精品解析：四川省绵阳南山中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷

四川省绵阳南山中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设，则（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘除法则化简复数，进而可求模长. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到，再根据二倍角公式计算得到答案. 【详解】，故，. 故选：C. 3. 内角A，B，C对应边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】在中，由余弦定理， 得，解得， 所以的面积. 故选：D 4. 已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算表示，然后利用共线向量基本定理求解即可. 【详解】因为向量，，所以． 又，所以与共线． 故选：B． 5. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式化简求出，从而可求出复数. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 6. 已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. 48 B. 64 C. 80 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】由正四棱锥的体积和高，求出底面边长，再求出正四棱锥的斜高，可求侧面积. 【详解】设该正四棱锥的底面边长为a，则，解得. 设该正四棱锥的斜高为，则， 所以该正四棱锥的侧面积为. 故选：C 7. 已知将函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的对称性，列出方程，即可求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象， 因为的图象关于原点对称，可得，则， 又因为，所以取，得. 故选：C． 8. 已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. － D. － 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出的表达式，结合二次函数知识求得，根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】由题意得，, ， 当时，有最小值， 即， 则在上的投影向量为 ， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，则（ ） A. B. 与垂直的单位向量的坐标为或 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 是直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量模坐标表示求出可判断A；求出向量、以及的模，根据勾股定理逆定理可判断D；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C；根据向量垂直的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断B. 【详解】因为，所以，A正确； 因为，所以， 所以，即为直角三角形，D正确； 设与同向的单位向量为，， 所以在方向上投影向量为，C错误； 因为，设与垂直的单位向量为， 则，解得或， 故与垂直的单位向量的坐标为或，B正确， 故选：ABD． 10. 如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可判断AB；对于CD，利用向量的线性运算与数量积运算即可判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由题意得为的中点，所以，B不正确； 对于C，因为为中点，，则， 所以，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 11. 函数的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 若在上有且仅有两个零点，则实数 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将函数式化成，结合图象确定值即得函数解析式. 对于A，运用周期公式可排除； 对于B只需将代入检验即得； 对于C，求出解析式利用奇偶性定义即可判断； 对于D，应将看成整体角，求出的范围，借助于正弦函数的图象即可求得参数的范围. 【详解】， 由图知函数经过点，则得，解得， 即，因，故得，，则有. 对于A，因的最小正周期为，故A错误； 对于B， ， 因时，，此时函数取到最大值，故的图象关于直线对称，即B正确； 对于C，，显然这是偶函数，不是奇函数，故C错误； 对于D，，当时，设， 作出在上的图象如图. 依题意,需使,即，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，其中．若共线，则___． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线得到方程，求出，进而求出模长. 【详解】因为共线，所以，解得， 故. 故答案为： 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，且时，盛水筒与水面距离为2.25米，当筒车转动20秒后，盛水筒与水面距离为______米． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据时，盛水筒与水面距离为2.25米得到，然后求时的即可. 【详解】因为时，盛水筒与水面距离为2.25米，所以，即， 又，则， 当时，. 故答案为：. 14. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性，利用整体法即可求解. 【详解】， 由于，则， 故, 解得，由得， 故，， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与夹角为，且，. （1）若与共线，求k； （2）求，； （3）求与的夹角的余弦值 【答案】（1）；（2），；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理即可求解. （2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模. （3）利用向量数量积即可夹角余弦值. 【详解】（1）若与共线， 则存在，使得 即， 又因为向量与不共线， 所以，解得，所以. （2）， ， （3）. 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间 （2）若函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后得到函数的图象，当，求函数的值域 【答案】（1）增区间：，，减区间：，；（2） 【解析】 【分析】 （1）首先根据题意得到，再求函数的单调区间即可. （2）首先根据题意得到，根据得到，即可得到函数的值域. 【详解】（1） . ，解得，. ，解得，. 所以函数的增区间：，， 减区间：，. （2）. 因为，所以. 所以，即. 【点睛】本题第一问考查三角函数的单调区间，第二问考查三角函数的平移变换，同时考查了三角函数的值域问题，属于简单题. 17. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可； （2）利用余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 由余弦定理得， 则， 所以. 18. 在△中，，. （1）求证：△为等腰三角形； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值. 条件①：； 条件②：△的面积为； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析； （2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）把转化为边a、b之间的倍数关系，把转化为三边a、b、c之间的关系，综合可得证； （2）条件①,与已知矛盾，三角形无解，不可选； 条件②，通过三角形面积公式解得a，可使△存在且唯一； 条件③，通过转化条件，可使△存在且唯一. 【小问1详解】 在△中，由，可得 则由，可得 即，故有 故△为等腰三角形. 【小问2详解】 选择条件①：时，由（1）知，则有， 此时， 与已知矛盾，三角形无解.不能选； 选择条件②：△面积为时， 由得， 故有，解得，,. 三角形存在且唯一，可选. 选择条件③：边上的高为. 由得， 可得，则有,. 三角形存在且唯一，可选. 综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，. 选择条件③时，三角形存在且唯一，. 19. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）解不等式； （3）函数的图象依次经过三次变换：①向左平移个单位长度，②纵坐标不变，横坐标变为原来的，③关于轴对称，得到函数的图象，求图象在轴右侧第二个对称中心的坐标． 【答案】（1）， （2）， （3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）结合（1）可得，又，结合诱导公式及正弦函数的性质计算可得； （3）首先根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为 ， 令，， 解得，， 函数的单调递增区间为，． 【小问2详解】 不等式， 即， 又 ， 则， 所以，， 解得，， 所以不等式的解集为，． 【小问3详解】 将向左平移个单位长度得到， 再将的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到， 最后将关于轴对称得到， 令，，解得，， 所以的对称中心坐标为，， 当为，当为，当为， 在轴右侧第二个对称中心的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省绵阳南山中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 2. 若点在角终边上，则（ ） A. B. C. D. 3. 内角A，B，C对应边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 6. 已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. 48 B. 64 C. 80 D. 144 7. 已知将函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. － D. － 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，则（ ） A. B. 与垂直的单位向量的坐标为或 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 是直角三角形 10. 如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 若在上有且仅有两个零点，则实数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，其中．若共线，则___． 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，且时，盛水筒与水面距离为2.25米，当筒车转动20秒后，盛水筒与水面距离为______米． 14. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与夹角为，且，. （1）若与共线，求k； （2）求，； （3）求与的夹角的余弦值 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间 （2）若函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后得到函数的图象，当，求函数的值域 17. 如图，梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 18. 在△中，，. （1）求证：△为等腰三角形； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值. 条件①：； 条件②：△的面积为； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）解不等式； （3）函数的图象依次经过三次变换：①向左平移个单位长度，②纵坐标不变，横坐标变为原来的，③关于轴对称，得到函数的图象，求图象在轴右侧第二个对称中心的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$