精品解析： 山东省济南市商河县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，共39分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 6. 将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来一半 B. 扩大为原来的2倍 C. 无法确定 D. 保持不变 7. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 8. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，点是上一点，，，则平行四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若分式的值为，则的值为___________. 12. 若某三角形的三边长分别为，则该三角形的面积是______． 13. 如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则___度． 14. 如图，直线与直线为常数，相交于点，则关于的不等式的解集为______． 15. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于______． 16. 如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 按要求解下列不等式（组）： （1）解关于的不等式，并将解集用数轴表示出来； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 21. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为__________； （2）请画出绕原点逆时针旋转得到的； （3）在（2）的条件下，求点C经过的路径长． 22. 如图，是的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 23. 从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 24. 借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【课本链接】 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得______，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得______： 【知识应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则______； （3）若满足，求的值． 【拓展延伸】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 25. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，共39分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、，原因式分解错误，不符合题意； C、，原因式分解错误，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据．依次移项、合并同类项，求出不等式的解集，然后再进行判断，即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 解集表示在数轴上，如图所示： 故选：D． 4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故A正确； ∵， ∴；故B错误； ∵，时， ∴；故C错误； ∵， ∴；故D错误； 故选A． 5. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线垂直且平分其所在线段；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得到，再利用三角形的周长定义得到，然后利用等线段代换得到，从而可求出的长． 【详解】解：的垂直平分线交于点，交于点， ， 的周长等于， ， ， 即， ． 故选：A． 6. 将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来一半 B. 扩大为原来的2倍 C. 无法确定 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即分式的值保持不变， 故选：D． 7. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此求出边数即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为5，即该多边形是 正五边形， 故选：C． 8. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，点是上一点，，，则平行四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的周长等知识．由平行四边形的性质得，因为点是上一点，，所以，而，求三角形中位线定理得，即可求得▱的周长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点， ， 点是上一点，， ， 是的中点，是的中点，， ， ， ▱的周长为， 故选：D． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转中的坐标规律探究，根据题意，每旋转6次回到原位置，利用判断第2025次旋转后，点所在的位置，进行求解即可． 【详解】解：∵，，点， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转次，回到原来的位置， ∵， ∴第2025次旋转后，与第三次旋转后的位置相同，如图： 作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故第2025次旋转后，点的坐标为； 故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若分式的值为，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零． 【详解】依题意得：x＋2＝0且x−3≠0， 解得x＝−2． 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 12. 若某三角形的三边长分别为，则该三角形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的面积，由勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形，进而由三角形的面积公式计算即可求解，由勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴该三角形的面积， 故答案为：． 13. 如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则___度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 由旋转得，，则，即，由已知条件可得，根据，可得，则，进而可得． 【详解】解：由旋转得：，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，直线与直线为常数，相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 结合函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：直线与直线为常数，相交于点， 当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为：． 15. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 先根据图形平移的性质得出，故可得出，，进而可得出，据此可得出结论． 【详解】解：沿着方向平移到的位置， ，，， ∴， ，， ， ∵， 故答案为：． 16. 如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 分别延长交于点H，证明四边形为平行四边形，再由G为的中点，可得G正好为中点，从而得到在P的运动过程中，G始终为的中点，G的运行轨迹为的中位线，进而得到当P在中点时，的值最小，此时，即可求解． 【详解】解：如图，分别延长交于点H， ∵，均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． ∵G为的中点， ∴G正好为中点， 即在P的运动过程中，G始终为的中点， ∴G的运行轨迹为的中位线， ∴，， ∵当P在中点时，， ∴当P在中点时，的值最小，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时， ∴的最小值为， 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解. （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 18. 按要求解下列不等式（组）： （1）解关于的不等式，并将解集用数轴表示出来； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式（组），数轴； （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，最后在数轴上表示即可； （2）根据解不等式的步骤分别解出①②，得到不等式组的解集，再找出整数解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ； 用数轴表示如下： 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：； 解不等式②去分母：， ， ， ， ∴不等式组的解集为：； ∴它的所有整数解为：． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）  【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先通分，再把分子相加减即可； （2）先算括号里面的，再算除法，再把代入进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 20. 如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中 ， ， ， ∴是等腰三角形． 21. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为__________； （2）请画出绕原点逆时针旋转得到的； （3）在（2）的条件下，求点C经过的路径长． 【答案】（1） 根据平移的性质和题意可知，向右平移4个单位得到，如图，     ∴B点平移后对应点的坐标为； （2） 如图所示；     （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画出三角形，得出对应点的坐标即可解答； （2）根据旋转的定义画出图形即可； （3）求解，，再利用弧长公式计算即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得：，， ∴点C经过的路径长为 【点睛】本题主要考查了平移的性质，图形与坐标，旋转图形和旋转中心的定义，求解弧长等知识点，熟练的画图是关键． 22. 如图，是的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据四边形是平行四边形得，，再证明，得，可得，，即可得，，即可证明； （2）根据题意得，，在中，利用勾股定理可得，，，再利用平行四边形的面积公式即可计算． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，， ， ，， 在中，， ， ，， ． 23. 从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 【答案】（1）型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料 （2）至少购进型机器人台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系及不等式关系是解题的关键． （1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料，根据“型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同”建立方程并求解即可； （2）设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据“每小时搬运材料不得少于”列出不等式并解答即可． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料， ， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料； 【小问2详解】 设购进型机器人台，则购进型机器人台， 解得：， 是整数， ， 的最小值为， 答：至少购进型机器人台． 24. 借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【课本链接】 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得______，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得______： 【知识应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则______； （3）若满足，求的值． 【拓展延伸】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】（1），；（2）71；（3）12；（4）12 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是运用数形结合的思想解决问题． （1）根据图形，，； （2），因为，，代入数据计算即可； （3）因为，设，，可得，，所以，代入数据计算即可； （4）因为于点，，所以设，，所以，即，因为种花区域的面积和为，所以，，据此可得即，种草区域的面积和是，代入数据计算即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：，； （2）， 因为，， 所以原式， 故答案为：； （3）设，， 因为， 所以，， ； （4）因为， ，， 所以， 即， 因为， 设，， 所以， ， 即， ． 25. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2）（1）中的结论成立，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $