精品解析：湖北省襄阳市枣阳市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年度下学期期末学业质量检测 七年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（共10题，每题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，是一种测量角的仪器，它依据的原理是（ ） A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 等角的余角相等 3. 如图，以正方形的顶点A为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为，点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在下列结论给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中真命题是（ ） A. 互为相反数的两个数和为0 B. 相等的角是对顶角 C. 若两个角的和为，则这两个角互为邻补角 D. 同位角相等 6. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　） A. 调查沙河的水质情况 B. 调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解情况 C. 了解全班同学的身高情况 D. 检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 7. 当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，折射到空气中也是平行的．如图，，，的度数为（　　） A B. C. D. 8. 下列各式成立的是（　　） A. B. C. D. 9. 下列说法不正确是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 幻方起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则和的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点是第三象限内的点，它到轴的距离与到轴距离相等，请写出一个满足条件的点的坐标 _____． 12 如图，直线，直线l与直线a相交于点P，直线l与直线b相交于点Q，且垂直于l，若，则____________ 13. 如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为1，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为_____． 14. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一个题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当”．译文：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲只羊，那么甲的羊数为乙的倍；如果甲给乙只羊，那么两人的羊数相同，请问原来甲，乙各有多少只羊？设原来甲有羊只，乙有羊只，则根据题意可列出方程组为______． 15. 不等式组的解集是__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，，那么点的坐标为______． 三、解答题（共9题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……第一步 移项，得．…………第二步 合并同类项，得．………………第三步 化系数为1，得．……………………第四步 任务一： （1）去分母的依据是________； （2）解答过程中，从前一步到后一步的变形，共有________步出现错误； （3）请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上； 任务二： 请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议． 20. 如图，三角形中，，过点C作的平行线l，在线段上任取一点D（不与点A，B重合），过点D作的垂线交于点E，交直线l于点F． （1）依题意补全图形； （2）求证：． 21. 月日是国际数学日，也称“日”．今年月日某校七年级名学生参加了视觉错觉探密、点、猜数学谜语等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得至分，达到分及分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为组：，，，，）： 根据以上信息，解答下列问题： （1）下列抽取样本的方式中，最合理的是________（填写序号）； 从七年级的学生中抽取名男生； 从七年级参加“点”游戏的学生中抽取名学生； 从七年级学号末位数字为或的学生中抽取名学生． （2）________，并补全频数分布直方图； （3）这一组对应的扇形的圆心角度数是________； （4）这一组的学生积分是：，，，，，，，，，请估计七年级学生获得“日”徽章的人数； （5）综合上述调查，对该校七年级数学趣味游戏比赛成绩进行简单评价．（写出一条即可） 22. 完成下面的推理，并在括号内标注理由： 如图，已知三角形中，于点，点，，分别在，，上，且，．求证：． 证明：∵， ∴________． ∴________（________）． ∵， ∴（________）． ∴（________）， ∴________． ∵， ∴（________）． ∴， ∴． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案 素材1 纪念品商店购进若干“忆江南”徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为元/个，吉祥物钥匙扣的进价为元/个，如表是近两周的销售情况： 销售阶段 徽章(个) 钥匙扣(个) 销售收入(元) 第一周 第二周 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本) 素材2 该纪念品商店准备不超过532元金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 问题解决 任务一 请尝试求出“忆江南”徽章、钥匙扣的销售单价． 任务2 该商店至少采购徽章多少个？ 任务3 请结合素材2中的消息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个商品的利润不低于646元，请写出符合条件的采购方案，在这些采购方案中，哪种方案可以使商店获利最高？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段沿x轴向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E．动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着的方向向终点D运动，设运动时间为t秒． （1）点C的坐标是________，当点P出发3秒时，点P的坐标是________，四边形的面积是________； （2）三角形可以看作是哪个三角形经过怎样的平移得到的； （3）当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是6．若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由； （4）当点P在运动时，请用含t的式子表示出点P的坐标． 25. 如图1，直线与直线、分别交于点E、F，平分交于点M,且， （1）求证：； （2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M、F重合），平分交于点H，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求α的大小； ②点G在整个运动过程中，直接写出α和β之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期期末学业质量检测 七年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（共10题，每题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义． 根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A：是无理数，是无理数； B：是有限小数，是有理数； C：是分数，是有理数； D：，是整数，是有理数； 故选：A 2. 如图，是一种测量角的仪器，它依据的原理是（ ） A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 等角的余角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，是基础题，根据对顶角相等的性质解答． 【详解】解：依据的原理是对顶角相等． 故选：B． 3. 如图，以正方形的顶点A为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为，点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，正方形的性质． 直接根据正方形的性质作答即可． 【详解】解：∵以正方形的顶点A为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为， ∴正方形的边长为2， ∴点C的坐标为， 故选：B． 4. 如图，在下列结论给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线判定方法．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴ (同旁内角互补，两直线平行)，本选项不符合题意； B、∵，∴ (同位角相等，两直线平行)，本选项不符合题意； C、∵，∴ (内错角相等，两直线平行)，本选项不符合题意； D、∵，∴，不能证出，本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列命题中真命题是（ ） A. 互为相反数的两个数和为0 B. 相等的角是对顶角 C. 若两个角的和为，则这两个角互为邻补角 D. 同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，邻补角的定义，对顶角的定义及相反数的性质． 根据平行线的性质，邻补角的定义，对顶角的定义及相反数的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：、互为相反数的两个数和为0，故原命题是真命题，符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意； C、若两个角的和为，则这两个角互补，不一定是邻补角，故原命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意；． 故选：A． 6. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　） A. 调查沙河的水质情况 B. 调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解情况 C. 了解全班同学的身高情况 D. 检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查．根据全面调查适用于范围小、个体数量少或需精确数据的场景，而抽样调查适用于范围大、破坏性测试或节省资源的情况，逐项判断即可． 【详解】解： A：调查沙河水质需在不同断面取样，范围广，适合抽样调查； B：全市居民数量庞大，全面调查成本高，适合抽样； C：全班同学人数少，需精确数据，全面调查可行且必要； D：检测鞋底弯折次数属破坏性测试，只能抽样； 故选：C． 7. 当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，折射到空气中也是平行的．如图，，，的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据水面与水底平行得到，再根据在水中平行的光线作答即可． 【详解】解：如图， ∵水面与水底平行， ∴， ∵， ∴， ∵在水中平行的光线， ∴． 故选：B 8. 下列各式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求平方根，立方根，算术平方根． 根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐一作答即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D错误； 故选：C． 9. 下列说法不正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A：若，两边同时加，得，故A正确． B：若，两边同时减，得，不等号方向不变，故B正确． C：若，两边同时除以（负数），不等号方向改变，得，故C错误． D：若，则：，两边除以得；故D正确； 故选：C． 10. 幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则和的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程组．根据题意列出关于、的二元一次方程组即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故选：C． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点是第三象限内的点，它到轴的距离与到轴距离相等，请写出一个满足条件的点的坐标 _____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，点到坐标轴的距离，根据点是第三象限内的点，它到轴的距离与到轴距离相等，则点的横纵坐标相等且都小于，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】∵点是第三象限内的点，它到轴的距离与到轴距离相等， ∴点的横纵坐标相等且都小于， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，直线，直线l与直线a相交于点P，直线l与直线b相交于点Q，且垂直于l，若，则____________ 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质和角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直于l， ∴， ∴； 故答案为：52． 13. 如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为1，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、实数与数轴等知识，确定正方形的边长是解题关键．首先根据题意确定正方形的边长，然后结合点的位置即可获得答案． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为3， 则该正方形的边长为，即， ∴， ∵点表示的数为1，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 故答案为：． 14. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一个题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当”．译文：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲只羊，那么甲的羊数为乙的倍；如果甲给乙只羊，那么两人的羊数相同，请问原来甲，乙各有多少只羊？设原来甲有羊只，乙有羊只，则根据题意可列出方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来甲有羊只，乙有羊只，由题意列出即可，正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设原来甲有羊只，乙有羊只， 根据题意得，， 故答案为：． 15. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】解：解不等式5x+2＞3(x﹣1)，得：x， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，，那么点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形点的坐标规律变化，根据点，，，，，，，，，得点的纵坐标个点一循环，从而求出点为，然后根据规律即可得出点的坐标，解题的关键是根据点的变化得到规律． 【详解】解：∵点，，，，，，，，， ∴点的纵坐标个点一循环， ∵， ∴在，，的位置上，纵坐标为，横坐标为序号的一半，即， ∴点为， 由条件可知：点为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的混合运算和二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）先根据算术平方根和立方根的定义、绝对值逐项化简，再算加减即可； （2）先根据算术平方根，绝对值的定义，二次根式的乘法逐项化简，再算加减即可 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）方程组利用加减消元法求出解即可； （）把原方程组整理后，再利用加减消元法求出解即可； 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：方程组整理得： 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 19. 下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……第一步 移项，得．…………第二步 合并同类项，得．………………第三步 化系数为1，得．……………………第四步 任务一： （1）去分母的依据是________； （2）解答过程中，从前一步到后一步的变形，共有________步出现错误； （3）请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上； 任务二： 请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议． 【答案】任务一：（1）不等式的性质2；（2）三；（3）见解析；任务二：见解析 【解析】 【分析】本题考查解不等式，并用数轴表示不等式的解集：熟练掌握解不等式的方法步骤，是解题的关键． 任务一： （1）根据不等式的性质，进行作答即可； （2）根据解不等式步骤，进行判断即可； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式，进而在数轴上表示出解集即可． 任务二：根据解不等式的常见错误，提出合理建议即可． 【详解】解：任务一： （1）去分母的依据是：不等式的性质2； 故答案为：不等式的性质2； （2）解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现三次错误，分别是第一步，第二步，第四步； 故答案为：三； （3）去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 化系数为1，得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下图： 任务二： ①移项要变号； ②去分母时，不能漏乘常数项； ③不等式两边同除以一个负数时，不等号要改变方向（答案不唯一，只要合理即可）． 20. 如图，三角形中，，过点C作的平行线l，在线段上任取一点D（不与点A，B重合），过点D作的垂线交于点E，交直线l于点F． （1）依题意补全图形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质和垂直的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）依据题意补全图形即可； （2）由，，得到，进而得到，又根据得到，由此得证． 【小问1详解】 解：补全图形如下图． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 21. 月日是国际数学日，也称“日”．今年月日某校七年级名学生参加了视觉错觉探密、点、猜数学谜语等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得至分，达到分及分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为组：，，，，）： 根据以上信息，解答下列问题： （1）下列抽取样本的方式中，最合理的是________（填写序号）； 从七年级的学生中抽取名男生； 从七年级参加“点”游戏的学生中抽取名学生； 从七年级学号末位数字为或的学生中抽取名学生． （2）________，并补全频数分布直方图； （3）这一组对应的扇形的圆心角度数是________； （4）这一组的学生积分是：，，，，，，，，，请估计七年级学生获得“日”徽章的人数； （5）综合上述调查，对该校七年级数学趣味游戏比赛成绩进行简单评价．（写出一条即可） 【答案】（1） （2），图见解析 （3） （4）估计七年级学生获得“日”徽章的人数为人 （5）某校七年级数学参加趣味游戏比赛的积极性有待加强（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握扇形统计图和频数分布直方图的特点． （）根据样本的选取应该具有应具有代表性、客观性和随机性进行判断即可； （）根据的人数为人，占总调查人数的，求出的值即可；求出的人数，然后补全频数分布直方图即可； （）用乘的的人数所占比，求出结果即可； （）用样本估计总体即可； （）根据题意即可求解． 【小问1详解】 解：从七年级的学生中抽取名男生不具有代表性和普遍性，故不符合题意； 从七年级参加“点”游戏的学生中抽取名学生，不具有代表性和普遍性，故不符合题意； 从七年级学号末位数字为或的学生中抽取名学生，具有代表性和普遍性，故符合题意， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）， ∴的人数为（人）， 补全频数分布直方图如图， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由这一组的学生积分达到分或分以上的人数为人， ∴估计七年级学生获得“日”徽章的人数为：（人）， 答：估计七年级学生获得“日”徽章的人数为人； 【小问5详解】 解：某校七年级数学参加趣味游戏比赛的积极性有待加强（答案不唯一）． 22. 完成下面的推理，并在括号内标注理由： 如图，已知三角形中，于点，点，，分别在，，上，且，．求证：． 证明：∵， ∴________． ∴________（________）． ∵， ∴（________）． ∴（________）， ∴________． ∵， ∴（________）． ∴， ∴． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；；垂直定义 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定以及垂线的定义是解题的关键． 根据平行线的判定定理得出，，进而证明根据，根据垂直的定义，即可求解． 【详解】证明：， 两直线平行，内错角相等， ， 等量代换， （同旁内角互补，两直线平行）， ， ， 垂直定义， 等量代换 ． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案 素材1 纪念品商店购进若干“忆江南”徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为元/个，吉祥物钥匙扣的进价为元/个，如表是近两周的销售情况： 销售阶段 徽章(个) 钥匙扣(个) 销售收入(元) 第一周 第二周 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本) 素材2 该纪念品商店准备不超过532元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 问题解决 任务一 请尝试求出“忆江南”徽章、钥匙扣的销售单价． 任务2 该商店至少采购徽章多少个？ 任务3 请结合素材2中的消息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个商品的利润不低于646元，请写出符合条件的采购方案，在这些采购方案中，哪种方案可以使商店获利最高？ 【答案】任务一：“忆江南”徽章的销售单价为元、钥匙扣的销售单价为元；任务二：该商店至少采购徽章个；任务三：采购徽章个，采购钥匙扣个商店获利最高． 【解析】 【详解】解：任务1：设“忆江南”徽章的销售单价为元、钥匙扣的销售单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：“忆江南”徽章的销售单价为元、钥匙扣的销售单价为元； 任务2：设该商店采购徽章个，则采购钥匙扣个， 根据题意，得， 解得， 答：该商店至少采购徽章个； 任务3：根据题意，得， 解得， ，且为正整数， 可以为，， 当时，总利润为元； 当时，总利润为元； 当时，总利润为元， ， 在这些采购方案中，采购个徽章，个钥匙扣时，该商店获利最高． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段沿x轴向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E．动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着的方向向终点D运动，设运动时间为t秒． （1）点C坐标是________，当点P出发3秒时，点P的坐标是________，四边形的面积是________； （2）三角形可以看作是哪个三角形经过怎样的平移得到的； （3）当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是6．若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由； （4）当点P在运动时，请用含t的式子表示出点P的坐标． 【答案】（1），， （2）三角形可以看作向右平移5个单位得到 （3）存在，或 （4）当时，点的坐标为；当时，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，平面直角坐标系，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）由平移的性质得，而点的坐标，即可求解坐标；由题意得，，，求出，此时点在上，即可求解；再由求解面积； （2）证明，由（1）知，则三角形可以看作向右平移5个单位得到； （3）由，求出，再由或求出，即可求出时间，进而可求出坐标； （4）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答． 【小问1详解】 解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发3秒时，运动的距离为6个单位长度， 此时点上，且， ∴ 点的坐标为， ∵， ∴ 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵线段沿x轴向右平移得到线段， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵由（1）知 ∴三角形可以看作向右平移5个单位得到； 【小问3详解】 解：存在， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 或， 解得：， ∴ 综上：或； 【小问4详解】 解： 当点在上运动时，即时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时，即时， ， 点的坐标为， 综上，当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． 25. 如图1，直线与直线、分别交于点E、F，平分交于点M,且， （1）求证：； （2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M、F重合），平分交于点H，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求α的大小； ②点G在整个运动过程中，直接写出α和β之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系， （1）根据角平分线得，根据得，即可得； （2）①根据平行线的性质得，，根据得，根据平分，平分得，，即可得，根据，在中，根据三角形内角和定理即可得， ②分两种情况讨论：当点G在点F的右侧时，根据得，根据平分，平分得，，则，根据，在中根据内角和定理即可得；当点G在点F的左侧时，根据得，根据平分，平分得，，则，根据，在中，根据三角形内角和定理即可得． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴中，， 即； ②分两种情况讨论： 如图2，当点G在点F的右侧时， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， 即； 如图3，当点G在点F的左侧时， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$