浙江省绍兴市新昌县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

浙江省绍兴市新昌县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分。） 1．（3分）下列标识中，属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）计算的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．6 D．﹣3 3．（3分）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法正确的是（　　） A．平均数是3 B．中位数是4 C．标准差是 D．方差是3 4．（3分）如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 5．（3分）已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（3分）已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D．或 7．（3分）用反证法证明“如果，那么m≤1”时，应先假设（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＜1 8．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，若BG＝2CG，则小正方形与大正方形的边长之比为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣ax+c＝0（a≠0）没有实数根，则系数a，c可能满足（　　） A．a＜0，a﹣4c＜0 B．a＜0，a+4c＜0 C．a＞0，a+4c＜0 D．a＞0，a﹣4c＜0 10．（3分）如图，矩形ABCD周长为8，且BC＞CD．连结BD，将△BCD沿BD折叠得△BED，BE交AD于点P，作PG⊥BD，交BC于点G．下列说法中正确的是（　　） ①2＜BC＜4； ②△ABP的周长为定值4； ③△BPG一定是等边三角形； ④当BC变大时，AP也变大． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分。） 11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）已知，在▱ABCD中，∠A＝110°，则∠C＝ 　 　 度． 13．（3分）某高中美术自主招生考试的综合成绩由专业成绩和面试成绩两部分组成，所占比例分别为60%和40%．小王的专业成绩是90分，面试成绩是80分，则小王的综合成绩是　 　 分． 14．（3分）如图，▱ABCD的面积是32，点E，G在AD上，点F，H在BC上，且EF∥AB，GH∥DC，点M，N在EF上，点P在GH上，则阴影部分的面积是　 　 ． 15．（3分）正比例函数y＝2x与反比例函数的图象相交于点A，B两点，若点B的横坐标为2，则当时，x的取值范围是　 　 ． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E，F分别为AB，BC的中点，连结CE，DF，取CE，DF的中点M，N，连结MN，则MN的长为 　 　 ． 三、解答题（本大题有8小题，第17～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共72分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）解方程： （1）2x2+4x＝0； （2）x2﹣3x+2＝0． 19．（8分）在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上． （1）在图1中，作一个以AB为对角线的矩形． （2）在图2中，作一个以AB为边，且面积为15的平行四边形． 20．（8分）学校要进行普法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼，并对10次成绩进行整理分析，得到如图表信息： 平均数/分 众数/分 中位数/分 甲成绩 85.5 80 n 乙成绩 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ． （2）甲、乙两名学生成绩的方差分别为，，请判断 　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）． （3）根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由． 21．（8分）某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度ρ（单位：g/cm3）与其浸在液体中的高度h（单位：cm）成一定的函数关系，经过实验获得两个变量h，p的一组对应值如下表： h（cm） 2 2.5 4 5 8 ρ（g/cm3） 10 8 5 4 2.5 （1）在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度ρ（单位：g/cm3）关于高度h（单位：cm）的函数表达式． （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求这种液体的密度ρ． 22．（10分）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（不与点B，D重合），过点G作GE∥BC，GF∥DC，分别交DC，BC于点E，F． （1）求证：四边形GECF是矩形． （2）若AB＝7，CF＝3，求AG的长． 23．（10分）某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． （1）求该农户这一天销售西瓜的总收入． （2）为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 24．（12分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，其中AC＝2，，过点A作AE⊥BC于点E． （1）若AC⊥BD，求边AB的长． （2）在第（1）小题的条件下，点F为线段BD上的动点，连结AF，EF，当△AFE的面积为时，求线段OF的长． （3）设BE＝x，BC＝y，当x，y值变化时，代数式xy的值是否发生变化？请说明理由． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分。） 1．（3分）下列标识中，属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：A，C，D不是中心对称图形，B是中心对称图形， 故选：B． 【点评】本题考查中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（3分）计算的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．6 D．﹣3 【分析】根据平方差公式计算即可． 【解答】解： ＝1﹣5 ＝﹣4， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（3分）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法正确的是（　　） A．平均数是3 B．中位数是4 C．标准差是 D．方差是3 【分析】根据平均数、中位数、方差及标准差的定义逐一计算即可． 【解答】解：这组数据的平均数为3，中位数为4，方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，标准差为， 故选：A． 【点评】本题主要考查标准差，解题的关键是掌握平均数、中位数、方差及标准差的定义． 4．（3分）如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案． 【解答】解：其原理是：对角线相等的平行四边形是矩形． 故选：C． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，理解对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键． 5．（3分）已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，列方程解答． 【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得， （n﹣2）•180°＝360°， n﹣2＝2， n＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°． 6．（3分）已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D．或 【分析】由于点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则该点坐标为（4，3），（﹣4，3），（﹣4，﹣3），（4，﹣3）．将各点分别代入y，即可求出反比例函数解析式． 【解答】解：设反比例函数的解析式为：y， 设P点为（a，b）， ∵点P是反比例函数图象上一点，点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， ∴A（4，3），（﹣4，3），（﹣4，﹣3），（4，﹣3）． 把a点代入函数解析式y， 得k＝±12， 故选：D． 【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解答时要注意分类讨论，不要漏掉任何一种情况． 7．（3分）用反证法证明“如果，那么m≤1”时，应先假设（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＜1 【分析】直接利用反证法的步骤，即可得出答案． 【解答】解：用反证法证明“如果，那么m≤1”时，应先假设m＞1， 故选：A． 【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 8．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，若BG＝2CG，则小正方形与大正方形的边长之比为（　　） A． B． C． D． 【分析】设CG为x，BG＝2x，得到BF＝CG＝x，求得FG＝BG﹣BF＝x，根据勾股定理得到BCx，于是得到结论． 【解答】解：∵BG＝2CG， ∴设CG为x，BG＝2x， ∴BF＝CG＝x， ∴FG＝BG﹣BF＝x， ∴BCx， ∴小正方形与大正方形的边长之比为x：x， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣ax+c＝0（a≠0）没有实数根，则系数a，c可能满足（　　） A．a＜0，a﹣4c＜0 B．a＜0，a+4c＜0 C．a＞0，a+4c＜0 D．a＞0，a﹣4c＜0 【分析】根据一元二次方程根的判别式没有实数根，即Δ＜0，即可求出答案． 【解答】解：∵已知ax2﹣ax+c＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣a）2﹣4ac＝a2﹣4ac＝a（a﹣4c）＜0， ∴当a＞0时，a﹣4c＜0， 当a＜0时，a﹣4c＞0， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解题的关键． 10．（3分）如图，矩形ABCD周长为8，且BC＞CD．连结BD，将△BCD沿BD折叠得△BED，BE交AD于点P，作PG⊥BD，交BC于点G．下列说法中正确的是（　　） ①2＜BC＜4； ②△ABP的周长为定值4； ③△BPG一定是等边三角形； ④当BC变大时，AP也变大． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】①由矩形的性质和三角形三边关系可得出①正确； ②由折叠的性质和平行线的性质得出BP＝DP，即可得出②正确； ③由折叠的性质得出只有∠CBD＝30°时，才能∠PBG＝60°，而BC＞CD，不能保证∠CBD＝30°，即可得出③不正确； ④由勾股定理得出AP2＝BP2﹣AB2＝（BC﹣AP）2﹣（4﹣BC）2，推出AP＝4，即可得出④正确． 【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC， ∵矩形ABCD周长为8， ∴CD+BC＝4， ∴CD＝4﹣BC，BC＜4， ∵BC＞CD， ∴BC＞4﹣BC， ∴BC＞2， ∴2＜BC＜4，故①正确； ②由折叠得：∠CBD＝∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠PDB， ∴∠EBD＝∠PDB， ∴BP＝DP， ∴△ABP的周长＝AB+AP+BP＝AB+AP+DP＝AB+AD＝CD+BC＝4，故②正确； ③由折叠得：∠CBD＝∠EBD， ∴只有∠CBD＝30°时，才能∠PBG＝60°， 而BC＞CD，不能保证∠CBD＝30°， ∴不能得出∠PBG＝60°， ∴△BPG不一定是等边三角形，故③不正确； ④∵BP＝PD＝AD﹣AP＝BC﹣AP，AB＝CD＝4﹣BC， ∴在Rt△ABP中，AP2＝BP2﹣AB2＝（BC﹣AP）2﹣（4﹣BC）2， 整理得：AP＝4， ∴当BC变大时，AP也变大，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分。） 11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 　x≥3　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，再求出x的范围即可． 【解答】解：要使式子有意义，必须x﹣3≥0， 解得：x≥3． 故答案为：x≥3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件（式子中a≥0）是解此题的关键． 12．（3分）已知，在▱ABCD中，∠A＝110°，则∠C＝ 　110　 度． 【分析】利用平行四边形的对角相等解决问题． 【解答】解：∵四边形ABC都是平行四边形， ∴∠C＝∠A＝110°． 故答案为：110． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 13．（3分）某高中美术自主招生考试的综合成绩由专业成绩和面试成绩两部分组成，所占比例分别为60%和40%．小王的专业成绩是90分，面试成绩是80分，则小王的综合成绩是　86　 分． 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【解答】解：小王的综合成绩是90×60%+80×40%＝86（分）， 故答案为：86． 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 14．（3分）如图，▱ABCD的面积是32，点E，G在AD上，点F，H在BC上，且EF∥AB，GH∥DC，点M，N在EF上，点P在GH上，则阴影部分的面积是　16　 ． 【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵EF∥AB，GH∥DC， ∴四边形ABFE，四边形EFHG，四边形GHCD是平行四边形， ∴S△AEM+S△BFM四边形ABFE，S△ENP+S△FNH四边形EFHG的面积，S△CDG四边形GHCD的面积， ∴阴影部分的面积S△AEM+S△BFM+S△ENP+S△FNH+S△CDG四边形ABFE四边形EFHG的面积四边形GHCD的面积▱ABCD的面积， 故答案为：16． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 15．（3分）正比例函数y＝2x与反比例函数的图象相交于点A，B两点，若点B的横坐标为2，则当时，x的取值范围是　﹣2＜x＜0或x＞2　 ． 【分析】根据反比例函数与一次函数的交点坐标解答即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝2x与反比例函数的图象相交于点A，B两点， ∴点A与点B关于原点成中心对称，k＞0， ∵点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为﹣2， ∴当时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2． 故答案为：﹣2＜x＜0或x＞2． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E，F分别为AB，BC的中点，连结CE，DF，取CE，DF的中点M，N，连结MN，则MN的长为 　　 ． 【分析】连接CN，延长CN交AD于点P，根据矩形及已知条件得AE＝BE＝2，BF＝CF＝4，AD∥BC，DN＝FN，进而可证明△DPN和△FCN全等得PN＝CN，DP＝CF＝4，则AP＝4，再由勾股定理得PE＝2√5，证明MN是△CEP的中位线，然后根据三角形的中位线定理即可得出MN的长． 【解答】解：连接CN，延长CN交AD于点P，如图所示： 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∠A＝90°， ∵点E，F分别为AB，BC的中点， ∴AE＝BEAB＝2，BF＝CFBC＝4，AD∥BC， ∴∠DPN＝∠FCN，∠PDN＝∠CFN， ∵点N是DF的中点， ∴DN＝FN， 在△DPN和△FCN中， ， ∴△DPN≌△FCN（AAS）， ∴PN＝CN，DP＝CF＝4， ∴AP＝AD﹣DP＝8﹣4＝4， 在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE， ∵点M是CE的中点，PN＝CN， ∴MN是△CEP的中位线， ∴MNEP， ∴MN的长为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 三、解答题（本大题有8小题，第17～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共72分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式2 ＝3； （2）原式22 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 18．（8分）解方程： （1）2x2+4x＝0； （2）x2﹣3x+2＝0． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解（1）2x（x+2）＝0． 2x＝0或x+2＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣2； （2）x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝2，x2＝1． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，掌握解一元二次方程的步骤是关键． 19．（8分）在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上． （1）在图1中，作一个以AB为对角线的矩形． （2）在图2中，作一个以AB为边，且面积为15的平行四边形． 【分析】（1）根据矩形的判定作出图形； （2）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可． 【解答】解（1）如图1，四边形ACBD是矩形； （2）如图2，四边形ABCD即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 20．（8分）学校要进行普法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼，并对10次成绩进行整理分析，得到如图表信息： 平均数/分 众数/分 中位数/分 甲成绩 85.5 80 n 乙成绩 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m＝ 　85　 ，n＝ 　87　 ． （2）甲、乙两名学生成绩的方差分别为，，请判断 　＞　 （填“＞”“＜”或“＝”）． （3）根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据众数、方差和平均数的定义解答即可． 【解答】解：（1）在乙的10次成绩中，85出现的次数最多，故众数m＝85； 把甲的10次成绩从小到大排列，排在第5和第6个数分别是86，88，故中位数n87， 故答案为：85；87； （2）由折线统计图可知，甲的10次成绩的波比乙大，所以， 故答案为：＞； （3）选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大； 选乙：平均分一样，乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定．（答案不唯一）． 【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．（8分）某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度ρ（单位：g/cm3）与其浸在液体中的高度h（单位：cm）成一定的函数关系，经过实验获得两个变量h，p的一组对应值如下表： h（cm） 2 2.5 4 5 8 ρ（g/cm3） 10 8 5 4 2.5 （1）在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度ρ（单位：g/cm3）关于高度h（单位：cm）的函数表达式． （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求这种液体的密度ρ． 【分析】（1）描点并连线画出图象，并根据表格中的数据变化规律写出密度ρ关于高度h的函数表达式即可； （2）当h＝25时，求出对应ρ的值即可． 【解答】解：（1）描点并连线如图所示： 由表格中的数据变化规律可知，ρh＝20， ∴密度ρ关于高度h的函数表达式为ρ． （2）当h＝25时，ρ0.8（g/cm3）． 答：这种液体的密度ρ为0.8g/cm3． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据表格中的数据变化规律写出反比例函数的表达式是解题的关键． 22．（10分）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（不与点B，D重合），过点G作GE∥BC，GF∥DC，分别交DC，BC于点E，F． （1）求证：四边形GECF是矩形． （2）若AB＝7，CF＝3，求AG的长． 【分析】（1）先根据GE∥BC，GF∥DC判定四边形GECF是平行四边形，再根据∠C＝90°即可得出结论； （2）连接CG，证明△ADG和△CDG全等得AG＝CG，证明△GED是等腰直角三角形得CF＝DE＝GE＝3，进而得CE＝4，然后在Rt△CGE中，由勾股定理求出CG＝5即可得出AG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°， ∵GE∥BC，GF∥DC， ∴四边形GECF是平行四边形， ∴平行四边形GECF是矩形； （2）解：连接CG，如图所示： 在正方形ABCD中，AD＝CD＝AB＝7，∠ADG＝∠CDG＝45°， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴AG＝CG， ∵四边形GECF是矩形，CF＝3， ∴GE＝CF＝3，∠GEC＝∠GED＝90°， ∵∠CDG＝45°， ∴△GED是等腰直角三角形， ∴DE＝GE＝3， ∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4， 在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG5， ∴AG＝CG＝5． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 23．（10分）某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． （1）求该农户这一天销售西瓜的总收入． （2）为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 【分析】（1）利用总收入＝销售单价×销售数量，即可求出结论； （2）设在县城销售的单价降价x元，则销售量为（200+60x）千克，根据要使该农户一天的销售总收入为4300元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要扩大销售，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：8×200+6×（600﹣200） ＝8×200+6×400 ＝1600+2400 ＝4000（元）． 答：该农户这一天销售西瓜的总收入为4000元； （2）设在县城销售的单价降价x元，则销售量为（200+60x）千克， 根据题意得：（8﹣x）（200+60x）+6×（600﹣200）＝4300， 整理得：3x2﹣14x+15＝0， 解得：x1＝3或x2， 又∵要扩大销售， ∴x＝3． 答：在县城销售的单价应降价3元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（12分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，其中AC＝2，，过点A作AE⊥BC于点E． （1）若AC⊥BD，求边AB的长． （2）在第（1）小题的条件下，点F为线段BD上的动点，连结AF，EF，当△AFE的面积为时，求线段OF的长． （3）设BE＝x，BC＝y，当x，y值变化时，代数式xy的值是否发生变化？请说明理由． 【分析】（1）根据菱形的判定定理得到▱ABCD为菱形．根据菱形的性质得到AOAC＝1，BOBD，根据勾股定理得到； （2）由（1）得 AB＝AC＝BC＝2，，推出△ABC 是等边三角形，求得，根据三角形的面积得到△AEF 边AE上的高为1，①当点F在AE左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即；②当点F在AE右侧，如图，过点C作AE的平行线，交BD于点F′，点F′为满足要求的点，求得∠F'CD＝∠F'DC＝30°，即F′C＝F′D，设OF＝a，则，根据勾股定理即可得到结论； （3）不变．理由如下：如图，过点D作BC延长线的垂线，垂足为点H．在▱ABCD中，AB＝CD，根据全等三角形的性质得到CH＝BE＝x，AE＝DH，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在▱ABCD中，AC⊥BD， ∴▱ABCD为菱形． ∴AOAC＝1，BOBD， ∴； （2）由（1）得 AB＝AC＝BC＝2，， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∵， 即△AEF边AE上的高为1， ①当点F在AE左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即； ②当点F在AE右侧，如图，过点C作AE的平行线，交BD于点F′，点F′为满足要求的点， ∴∠F'CD＝∠F'DC＝30°， 即F′C＝F′D， 设OF＝a，则， 故Rt△OF′C中有， 解得， ∴或； （3）不变．理由如下： 如图，过点D作BC延长线的垂线，垂足为点H． 在▱ABCD中，AB＝CD， ∵AE⊥BC， ∴AE＝DH，∠AEB＝∠DHC＝90°， ∴Rt△AEB≌Rt△DHC（HL）， ∴CH＝BE＝x，AE＝DH， 在Rt△AEC中，AE2＝AC2﹣CE2＝4﹣（y﹣x）2， 在Rt△DBH中，DH2＝DB2﹣BH2＝12﹣（x+y）2， 由AE2＝DH2，得4﹣（y﹣x）2＝12﹣（x+y）2， ∴4+2xy＝12﹣2xy， 即xy＝2． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$