精品解析：江苏省江阴市2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷

2025年春学期江阴市初一学业水平调研测试 七年级数学试题 2025.06 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟，试卷满分120分． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑． 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 如图，AB∥CD，AD⊥CE于点A，，则的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 60° 5. 如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 若，下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交．应先假设（ ） A. a与b相交 B. a与c平行 C. b与c垂直 D. b与c平行 8. 如图，已知，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；②分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E；③连接，，，．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 计算图中梯形的面积等于（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 计算：________． 12. 中国在芯片制造技术上不断突破，已量产14纳米芯片，14纳米等于米，数据可用科学记数法表示为________． 13. 不等式最大整数解是_____． 14. 一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是________． 15. 命题“同旁内角互补”是一个______命题填“真”或“假” 16. 已知用含x代数式表示y为________． 17. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，当第一次平行于时，旋转角的度数为________． 18. 如图，中，，，D，E，F分别是上的动点，连接，当的值最小时，的度数为________． 三、解答题（本大题8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列方程组或不等式组： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，点C，F，D在同一条直线上，，，垂足分别E，B，与交于点O． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 23. 已知：如图，中，． （1）在上作一点D，使得；在上作一点E，使得与关于直线对称；（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请猜想与的数量关系，并说明理由． 24. 《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙的玩偶深受大众喜爱．某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元． （1）求哪吒、敖丙玩偶每个售价各是多少元？ （2）刘老师准备用105元钱购买9个玩偶奖励给学生（两种都要购买，钱可以有剩余）．请通过计算帮助刘老师分析有哪些可能的购买方案． 25. 阅读材料】对于两个正数a，b，其中，如果，那么可将指数c记作，即．例如：，则． 【问题解决】 （1）填空：________；________． （2）小茗同学在研究这种运算时发现一个规律：，并给出了如下证明：设，，则，， ， ， ． 请利用小茗探究的结论，解决下列问题： ①已知两个正方形的边长分别为m，n，若，．求这两个正方形的面积之和． ②如图，把长方形分成4个小长方形．其中，长方形的面积是a，长方形、的面积都是b，长方形的面积是c．若，求的值． 26. 【阅读材料】如图1，等边各边的垂直平分线交于点O，并将分成形状、大小完全相同的六个小三角形． 将一个小三角形沿着直线翻折得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，沿着直线，翻折分别记为，； 将一个小三角形绕着点O顺时针旋转得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，绕着点O顺时针旋转，分别记为，； 如果先作变换，再作变换，可以记． 例如，图2中将作变换，即：将先作变换得；再将作变换，得到．而将直接作变换也得到． 这意味着（）变换可化简为变换，即：． 【问题解决】 （1）将作变换得到______；将作变换得到______；将进行变换得到______；变换可化简为______变换． （2）我们知道，有理数的加法运算具有交换律和结合律，即： ，．类似地，我们可以探究“”可以满足哪些运算律． 在下列等式中，你认为正确的是______．（填写所有正确的序号） ①； ②； ③． （3）利用两次旋转和一次翻折变换，可设计出变换结果为的算法．如：，请再设计4个符合要求的算法，要求算式中不带括号，且翻折变换只能是．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期江阴市初一学业水平调研测试 七年级数学试题 2025.06 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟，试卷满分120分． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑． 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘的法则进行计算，然后判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，按照法则—同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算是关键，属于基础题型． 2. 下列各式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】此题考查了平方差公式， 根据平方差公式的结构特点，逐一分析选项是否符合两数和与两数差的乘积形式． 【详解】A．是完全平方公式，展开为，不符合平方差公式． B．中两因式均为减法但常数项不同，展开后为，不符合平方差公式． C．符合平方差公式，即，，结果为． D．可变形为，属于完全平方的相反数，不符合平方差公式． 故选：C． 3. 已知是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】∵是方程的一个解 ∴ ∴． 故选：B． 4. 如图，AB∥CD，AD⊥CE于点A，，则的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和为180°求出∠ACD的度数，然后根据∠ACD与∠2是同位角即可得到答案. 【详解】解：∵∠DAC是直角，∠1=60°，∠ACD+∠DAC+∠1=180° ∴∠DAC=90° ∴∠ACD=180°-∠DAC-∠1=30° 又∵AB∥CD ∴∠ACD=∠2=30° 故选A. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和和同位角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点. 5. 如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 6. 若，下列不等式中一定成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键，根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】∵ ∴当时，，故A错误； ∴不一定大于，故B错误； ∴，故C正确； ∴a不一定大于，故D错误． 故选：C． 7. 用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交．应先假设（ ） A. a与b相交 B. a与c平行 C. b与c垂直 D. b与c平行 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查反证法，使用反证法时，需假设结论不成立，据此求解即可． 【详解】∵用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交． ∴应先假设b与c平行． 故选：D． 8. 如图，已知，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；②分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E；③连接，，，．下列结论错误的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本作图可知，为的平分线，又，，可得出，从而可得出；由，，得出垂直平分，根据已知条件不能判断，进而可以解决问题． 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则，故C选项正确，不合题意； 又，， ， ，故A正确，不合题意； ，， 垂直平分，则，故D选项正确，不合题意； 没有条件能得出，故B选项错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键． 9. 计算图中梯形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．根据梯形的面积公式以及单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：梯形的面积等于 ． 故选：A 10. 如果关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集确定参数的取值范围， 首先解出不等式组中的每个不等式，再根据解集确定参数的条件． 【详解】解不等式组得， ∵关于x的不等式组的解集是 ∴ 解得： 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方．根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 12. 中国在芯片制造技术上不断突破，已量产14纳米芯片，14纳米等于米，数据可用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据可用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 不等式最大整数解是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的最大整数解，按照移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而求出求最大整数解即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， ∴不等式的最大整数解是4， 故答案为：4． 14. 一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的知识，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．设该多边形的边数为，根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为，根据题意， 可得 ， 解得 ， 所以，这个多边形的边数是7． 故答案为：7． 15. 命题“同旁内角互补”是一个______命题填“真”或“假” 【答案】假 【解析】 【分析】根据平行线的性质判断命题的真假． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，所以命题“同旁内角互补”是一个假命题； 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 16. 已知用含x的代数式表示y为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程的代入消元法，根据等式的性质，对等式正确变形是解本题的关键．根据等式的性质，变形即可求解． 【详解】∵ ∴ 将代入． 故答案为：． 17. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，当第一次平行于时，旋转角的度数为________． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质．根据平行线的性质，得到，进而求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴旋转角的度数即为的度数，为； 故答案为：55． 18. 如图，中，，，D，E，F分别是上的动点，连接，当的值最小时，的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，垂线段最短，三角形内角和定理，三角形的外角性质．作关于的对称线段，作点关于的对称点，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点，由垂线段最短知的最小值为线段的长，求得，利用直角三角形的性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：作关于的对称线段，作点关于的对称点，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点， ∵，， ∴， 由垂线段最短知的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的运算以及实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案； （2）利用积的乘方和同底数幂的乘法法则化简，再合并计算得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程组或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （）利用加减消元法解答即可求解； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解． 【小问1详解】 解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解为． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算中的化简求值．先进行多项式乘多项式和完全平方公式的计算，再合并同类项，化简后代值计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 22. 如图，点C，F，D在同一条直线上，，，垂足分别E，B，与交于点O． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明出，即可得到； （2）由求出，由角平分线求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴． 23. 已知：如图，中，． （1）在上作一点D，使得；在上作一点E，使得与关于直线对称；（请用无刻度直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）猜想，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，准确作图是关键． （1）利用角平分线的作图和线段的作图进行解答即可； （2）证明，由，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图即为所求， 【小问2详解】 猜想， 理由：由（1）可知，与关于直线对称， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙的玩偶深受大众喜爱．某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元． （1）求哪吒、敖丙玩偶每个售价各是多少元？ （2）刘老师准备用105元钱购买9个玩偶奖励给学生（两种都要购买，钱可以有剩余）．请通过计算帮助刘老师分析有哪些可能的购买方案． 【答案】（1）哪吒玩偶的售价为10元，敖丙玩偶的售价为15元； （2）一共有三种方案：购买哪吒玩偶6个，购买敖丙玩偶3个或购买哪吒玩偶7个，购买敖丙玩偶2个或购买哪吒玩偶8个，购买敖丙玩偶1个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设哪吒玩偶的售价为x元，敖丙玩偶的售价为y元，根据“售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元”建立方程组求解即可； （2）设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶个，根据总费用不超过105元可得，求出不等式的解集即可得到答案． 【小问1详解】 解：设哪吒玩偶的售价为x元，敖丙玩偶的售价为y元， 由题意得，， 解得． 答：哪吒玩偶的售价为10元，敖丙玩偶的售价为15元； 【小问2详解】 解：设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶个， 由题意得，， 解得， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：购买哪吒玩偶6个，购买敖丙玩偶3个或购买哪吒玩偶7个，购买敖丙玩偶2个或购买哪吒玩偶8个，购买敖丙玩偶1个． 25. 【阅读材料】对于两个正数a，b，其中，如果，那么可将指数c记作，即．例如：，则． 【问题解决】 （1）填空：________；________． （2）小茗同学在研究这种运算时发现一个规律：，并给出了如下证明：设，，则，， ， ， ． 请利用小茗探究的结论，解决下列问题： ①已知两个正方形的边长分别为m，n，若，．求这两个正方形的面积之和． ②如图，把长方形分成4个小长方形．其中，长方形的面积是a，长方形、的面积都是b，长方形的面积是c．若，求的值． 【答案】（1）6；1 （2）①192；②． 【解析】 【分析】（1）根据所给的新定义运算即可解答； （2）①根据新定义给出的特证求得，，再根据完全平方公式变形，计算即可；②设，，，，则，，根据题意得到，，，计算得到，再根据新定义给出的特证运算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6；1； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵两个正方形的边长分别为m，n， ∴这两个正方形的面积之和； ②由题意，设，，，，则，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法法则，完全平方公式，掌握并灵活运用对应法则是解题的关键． 26. 【阅读材料】如图1，等边各边的垂直平分线交于点O，并将分成形状、大小完全相同的六个小三角形． 将一个小三角形沿着直线翻折得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，沿着直线，翻折分别记为，； 将一个小三角形绕着点O顺时针旋转得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，绕着点O顺时针旋转，分别记为，； 如果先作变换，再作变换，可以记为． 例如，图2中将作变换，即：将先作变换得；再将作变换，得到．而将直接作变换也得到． 这意味着（）变换可化简为变换，即：． 【问题解决】 （1）将作变换得到______；将作变换得到______；将进行变换得到______；变换可化简为______变换． （2）我们知道，有理数的加法运算具有交换律和结合律，即： ，．类似地，我们可以探究“”可以满足哪些运算律． 在下列等式中，你认为正确的是______．（填写所有正确的序号） ①； ②； ③． （3）利用两次旋转和一次翻折变换，可设计出变换结果为的算法．如：，请再设计4个符合要求的算法，要求算式中不带括号，且翻折变换只能是．（直接写出答案） 【答案】（1）；；； （2）②③ （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转，轴对称，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意作出对应的变换即可得到答案； （2）以为开始图形，分别作出对应变换后的图形，看是否一致即可得到答案； （3）以为开始图形，作得到，当一开始作变换时，则作变换后得到，而到要么旋转120度，要么旋转480度；当最后作变换时，则前两次变换后得到，即前面两次变换要么旋转240度，要么选择360度；当第二次作变换时，讨论第一次作变换，进而确定第三次变换即可． 【小问1详解】 解：由题意得，将作变换得到； 将作变换得到； 将进行变换得到，将作变换得到， ∴将进行变换得到， ∴变换可化简为变换； 【小问2详解】 解：将作变换得到， 将作变换得到， ∴将作变换得到， 将作变换得到， 将作变换得到， ∴将作变换得到， ∴，故①不正确； ∵作相当于把原图形绕点O先顺时针旋转120度，再绕点O顺时针旋转240度， ∴作相当于把原图形绕点O顺时针旋转360度； ∵作相当于把原图形绕点O先顺时针旋转240度，再绕点O顺时针旋转120度， ∴作相当于把原图形绕点O顺时针旋转360度； ∴，故②正确； ∵将作变换得到， ∴将作变换得到； ∵将作变换得到， ∴将作变换得到， ∴将作变换得到， ∴，故③正确； 【小问3详解】 解：由题意得，，，； ，，； ，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $