精品解析：北京市清华大学附属中学2025届高三下学期数学统练试卷4

统练4 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 3. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数满足方程，则所对应的向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 平面向量与的夹角是，且，，如果，，点是线段的中点，那么（ ） A. B. C. 3 D. 6 6. 已知三棱锥中，，E，F分别是SA，BC的中点，，则EF与AB所成的角大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（ ） A. B. C. D. 9. 已知半圆C：（），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家保罗道格拉斯（PaulH.Douglas）通过研究1899年至1922年美国制造业，提出了著名的柯布-道格拉斯生产函数，即，其中代表产出，和分别代表资本投入和劳动投入（均为正数），（可视为正值常数）代表综合技术水平，是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（ ） A. 若各项投入保持不变，则产出是关于的减函数 B. 存在，使资本投入不变而劳动投入增至原先的8倍时，产出仅增至原先的2倍 C. 存在，使各项投入都增至原先的倍时，产出增至原先的倍数超过 D. 将资本投入和劳动投入分别改变成原来的倍与倍，则产出不发生变化 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线的准线方程是______． 12. 已知函数，将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为_____ 13. 能说明“若，则”是假命题的一组正实数的值是_____ 14. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____ 15. 已知无穷数列满足．给出下列四个结论： ①若且，则； ②若，则中有无穷多项是1； ③存在一组，使得单调递增； ④中一定存在一项．其中所有正确结论的序号为_____． 三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，角所对边分别为，已知： （1）求； （2）已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积. ①； ②； ③. 17. 如图，在直三棱柱中，已知，分别和的中点. （1）求证：平面； （2）判断与是否垂直，并说明理由； （3）求与平面所成角的正弦值. 18. 某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 7 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 7 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. （1）若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望； （3）假设选手乙参加轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记为各轮较高分的算术平均值，为各轮较低分的算术平均值，为各轮两次的平均分的算术平均值.试比较与的大小（结论不要求证明）. 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，为右焦点，为椭圆上一个动点．设直线与直线交于点，连接，过作的平行线与交于点，求的值． 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若是函数的极值点， （i）证明：； （ii）求在区间内的零点个数 21. 已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列：①；② （1）已知和分别为数列和数列，且，求和； （2）已知正整数数列是数列. （i）无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，； （ii）求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 统练4 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得到集合B，由补集和并集的定义求. 【详解】不等式，解得，则， 所以. 故选：D 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，则的系数为. 故选：D. 3. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义：对于任意实数，都有.然后分析每个函数的值域判定即可. 【详解】对于函数，定义域为R，，而. 因为，所以该函数不是奇函数. 对于值域， 因为的值域为，所以的值域为R.故A错误. 对于函数，定义域为R，， 所以该函数是偶函数，不是奇函数， 故B错误. 对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数. 对于值域，，，当趋于时，趋于正负无穷，其值域为，不是R. 故C错误. 对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数. 对于值域，当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷； 并且函数在定义域内是连续的，所以值域为R. 故选：D. 4. 在复平面内，复数满足方程，则所对应的向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到所对应的向量的坐标. 【详解】因为，所以，则， 所以复数所对应的向量的坐标为. 故选：B 5. 平面向量与的夹角是，且，，如果，，点是线段的中点，那么（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模的计算公式可求. 【详解】因为是线段的中点，故， 故， 故选：A. 6. 已知三棱锥中，，E，F分别是SA，BC的中点，，则EF与AB所成的角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点G，然后根据异面直线所成角的定义证明（或其补角）是与所成的角，进而求得答案. 【详解】取的中点G，连接，如图， 又E为的中点，所以，同理可得， 所以（或其补角）是与所成的角. 取的中点H，连接，则， 所以， 则，所以与所成的角为. 故选：B. 7. 已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】∵an+1＝an+t，∴数列{an}为等差数列，且公差为t， ①当t≥0时，若t＝0，a1＝﹣2时，数列{an}为常数列，且an＝﹣2， ∴Sn＝﹣2n为减函数，无最小项，∴充分性不成立， ②当{an}和{Sn}都有最小项， ∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t)， Sn＝na1tn2+(a1)n， 则或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立， ∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小项的必要不充分条件， 故选：B． 8. 若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解. 【详解】双曲线的渐近线， 双曲线与直线没有公共点，则. 又因为双曲线离心率大于1，所以B选项符合题意. 故选：B 9. 已知半圆C：（），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案． 【详解】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|， 由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中， |BT||PB||t|， 当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值， 当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值， t＝0时，P与B重合，不符合题意， 则t的取值范围为[，0）]； 故选A． 【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题． 10. 美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家保罗道格拉斯（PaulH.Douglas）通过研究1899年至1922年美国制造业，提出了著名的柯布-道格拉斯生产函数，即，其中代表产出，和分别代表资本投入和劳动投入（均为正数），（可视为正值常数）代表综合技术水平，是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（ ） A. 若各项投入保持不变，则产出是关于的减函数 B. 存在，使资本投入不变而劳动投入增至原先的8倍时，产出仅增至原先的2倍 C. 存在，使各项投入都增至原先的倍时，产出增至原先的倍数超过 D. 将资本投入和劳动投入分别改变成原来的倍与倍，则产出不发生变化 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的信息，按各选项的条件，结合函数计算判断得解. 【详解】记产出､资本投入､劳动投入未改变前分别为，改变后的产出为. 对于A，，其单调性取决于与1的大小关系，而这个大小关系并不确定，A错误； 对于B，令，解得，B正确； 对于C，，不成立，C错误； 对于D，令，解得， 即仅当时，产出不变，当时，产出发生改变，D错误. 故选：B 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线的准线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，求解抛物线的准线. 【详解】由，则，准线方程为 故答案为：. 12. 已知函数，将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】首先将的表达式求出来，然后利用正弦函数的单调性求出各自的单调递增区间，进而求得的最大值. 【详解】因为，所以将的图象向左平移个单位后得到函数的图象， 所以. 当时，单调递增， 此时单调递增区间为. 当时，递增区间分别为； 当时，单调递增， 此时单调递增区间为. 当时，递增区间分别为； 要使得在区间上单调递增，则的最大值为. 故答案为：. 13. 能说明“若，则”是假命题的一组正实数的值是_____ 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】要说明命题“若，则”为假命题，等价于找到一组正实数，满足且. 【详解】假设命题“若，则”为假命题，只需要找到一组正实数，满足且. 根据对数的加法公式可知：. 若，则 假设，，则 所以存在正实数：，使得“若，则”成立， 即“若，则”是假命题. 故答案为：，（答案不唯一）. 14. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】分析该分段函数在各段上的零点情况，将问题转化为直线与在上有一个交点的问题，结合函数的图象即得参数的范围. 【详解】当时，由可得， 依题意， 时， 有1个零点， 即方程在上有一个实根， 也即直线与在上有一个交点. 如图作出函数的图象. 因在上单调递增，由图可知，此时. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 15. 已知无穷数列满足．给出下列四个结论： ①若且，则； ②若，则中有无穷多项是1； ③存在一组，使得单调递增； ④中一定存在一项．其中所有正确结论的序号为_____． 【答案】②④ 【解析】 【分析】利用特殊值判断①；根据递推关系找到关系或，当时，通过计算前几项可发现数列具有周期性，周期为6，即可判断②；根据数列周期性与单调递增矛盾判断③；利用不等式关系判断④； 【详解】①若且，取， ， ，不满足小于2，故①错误； ②， 若可得, 若可得, 若可得, 综上，存在无穷多个1，②正确； ③存在一组，使得单调递增， 由②可知，数列周期为6，若单调递增需满足矛盾，③错误； ④若恒成立，则， 由递推关系有或， 所以， 故，同理， ， ， 依次有，， 而当时，，故当时，，， 这与矛盾，故必中一定存在一项即④正确. 故答案为：②④ 三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，角所对边分别为，已知： （1）求； （2）已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积. ①； ②； ③. 【答案】（1） （2）若选①不符题意，选②满足题意且，选③满足题意且 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理边化角即可求解； （2）若选①，可余弦定理运算可知此时存在但不唯一，不符题意；若选②，由正弦定理可知此时，此时通过余弦定理可唯一解出满足题意，结合三角形面积公式求解即可；若选③，一方面有，另一方面，且，由此可唯一解出，进而也唯一，满足题意，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为 所以，即， 所以. 【小问2详解】 若选①，因为，， 所以由余弦定理有，整理得， 解得，此时存在但不唯一，不符题意； 若选②，则， 所以此时， 由余弦定理有，整理得， 解得或（舍去），此时存在且唯一， 且； 若选③，则， 又，且， 所以整理得，解得或（舍去）， 此时存在且唯一， 且. 17. 如图，在直三棱柱中，已知，分别和的中点. （1）求证：平面； （2）判断与是否垂直，并说明理由； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由于是对角线的中点. 设的中点为，则分别是的中点，故， 这就说明是平行四边形，故平行于， 而在平面内，不在平面内， 故平行于平面； （2）垂直，理由如下： 记的中点为，由于，故， 又由于该三棱柱是直三棱柱，且，故平行于. 而垂直于平面，故垂直于平面， 而均在平面内，故两两垂直. 现在以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，， 故，，从而， 这就说明垂直于； （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，证明平行于，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出与所在直线方向向量，判断它们的数量积是否为0即可； （3）分别求出与平面的方向向量、法向量，由向量夹角的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于，，故. 而，，，故，. 设是平面的法向量，所以， 则. 所以，，从而可以取. 而， 故与平面所成角的正弦值是. 18. 某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 7 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 7 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. （1）若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望； （3）假设选手乙参加轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记为各轮较高分的算术平均值，为各轮较低分的算术平均值，为各轮两次的平均分的算术平均值.试比较与的大小（结论不要求证明）. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）该选手在第1、3、4、5、7、8轮稳定发挥，由此即可求解； （2）首先求出甲在某一轮中发挥稳定的概率为0.6，从而可知服从二项分布，进一步即可求得分布列以及数学期望； （3）首先求得关于的表达式，进一步即可比较大小. 【小问1详解】 直接计算知该选手在第1、3、4、5、7、8轮稳定发挥，故； 【小问2详解】 甲在每轮游戏中“稳定发挥”的概率为，， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， 这就得到的分布列为 0 1 2 3 二项分布的数学期望. 【小问3详解】 设在第轮中，较高分和较低分分别为和， 则，且，， 故，且 从而. 即. 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，为右焦点，为椭圆上一个动点．设直线与直线交于点，连接，过作的平行线与交于点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，再结合可求出，从而可求出椭圆方程； （2）设，表示出直线的方程，则可求出点的坐标，求出直线和直线的方程，两直线方程联立可求出点的坐标，进而可求出的值． 【小问1详解】 因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 所以设椭圆方程为， 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意得，设， 则，得，即， 由题意得直线的斜率存在，则， 所以直线为， 当时，，所以， 所以直线的斜率为， 因为直线与直线平行，所以直线的斜率为， 所以直线为， 当时，由椭圆的对称性，不妨设点为第一象限的点，则， 此时直线为，直线为， 由，得，即， 所以， 当时，直线的斜率为，则直线为， 由，得，即， 所以 综上， 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若是函数的极值点， （i）证明：； （ii）求在区间内的零点个数 【答案】（1） （2）（i） ， ，由题意， 得，设，则有， ，且在上单调递增， 根据零点存在定理得； （ii）2个 【解析】 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）（i）根据是函数的极值点求出，设，根据的单调性、零点存在定理可得答案；（ii）求出，设，分、讨论，利用导数判断出单调性可得答案. 【小问1详解】 ，，， 所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，所以，得， ，设，则， 当时，，故，单调递增， 所以，故函数单调递减，， 故函数在上无零点； 当时，， 设，则， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且，，， 故存在，使， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 故，， 故函数在上有1个零点. 综上所述，在区间内的零点个数为2. 21. 已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列：①；② （1）已知和分别为数列和数列，且，求和； （2）已知正整数数列是数列. （i）无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，； （ii）求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值． 【答案】（1） （2）（i）假设结论不成立，不妨设为满足且使得取最小的某个整数． 由，可知，因为是奇数， 从而，且，这与最小性矛盾， 所以对于任意的，． （ii），的全部可能取值为 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义分别求解即得； （2）（i）运用反证法，不妨假设为满足且使得取最小的某个整数，经推理得到，与最小性矛盾，即得证；（ii）假设及的取值已使得为数列且每一个项均为整数，先证明满足对任意的，有，又根据（i）的结论可知必存在某个，使得对于任意的，均有，从而，可取某个，使得，推出也为2的次幂，求得，由此即可求得的全部可能取值. 【小问1详解】 根据数列的定义可知：, 则； 根据数列的定义可知：， 则． 【小问2详解】 （i）略 （ii）假设及的取值已使得为数列且每一个项均为整数． 由（i）中所定义出的构成数列， 首先证明满足对任意的，有． 若，则，从而； 若，则． 分三种情况讨论 ① 若，则．故； ② 若，则．故； ③ 若，则． 又因为为奇数，所以也为奇数，从而有； 综上所述，对任意的，有． 又根据（i）的结论可知必存在某个，使得对于任意的，均有； 由于当时，总有，于是，数列中存在无穷多项小于， 从而，可取某个，使得． 由前面的证明可知只有当且时， 才可使得及同时成立，所以． 又因为对任意的，有，所以对任意，有， 进而对任意均为2的次幂． 由，依次得， 因此也为2的次幂．显然，只有当时才成立． 因此，只能为2． 对，若，则数列的各项为，满足要求． 当时，数列的各项为，也符合题意． 若，则，不满足要求． 综上，，且此时的全部可能取值为． 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列新定义问题，属于难题。 根据性质规定新生出数列的题目，涉及到归纳推理的思想方法，解答的关键是要理解新定义数列的特征，根据定义进行逻辑推理展开，进而解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $