蓝色卡片的数量． 【详解】解：设木箱中蓝色卡片有x张，根据题意得： ， 解得：， 则估计箱子中蓝色卡片有32张． 故答案为：32． 9. 用配方法解方程，方程可化为，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 先移项，再等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 10. 分式的值是正整数，则正整数的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值是正整数， ∴或2， ∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 11. 反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是___________．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数比例系数， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，于于，若，，，则平行四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质：根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，， ∴，， ∴平行四边形的面积为． 故答案为：． 13. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 先确定最简公分母，令最简公分母为0，求出增根x值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得，即增根为2， 方程两边同乘，得， 化简，得， 将代入，得． 故答案为． 14. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为___________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先求得，，设，利用等积法求得，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：如图，作轴于点，记直线交轴于点， 在直线中， 当时，，当时，， ∴，， ∴，，， 由旋转的性质得， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：48． 15. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质、三角形外角的性质及折叠的性质；由题意可分当点在线段上时和当点在线段的延长线上时，然后根据平行线的性质及折叠的性质可进行求解． 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上所述，的度数为或； 故答案为：或． 16. 如图，在菱形中，，为边上一点，．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则菱形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点，连接．证明是的中位线，再利用垂线段最短解决问题． 【详解】解：连接，延长交于点，连接。 四边形菱形，， ，， ，都是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， 当时，的值最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先分母有理化，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）先将分子、分母进行因式分解，然后再按照分式乘法运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）两边都乘以化分式方程为整式方程，解之求出x值，再检验即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 两边都乘以得：， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， ∴.， 则或， 解得，． 19. 求值：，其中为整数，且． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∵，，，， 即，，，， ∴， 原式． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程有一个根是，求另一个根． 【答案】（1） （2）另一个根为5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于m的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的两个根为，，其中 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为5 21. 我们丢弃的塑料袋有些即使经过几十年也不会被分解成无害物质，因此大量的塑料袋垃圾会造成环境污染．某校八年级（1）班在全校范围内，开展了关于学生家庭一周丢弃塑料袋数量的调查，调查后发现丢弃塑料袋的数量共有5种情况，记录数据整理图表如下（不完整）： 一周丢弃塑料袋数量（个） 16 17 18 19 20 对应家庭数（户） 5 10 10 5 一周丢弃塑料袋的5种情况对应家庭数分布的扇形统计图 请根据以上信息解决下列问题： （1）的值为___________，所有被调查学生的家庭一周共丢弃塑料袋___________个； （2）在扇形统计图中，求一周丢弃19个塑料袋的家庭数对应的扇形圆心角的度数； （3）若每个塑料袋平铺后的平均面积约为0.15平方米，该校九（2）班有45名学生，请计算九（2）班所有学生家庭一周丢弃的塑料袋平铺后的总面积约为多少？ 【答案】（1）10；720 （2） （3）平方米 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，频数分别表，加权平均数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用丢弃塑料袋17个的户数除以它们所占的百分比即可得出总户数，用总户数乘丢弃塑料袋18个的户数所占的百分比即可求出m的值，再计算总个数即可； （2）用乘丢弃塑料袋19个的户数所占的百分比即可； （3）先求出每一名学生自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量的平均数，即可得到每名同学丢弃的塑料袋平铺后面积，那么全班45名同学的家庭在一周内共丢弃的塑料袋全部铺开所占面积即可求出． 【小问1详解】 解：这次调查的家庭数是：（户）， （户）， 所有被调查学生的家庭一周共丢弃塑料袋为（个）； 故答案为：10，720； 【小问2详解】 解：， 答：一周丢弃19个塑料袋的家庭数对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：一周内丢弃的塑料袋的数量的平均数为（个）， （平方米）， 答：九（2）班所有学生家庭一周丢弃的塑料袋平铺后的总面积约为平方米． 22. 推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定，当受力面积为时，压强为． （1）求与的函数表达式； （2）若某工地地面压强超过时会发生塌陷事故，为确保安全，施工过程中受力面积应不小于多少？ 【答案】（1） （2）施工时地面受力面积至少为． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意，利用反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设，代入，， 得， 所以； 【小问2详解】 解：当时，解得， ∵在中，当时，p随S增大而减小， 所以当时，， ∴施工时地面受力面积至少为． 23. 问题背景：某河道清理工程，总淤泥量设为单位“1”，由于设备调度限制，工程队将清理任务划分为多个周期，规划如下：以4天为一个周期，第1周期完成全部任务的，第2周期完成余下任务的，第3周期再完成余下任务的……以此类推，当剩余量不超过时，则下一周期内完成所有剩余任务． 观察发现： 第1周期完成量，剩余量； 第2周期完成量，剩余量； 第3周期完成量，剩余量； ．．．．．． （1）第5周期完成量=___________，剩余量=___________； （2）求第（为正整数）周期后，累计完成的任务总量； （3）若第周期结束后剩余量为，则工程队最多需要多少天完成全部任务？ 【答案】（1）， （2） （3）40天 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化规律，分式方程的应用，分式的加减， 对于（1），根据规律解答； 对于（2），结合（1）可解； 对于（3）根据剩余量相等列出分式方程，求出解． 【小问1详解】 解：第5周期完成量，剩余量； 故答案为：， ； 【小问2详解】 解：根据（1），得 第n周期后剩余任务量为， 所以第n周期后累计完成的任务总量； 【小问3详解】 解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 所以工程队完成全部任务最多需要天数。 24. （1）如图1，在四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点． 请从①，②，③中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构造出一个真命题并进行证明． 条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： （2）如图2，在矩形中，点为的中点，连接，，仅使用无刻度的直尺在右侧作出一点，并连接，使得四边形为平行四边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质， 对于（1），分三种情况：条件①②，结论③，先说明四边形为平行四边形，再证明，可得答案； 若选条件①③，结论②，先证明，再证明，可得答案； 若选条件②③，结论①，先证明，再证明，可得答案； 对于（2），延长，交的延长线于点G，H，连接，交于点O，连接，并延长交于点F，连接，则四边形即为所求作． 【详解】解：条件①②，结论③． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 若选条件①③，结论②． 证明：∵， ∴． ∴，又，， ∴， ∴． 若选条件②③，结论①． 证明：∵， ∴． ∴，又，， ∴， ∴； （2）如图，四边形即为所求作． 25. 如图，点是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线交轴于点．设点的横坐标分别为，直线的函数表达式为． （1）当时， ①求直线的函数表达式； ②若，直接写出的取值范围； （2）若点和点关于原点对称，作直线交轴于点，求证：． 【答案】（1）①；②或； （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）①求得可得，，再用待定系数法可得直线的函数表达式； ②求出，观察函数图象可得x的取值范围； （2）取的中点K，连接，求出直线解析式为，可得，求得，可得直线的函数表达式为，即可得，故，从而，． 【小问1详解】 解：①当时，，， 将这两点坐标分别代入中， 得：， 解得， ∴直线的函数表达式为； ②在中，令，则， ∴， 由图可知，若，则的取值范围为或； 【小问2详解】 证明：取的中点K，连接，如图： 由题意，得，， ∵点B与点A关于原点O中心对称， ∴， 将，分别代入中， 得：， 解得， ∴直线解析式为， 令，则， ∴； 设直线的函数表达式为， 将，分别代入中， 得：， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，则， ∴； ∵K为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法，反比例函数与一次函数交点问题，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关直线解析式． 26. 如图，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿过点的直线折叠，使翻折至处，折痕为交于点． （1）如图1，当时， ①求证：； ②求的长； （2）如图2，连接，四边形能否为菱形？若能，试确定点的位置；若不能，请说明理由； （3）如图3，当时，仅用圆规在图3中作出点（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值． 【答案】（1）①详见解析；②3 （2）不能，理由见解析 （3）图见解析， 【解析】 【分析】（1）①如图1，由折叠得：，由平行线的性质得：，再由直角三角形的性质即可解答； ②先由勾股定理得，由三角形的面积法可得的长，设，则，由勾股定理列方程即可解答； （2）根据菱形的判定，结合（1）可知：当时，，四边形不可能是菱形； （3）如图3，过点C作于P，再作，即可得点F；如图4，设，证明，即可得和的长，即可解答． 【小问1详解】 解：①：如图1，由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵ ∴由勾股定理得： 由①得 则， ∴ ∴， ∴ 由折叠得：， ∴ 设， 则， ∴ 在中，， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，四边形不可能是菱形，理由如下： 若四边形为菱形，则，， 由（1）可知：，， ∴， ∴四边形不可能是菱形； 【小问3详解】 解：如图3，过点C作于P，以P为圆心，以为半径画弧，交于点F，则点F即为所求； 如图4，设， 由折叠得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，尺规作图，三角形外角的性质等知识，解题的关键是正确运用折叠的性质和勾股定理解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$