北京市第一六一中学分校2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

第1页/共30页 2025北京一六一中分校初二(下)期中 数 学 考生须知 1.本试卷共 4页,共两部分,四道大题,28道小题.其中第一大题至第三大题为必做题, 满分 100分.第四大题为选做题,满分 10分,计入总分,考试时间 100分钟. 2.试题答案一律填涂或书写在答题纸上,试卷上作答无效. 3.在答题纸上,用 2B铅笔填涂,用黑色字迹钢笔或签字笔作答. 4.考试结束后,将答题纸交回. 第 I卷(共 100分) 一、选择题(本大题共 8小题,每小题 2分,共 16分) 1. 下列各式中,最简二次根式是( ) A. 16 B. 5 C. 24 D. 1 7 2. 在 ABC 中, a,b , c分别是 A , B , C 的对边,下列条件能构成直角三角形的是( ) A. : : 3 : 4 : 5a b c = B. : : 1: 2 : 3a b c = C. : : 1: 2 : 4A B C = D. : : 1:1: 3A B C = 3. 下列计算正确的是( ) A. 8 6 2− = B. 3 2 2 3 5+ = C. 3 2 4 2 24 = D. ( ) ( )9 4 9 4 6− − = − − = 4. 下列命题中,正确的是( ) A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形 5. 关于 x的一次函数 2 1y x= − ,下列说法正确的是( ) A. 一次函数的图象过点 ( )0.5,0− B. y 随 x的增大而减小 C. 一次函数的图象过第一、二、三象限 D. 自变量 x可以为任意实数 6. 如图,一次函数 y kx b= + 的图象与 x 轴交于点 ( )2,0 ,与 1y x= + 的图象交于点 ( )1, 2P ,则下列说法 正确的是( ) 第2页/共30页 A. 关于 x,y 的方程组 1y x y kx b = + = + 的解是 1, 2 x y = = B. 方程 0kx b+ = 的解是 2x = − C. 方程 1kx b x+ = + 的解是 2x = D. 不等式 1kx b x+ + 的解集是 1x 7. 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,正方形 ABCD的顶点 B 在 x 轴上,顶点 C 在 y 轴上,且 ( )0, 2C − , ( ), 1D b − ,则正方形 ABCD的面积是( ) A. 4 B. 9 C. 13 D. 5 8. 如图 1,已知点 E,F,G,H 是矩形 ABCD各边的中点, 6AB = , 8BC = .动点 M 从某点出发,沿某 一路径匀速运动,设点 M 运动的路程为 x,过点 M 作MQ BC⊥ 于点 Q,则 BMQ 的面积 y 关于 x 的函 数关系的图象如图 2 所示,那么这条路径可能是图中的( ) A. F G H E F B. E H G F E C. G F E H G D. G H E F G 二、填空题(本大题共 8小题,每小题 2分,共 16分) 9. 若二次根式 2x + 在实数范围内有意义,则 x的取值范围是_. 10. 在平行四边形 ABCD中, 130A C + = ,则 B = _. 第3页/共30页 11. 把直线 y=2x-1 向上平移3个单位,得到的直线解析式是_. 12. 函数 ( 0)y kx b k= + 的图象上有两个点 1(A x , 1)y , 2(B x , 2 )y ,当 1 2x x 时, 1 2y y ,写出一个满 足条件的函数表达式:_. 13. 如图,直角 ABC 中, 90BAC = ,E、D、F 分别为 BC 、 AB 、 AC 上的中点,已知 4DF = ,则 AE = _. 14. 菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8,则这个菱形的周长为_,面积为_. 15. 如图,已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,且 BP=BC,则∠ACP 度数是_度. 16. 如图 1,四边形 ABCD是菱形,连接 BD ,动点 P 从点 A 出发沿折线 AD DB BA 匀速运动,回 到点 A 后停止.设点 P 运动的路程为 x,线段 AP 的长为 y,图 2 是 y 与 x 的函数关系的大致图象,则菱形 ABCD的面积为_. 三、解答题(共 10道小题,第 17题 8分,18,19题每题 5分,第 20,22题每题 6分,第 21,23,26题每题 8分,第 24,25题每题 7分,共 68分) 17. 计算: (1) ( )18 32 2 2 1− + + (2) 1 6 3 12 3 4 2 + − 18. 已知 2 3x = + , 2 3y = − ,求代数式 2 2x y− 的值. 19. 如图,在 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC ,且 BE DF= ,连接 AE ,求证: AE CF∥ . 第4页/共30页 20. 下面是小张同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程. 已知:等腰 ABD , AB AD= . 求作:点 C,使得四边形 ABCD 为菱形. 作法:①作 BAD 的角平分线 AO ,交线段 BD 于点 O; ②以点 O 为圆心, AO 长为半径圆弧,交 AO 的延长线于点 C; ③连接 BC DC, ,所以四边形 ABCD为菱形,点 C 即为所求. 根据小张同学设计的作图过程. (1)使用直尺和圆规补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:∵ AB AD= , AO 平分 BAD , ∴ BO DO= , AO BD⊥ ,( )(填推理的依据) ∵ BO DO= , AO CO= , ∴四边形 ABCD为平行四边形( )(填推理的依据) ∵ AC BD⊥ , ∴四边形 ABCD为菱形( )(填推理的依据) 21. 一次函数 y kx b= + 的图象与正比例函数 3y x= − 的图象平行,且过点 ( )2, 4− . (1)求一次函数 y kx b= + 的表达式; (2)画出一次函数 y kx b= + 的图象; (3)结合图象解答下列问题: ①当 0y 时, x的取值范围是_; ②当0 2x 时, y 的取值范围是_; 第5页/共30页 22. 如图,在菱形 ABCD中,对角线 AC , BD 交于点 O,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为点 E,延长 BC 到点 F,使CF BE= ,连接 DF . (1)求证:四边形 AEFD 是矩形; (2)若 13AB = , 10AC = ,求 AE 的长. 23. 探究函数 1y x= − 的图像与性质. 小天根据学习一次函数的经验,对函数 1y x= − 的图像与性质进行了探究.下面是小天的探究过程,请 补充完整: 第一步: 1y x= − 的自变量 x 的取值范围是全体实数; 第二步:x 与 y 的几组对应值: x … 1− 0 1 2 3 … y … 2 1 0 1 2 … (1)第三步:建立平面直角坐标系 xOy ,描出表格中各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图像; 第6页/共30页 (2)第四步:观察 1y x= − 的函数图像,得出了如下几条结论: ①当 x =_时,函数有最小值为_; ②当_时(填写自变量取值范围),y 随 x 的增大而增大;当_时(填写自变量取值范围),y 随 x 的增大而减少; ③图像关于过点_且垂直于 x 轴的直线对称; ④若直线 1 2 y kx= − 与 1y x= − 的图像只有一个交点,则 k 的取值范围是_. 24. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 6y kx= + 与直线 3y x= − 交于点 9 , 4 A m . (1)求 k,m 的值; (2)已知点 ( ),P n n ,过点 P 作垂直于 y 轴的直线与直线 3y x= − 交于点 M,过点 P 作垂直于 x 轴的直 线与直线 6y kx= + 交于点 N(P 与 N 不重合).若 2PN PM ,结合图象,求 n 的取值范围. 25. 如图,菱形 ABCD中, 120ABC = ,E 为边 AB 上一点,点 F 在 DB 的延长线上, EF ED= ,作 点 F 关于直线 AB 的对称点 G,连接 EG . 第7页/共30页 (1)依题意补全图形,并证明 ADE FEB = ; (2)用等式表示 AE CG DF, , 之间的数量关系,并证明. 26. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 (0, 2)A , (2, 2)B ,对于直线 l 和点 P,给出如下定义:若在线段 AB 上存在点 Q,使得点 P,Q 关于直线 l 对称,则称直线 l 为点 P 的关联直线,点 P 是直线 l 的关联点. (1)已知直线 1l : y x= − ,在点 1( )2 1P , , 2 )2 1(P , , 3 0(2 )P , 中,直线 1l 的关联点是_; (2)若在 x 轴上存在点 P,使得点 P 为直线 2l : y x b= − + 的关联点,求 b 的取值范围; (3)已知点 ( )N n n, ,若存在直线 3l : y mx= 是点 N 的关联直线,直接写出 n 的取值范围. 第 II卷(共 10分) 四、选做题(本大题共 2小题,第 27题题 4分,第 28题题 6分,共 10分) 27. 求 3 5 3 5+ + − 的值. 解:设 x= 3 5 3 5+ + − ,两边平方得: 2 2 2( 3 5 ) ( 3 5 ) 2 (3 5)(3 5)x = + + − + + − ,即 2 3 5 3 5 4x = + + − + ,x2=10 ∴x= 10 . ∵ 3 5 3 5+ + − >0,∴ 3 5 3 5+ + − = 10 . 请利用上述方法,求 4 7 4 7+ + − 的值. 28. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E 是直线 AC 上任意一点(不与点 A,C 重合),过点 E 作 EF BE⊥ 交直 线 CD 于点 F,过点 F 作 FG AC 交直线 AC 于点 G. 第8页/共30页 (1)如图 1,当点 E 在线段 AC 上时,猜想 EG 与 AB 的数量关系; (2)如图 2,当点 E 在线段 AC 的延长线上时,补全图形,并判断(1)中 EG 与 AB 的数量关系是否仍然 成立.如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由. 第9页/共30页 参考答案 第 I卷(共 100分) 一、选择题(本大题共 8小题,每小题 2分,共 16分) 1. 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式,掌握最简二次根式的概念是解题的关键. 根据最简二次根式的概念:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即 可. 【详解】解:A. 16 4= ,故不是最简二次根式,不符合题意; B. 5 是最简二次根式,故该选项符合题意; C. 24 2 6= ,故不是最简二次根式,不符合题意; D. 1 7 7 7 = ,故不是最简二次根式,不符合题意; 故选:B. 2. 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理,根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐 项分析即可得解,熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理是解此题的关键. 【详解】解:A、设三边为3k 、 4k 、5k ,满足 2 2 2 2 2 2(3 ) (4 ) 9 16 25 (5 )k k k k k k+ = + = = ,符合勾股定 理,是直角三角形,故符合题意; B、设三边为 k 、 2k 、3k ,但 2 3k k k+ = ,不满足三角形三边关系(两边之和大于第三边),无法构成 三角形,更非直角三角形,故不符合题意; C、设角分别为 x 、 ( )2x 、 ( )4x ,则 2 4 7 180x x x x+ + = = ,解得 180 25.7 7 x = ,最大角为 ( )4 102.9x ,非直角,故不成立,故不符合题意; D、设角分别为 x 、 x 、 ( )3x ,则 3 5 180x x x x+ + = = ,解得 36x = ,最大角为 ( )3 108x = ,非直 角,故不成立,故不符合题意; 故选:A. 3. 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘法,根据二次根式的加减、二次根式的乘法的运算法 则逐项分析即可得解,熟练掌握运算法则是解此题的关键. 【详解】解:A、 8 和 6 不是同类二次根式,不能直接相减,故原选项计算错误,不符合题意; B、 3 和 2 2 不是同类二次根式,不能直接相减,故原选项计算错误,不符合题意; C、3 2 4 2 24 = ,故原选项计算正确,符合题意; 第10页/共30页 D、 ( ) ( ) ( ) ( )9 4 9 4− − = − − ,二次根式根号内是负数,无意义,故原选项计算错误,不符合题 意; 故选:C. 4. 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定.根据平行四边形的判定定理,逐项判断即可求解. 【详解】解:A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故本选项错误,不符合题意; B、对角线互相平分的四边形是平行四边形,故本选项错误,不符合题意; C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故本选项正确,符合题意; D、两组对边相等的四边形是平行四边形,故本选项错误,不符合题意; 故选:C 5. 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质,根据一次函数的基本性质,逐一分析各选项的正确性即可,熟练掌 握一次函数的性质是解此题的关键. 【详解】解:A、将点 ( )0.5,0− 代入函数 2 1y x= − ,得 ( )2 0.5 1 2 0y = − − = − ,故图象不经过该 点,原说法错误,不符合题意; B、一次项系数 2 0k = ,因此 y 随 x的增大而增大,而非减小,原说法错误,不符合题意; C、函数 2 1y x= − 的斜率 2 0k = ,截距 1 0b = − ,图象经过第一、第三、第四象限,不经过第二象 限,原说法错误,不符合题意; D、一次函数的自变量 x可取任意实数,原说法正确,符合题意; 故选:D. 6. 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式,一次函数与二元一次方程组,结合图象,逐一判断即可 求解,利用数形结合思想解决问题是解题的关键. 【详解】解:A、 两直线的交点坐标为 ( )1, 2P , 关于 x,y 的方程组 1y x y kx b = + = + 的解是 1 2 x y = = ,则正确,故符合题意; B、 一次函数 y kx b= + 的图象与 x 轴交于点 ( )2,0 , 方程 0kx b+ = 的解是 2x = ,则错误,故不符合题意; C、 两直线的交点坐标为 ( )1, 2P , 方程 1kx b x+ = + 的解是 1x = ,则错误,故不符合题意; D、 两直线的交点坐标为 ( )1, 2P , 不等式 1kx b x+ + 的解集是 1x ,则错误,故不符合题意; 故选 A. 第11页/共30页 7. 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题 的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题. 【详解】解:过点 D 作 DE OC⊥ 于点 E,则 2OC = , 1OE = , ∴ 2 1 1CE OC OE= − = − = , ∵ ABCD是正方形, ∴ 90ABC BCD CED = = = , BC CD= , ∴ 90BCO OCD CDE OCD + = + = , ∴ BCO CDE = , ∴ OBC ECD≌ , ∴ 2DE OC= = , ∴正方形 ABCD的面积是 2 2 2 21 2 5CE DE+ = + = , 故选 D. 8. 【答案】D 【分析】本题考查动点问题的函数图象,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.根据点 E,F,G,H 是矩形 ABCD 各边的中点, 6AB = , 8BC = .得到 1 3 2 BE CG AE GD AB= = = = = , 1 4 2 AF DF CH BH BC= = = = = ,进而得到 5EF FG GH EH= = = = ,点 M 与点 E,点 H 重合时, 此时, BMQ 的面积都为 0,点 M 与点 F,点 G 时重合,此时, BMQ 的面积都为 12,由图 2 得出始点 面积为 12,当 5x = 和 10x = 时,面积都为 0,由此即可解答. 【详解】解: 点 E,F,G,H 是矩形 ABCD各边的中点, 6AB = , 8BC = . 1 3 2 BE CG AE GD AB= = = = = , 1 4 2 AF DF CH BH BC= = = = = , 2 23 4 5EF FG GH EH= = = = + = , 如图,连接 BM , 第12页/共30页 MQ BC⊥ , 当点 M 与点 E,点 H 重合时, 此时, , ,B M Q三点再一条直线上, BMQ 的面积都为 0, 当点 M 与点 F 时重合, 此时, 6, 4MQ AB BQ BH= = = = BMQ 的面积为 1 1 12 2 2 BQ MQ BH AB = = , 当点 M 与点 G 时重合, 此时, 3, 8MQ CG BQ BC= = = = BMQ 的面积为 1 1 12 2 2 BQ MQ BC CG = = , 由图 2 得出始点面积为 12,当 5x = 和 10x = 时,面积都为 0, 5 10x 时, BMQ 的面积先增大后减小, 5 10x 时,点 M 运动的路径是 H E , 点 M 运动的路径是G H E F G . 故选:D. 二、填空题(本大题共 8小题,每小题 2分,共 16分) 9. 【答案】 2x − 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件,解一元一次不等式,熟练掌握二次根式有意义的条件是解 题的关键. 根据二次根式有意义的条件得到 2 0x + 即可得到答案. 【详解】解:二次根式 2x + 在实数范围内有意义, 即 2 0x + , 故 2x − . 故答案为: 2x − . 10. 【答案】115 【分析】本题考查平行四边形的性质,关键是掌握平行四边形的性质. 根据平行四边形对角相等及邻角互补求解即可. 【详解】解:∵四边形 ABCD是平行四边形, 第13页/共30页 ∴ A C = , 180A B + = , ∵ 130A C + = , ∴ 65A C = = , ∴ 180 65 115B = − = . 故答案为:115 . 11. 【答案】y=2x+2 【分析】根据上面平移 k 不变,b 值加减即可. 【详解】∵把直线 y=2x-1 向上平移3个单位, ∴平移后解析式为: y=2x-1+3,即 y=2x+2. 故答案为:y=2x+2. 【点睛】考查了图形的平移和函数解析式之间的关系,解题关键是熟记平移规律“左加右减,上加下减”. 12. 【答案】 y x= − (答案不唯一) 【分析】根据 1(A x , 1)y , 2(B x , 2 )y 满足 1 2x x 时, 1 2y y 判断出函数图象的增减性即可.本题考查的 是一次函数的增减性,即一次函数 ( 0)y kx b k= + 中,当 0k , y 随 x 的增大而增大;当 0k , y 随 x的增大而减小. 【详解】解: 1(A x , 1)y , 2(B x , 2 )y 满足 1 2x x 时, 1 2y y , 函数 ( 0)y kx k= 满足 0k , ( 0y x k = − 即可); 故答案为: y x= − 13. 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点,根据三角形中位 线定理求出 BC ,再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出 AE ,熟练掌握三角形中位线等于第三边的 一半是解决此题的关键. 【详解】∵D、F 分别为 AB 、 AC 上的中点, 4DF = , ∴ 2 8BC DF= = , 在Rt ABC 中, 90BAC = ,E 为 BC 上的中点, ∴ 1 4 2 AE BC= = , 故答案为:4. 14. 【答案】 ①. 20 ②. 24 【分析】首先根据题意画出图形,然后由菱形的两条对角线长分别是 6 和 8,可求得 4OA = , 3OB = , 再由勾股定理求得边长,继而求得此菱形的周长与面积. 【详解】解:如图所示, 第14页/共30页 菱形 ABCD中, 8 6AC BD= =, , ∴ 1 1 4 3 2 2 OA AC OB BD AC BD= = = =, , ⊥ , ∴ 2 2 5AB OA OB= + = , ∴此菱形的周长是:5 4 20 = , 面积是: 1 6 8 24 2 = , 故答案为:20,24. 【点睛】此题主要考查了菱形的基本性质,勾股定理,熟练掌握以上性质是解题的关键. 15.【答案】22.5 【详解】∵ABCD 是正方形, ∴∠DBC=∠BCA=45 , ∵BP=BC, ∴∠BCP=∠BPC= 1 2 (180 -45 )=67.5 , ∴∠ACP 度数是 67.5 -45 =22.5 16. 【答案】8 3 【分析】题目主要考查动点函数图象,菱形的性质,勾股定理,理解题意,确定关键点的对应关系是解题 关键. 作 AE BD⊥ ,垂足为 E,结合运动轨迹及运动图象得出 4AD AB= = ,当 6x = 时,y 有最小值,此时点 P 和点 E 重合,得到 6 4 2DE = − = ,勾股定理求出 2 2 2 3AE AD DE= − = ,然后利用菱形面积公式求 解即可. 【详解】解:如图所示,作 AE BD⊥ ,垂足为 E, ∵四边形 ABCD是菱形, ∴ AD AB= , ∴ 1 2 DE BE BD= = , 第15页/共30页 由图象可得, 4AD AB= = , 当 6x = 时,y 有最小值,此时点 P 和点 E 重合, ∴ 6 4 2DE = − = , ∴ 2 4BD DE= = , 2 2 2 3AE AD DE= − = , ∴菱形 ABCD的面积 1 1 2 2 4 2 3 2 8 3 2 2 ABDS BD AE= = = = . 故答案为:8 3. 三、解答题(共 10道小题,第 17题 8分,18,19题每题 5分,第 20,22题每题 6分,第 21,23,26题每题 8分,第 24,25题每题 7分,共 68分) 17. 【答案】(1) 2 (2) 2 2+ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算. (1)先化简二次根式,再计算加减即可; (2)先计算二次根式的乘、除法,再计算加减即可. 【小问 1 详解】 解: ( )18 32 2 2 1− + + 3 2 4 2 2 2= − + + 2= 【小问 2 详解】 解: 1 6 3 12 3 4 2 + − 3 2 2 2 2= + − 2 2= + 18. 【答案】8 3 【分析】根据 2 3x = + , 2 3y = − ,即可求得 x+y 与 x−y 的值,然后根据平方差公式对所求式子因式 分解,再将 x+y 与 x−y 的值代入即可解答本题. 【详解】解:∵ 2 3x = + , 2 3y = − , ∴x+y=4,x−y=2 3 , ∴ ( )( )2 2 4 2 3 8 3x y x y x y− = + − = = . 【点睛】本题考查因式分解和二次根式的化简求值,解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法. 19. 【答案】见解析 【详解】本题考查了平行四边形的判定与性质,根据平行四边形的性质可得 AD BC∥ , AD BC= ,进 第16页/共30页 而证得 AF CE= ,从而证明四边形 AECF 是平行四边形,然后根据平行四边形的性质可证得结论. 【解答】证明:∵四边形 ABCD是平行四边形, ∴ AD BC∥ , AD BC= , ∵ BE DF= , ∴ AD DF BC BE− = − , 即 AF CE= , ∵ AD BC∥ , ∴四边形 AECF 是平行四边形, ∴ AE CF∥ . 20. 【答案】(1)见解析 (2)三线合一定理;对角线互相平分的四边形是平行四边形;对角线互相垂直 的平行四边形是菱形 【分析】(1)按照题意进行作图即可; (2)先由三线合一定理得到 BO DO= , AO BD⊥ ,再根据平行四边形和菱形的判定定理证明即可. 【小问 1 详解】 解:如图所示,即为所求; 【小问 2 详解】 证明:∵ AB AD= , AO 平分 BAD , ∴ BO DO= , AO BD⊥ ,(三线合一定理) ∵ BO DO= , AO CO= , ∴四边形 ABCD为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) ∵ AC BD⊥ , ∴四边形 ABCD为菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形) 故答案为:三线合一定理;对角线互相平分的四边形是平行四边形;对角线互相垂直的平行四边形是菱 形. 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图,三线合一定理,菱形的判定,平行四边形的判定等等,灵 活运用所学知识是解题的关键. 21. 【答案】(1) 3 2y x= − + ;(2)见解析;(3)① 2 3 x ;② 4 2y− 【分析】(1)由一次函数 y kx b= + 的图象与正比例函数 3y x= − 的图象平行,可得 3k = − ,由一次函数 y kx b= + 的图象过点 ( )2, 4− 可得 2b = 即可; (2)图象如图所示:描点(0,2)与(2,-4)连线得图像如图; 第17页/共30页 (3)①先求直线与 x 轴的交点( 2 3 ,0),当 0y 时,直线位于 x 轴下方, 可得 2 3 x ; ②先求 x=0, 2y= ;x=2, 4y = − 即可. 【详解】解:(1)∵一次函数 y kx b= + 的图象与正比例函数 3y x= − 的图象平行, 3k = − , 又∵一次函数 y kx b= + 的图象过点 ( )2, 4− . 根据题意得: ( )2 3 4b − + = − , 解得 2b = , ∴一次函数的表达式为 3 2y x= − + . (2)图象如图所示: 取 x=0,y=2,描点(0,2)与(2,-4), 连线得图像如图, (3)①当 =0y 时, x = 2 3 ,直线与 x 轴的交点( 2 3 ,0), 当 0y 时,直线位于 x 轴下方,自变量 x的取值范围在交点的右侧, ∴ 2 3 x ; 故答案为 2 3 x ; ②当0 2x 时,取 x=0, 3 0 2=2y = − + ,取 x=2, 3 2 2 4y = − + = − , ∴ 4 2y− , 第18页/共30页 故答案 4 2y− . 【点睛】本题考查平行线性质,待定系数法求函数解析式,利用图像求范围,掌握平行线性质,待定系数 法求函数解析式,利用图像求范围是解题关键. 22. 【答案】(1)见解析 (2) 120 13 AE = 【分析】(1)证明 AD BC∥ ,且 AD BC= , BC EF= ,可得 AD EF= ,证明四边形 AEFD 是平行四 边形,结合 AE BC⊥ ,可得结论; (2) 证 明 AC BD⊥ , 5AO CO= = , 13BC AB= = , 可 得 ABCDS BC AE= 四边形 , 求 解 2 2 2 20 13 5 12BO AB A= − = − = ,可得 2 24BD BO= = ,结合 1 2 ABCD S AC BD BC AE= = 四边形 , 再求解即可. 【小问 1 详解】 证明:∵四边形 ABCD是菱形, ∴ AD BC∥ ,且 AD BC= , ∵ BE CF= , ∴ BE CE CF CE+ = + , 即 BC EF= , ∴ AD EF= , ∵ AD EF∥ , ∴四边形 AEFD 是平行四边形, ∵ AE BC⊥ , ∴四边形 AEFD 是矩形. 【小问 2 详解】 ∵四边形 ABCD是菱形, ∴ AC BD⊥ , 5AO CO= = , 13BC AB= = , ∵ AE BC⊥ , ∴ ABCDS BC AE= 四边形 , 在Rt ABO 中,由勾股定理可得:∴ 2 2 2 20 13 5 12BO AB A= − = − = , ∴ 2 24BD BO= = , ∵ 1 2 ABCD S AC BD BC AE= = 四边形 , ∴ 1 10 24 13 2 AE = , 第19页/共30页 ∴ 120 13 AE = . 【点睛】本题考查的是菱形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理的应用,熟记特殊四边形的判定与性质 是解本题的关键. 23. 【答案】(1)见解析 (2)①1;0;② 1x ; 1x ;③ (1,0) ;④ 1 2 k = 或 1k 或 1k − 【分析】(1)根据表格中的数据可以画出相应的函数图像; (2)①根据图像即可求得最小值,②根据题目中的函数解析式及图像,可知 x 的取值范围;③函数图像即 可求得点的坐标;④根据函数图像的特征即可求解. 【小问 1 详解】 描点,并画出函数 1y x= − 的图像如下: 【小问 2 详解】 ①由图可知,当 1x = 时,函数有最小值 1 0y x= − = , 故答案为1,0; ②由图可知,当 1x 时,y 随 x 的增大而增大,当 1x 时(填写自变量取值范围), y 随 x的增大而减 少, 故答案为 1x , 1x ; ③由图像可知,图像关于 1x = 成轴对称, ∴图像关于过点 ( )1 0, 且垂直于 x 轴的直线对称, 故答案为 ( )1 0, ; ④∵ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 x x y x x x − = − = − , ∴当 1k = − 时,函数 1 2 y kx= − 与 ( )1 1y x x= − 平行,当 1k = 时,函数 1 2 y kx= − 与 ( )1 1y x x= − 平行, ∴当 1k 或 1k − 时,函数 1 2 y kx= − 与 1y x= − 有一个交点, 第20页/共30页 另外当函数 1 2 y kx= − 过点 ( )1 0, 时,有 1 0 2 k= − ,即 1 2 k = 时,函数 1 2 y kx= − 与 1y x= − 有一个交 点, 故答案为 1 2 k = 或 1k 或 1k − . 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图像,解答本题的关键是明确题意,画出相应的函数图 像,利用数形结合的思想解答. 24. 【答案】(1) 3k = − ; 3 4 m = − (2)0 3n 且 3 2 n 【分析】本题是一次函数图象的相交于平行的问题,主要考查了待定系数法求一次函数的解析式: (1)把 A 点坐标代入 3y x= − 中,求得 m 的值,再把求得的 A 点坐标代入 6y kx= + 中,求得 k 的值; (2)根据题意,用 n 的代数式表示出 M、N 点的坐标,再求得 PM PN、 的值,根据 2PN PM ,列出 n 的不等式,再求得结果. 【小问 1 详解】 解:把点 9 , 4 A m 代入 3y x= − 得: 9 3 3 4 4 m = − = − , ∴点 9 3 , 4 4 A − , 把点 9 3 , 4 4 A − 代入 6y kx= + 得: 9 3 6 4 4 k + = − , 解得: 3k = − ; 【小问 2 详解】 解:如图, 由(1)得:直线 6y kx= + 的解析式为 3 6y x= − + , 第21页/共30页 ∵点 ( ),P n n , PM y⊥ 轴, PN x⊥ 轴, ∴点 ( )3,M n n+ ,点 ( ), 3 6N n n− + , ∴ 3 3, 3 6 4 6PM n n PN n n n= + − = = − + − = − + , ∵ 2PN PM , ∴ 4 6 2 3n− + , 解得:0 3n , ∵P 与 N 不重合, ∴ 3 6n n − + ,即 3 2 n , ∴n 的取值范围为0 3n 且 3 2 n . 25. 【答案】(1)见解析; (2) 2DF CG AE= + ,证明见进解析. 【分析】(1)根据题意补全图形,根据菱形的性质结合 ED EF= 可推出 BDE BFE = ,从而推出结 论; (2)方法 1:连接 DG ,根据菱形的性质结合 120ABC = 推出 ABD 为等边三角形,得出 , 120AD DB ABF= = ,由点 F 关于 AB 的对称点 G 在线段 BC 上,推出 DEG 为等边三角形,根 据SAS证明 ADE BDG ≌ 得出 AE BG= ,从而得出结果; 方法 2:延长 AB 到 H,使 BH AE= ,根据菱形的性质易证 ADE FEH≌ ,再根据全等三角形的性质 及等边三角形的判定证明 BFH 为等边三角形,然后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可得证. 【小问 1 详解】 补全的图形如图所示; 证明:∵菱形 ABCD, ∴ 120ADC ABC = = , ∴ ADB =∠ 1 2 60ADC = , ABD = 1 2 60ABC = , ∴ 60ADE BDE + = , 第22页/共30页 60FEB BFE + = . ∵ ED EF= , ∴ BDE BFE = , ∴ ADE FEB = . 【小问 2 详解】 AE CG DF, , 之间的数量关系: 2DF CG AE= + . 证明:方法 1 如图,连接 DG . ∵菱形 ABCD, 120ABC = , ∴ ABD = 1 2 60ABC A = = , ∴ ABD 为等边三角形, ∴ 120AD DB ABF = = , , 点 F 关于 AB 的对称点 G 在线段 BC 上, ∴ EG EF ED GEB FEB ADE = = = =, . ∵ DEB A ADE DEG GEB = + = + , ∴ 60DEG A = = , ∴ DEG 为等边三角形, ∴ 60DE DG EDG = = , , ∴ 60ADE EDB EDB BDG + = + = , ∴ ADE BDG = , ∴ ADE BDG ≌ , ∴ AE BG= , ∴ 2DF DB BF BC AE CG BG AE CG AE= + = + = + + = + . 证明:方法 2 如图,延长 AB 到 H,使 BH AE= , 第23页/共30页 ∴ AB EH= . ∵菱形 ABCD, ∴ AB AD EH= = . 又∵ ADE FEB DE EF = =, , ∴ ADE FEH≌ , ∴ 60EHF A HF AE BH = = = =, , ∴ BFH 为等边三角形, ∴ HF BF AE= = . ∵菱形 ABCD, 120ABC = ,点 F 关于直线 AB 的对称点为 G, ∴点 G 在线段 BC 上, BG BF AE= = , ∴ 2DF DB BF BC AE CG BG AE CG AE= + = + = + + = + . 【点睛】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,熟记各性质定 理是解题的关键. 26. 【答案】(1) 2P ; (2)0 2b ; (3) 2 2n− − 或 2 2n . 【分析】(1)利用网格图确定线段 AB 关于直线 1l : y x= − 对称的线段 A B ,点 2 ( 2, 1)P 在 A B 上,得 出结论. (2)如图,由题意知,点 Q 在线段 AB 上,当点 Q 与点 A 重合时,点 P 的坐标为 ( 2 0)− , ,直线 2l 经过原 点,此时 b=0;当点 Q 与点 B 重合时,点 P 的坐标为 (0 0), ,直线 2l 经过点 A,此时 2b = ,所以 0 2b . (3)如图,点 ( )N n n, 在直线 y x= − 上,设线段 AB 关于 y mx= 的对称线段为 A B ,当直线 3l : y mx= 为 0y = 时,可求 (2, 2)B − ,此时,点 (2, 2)− 为满足题意的点 N, 2n = ;,当 y mx= 在第一、三象限 内,存在如下图情况,此时,点 A 落在 y x= − 上, B 落在 x 轴上,连接OB ,过点 A 作 D yA ⊥ 轴,垂 足为 D ,可求 ( 2, 2)A − ,此时, ( 2, 2)− 为满足题意的点 N, 2n = ;如图,线段 AB 与 A B 关 于 y 轴对称,可求 ( 2, 2)B − ,此时 ( 2,2)− 为满足题意的点 N, 2n = − ;如图,当直线 y mx= 在第二、四 第24页/共30页 象限,存在如下情况,点 A 在直线 y x= − 上,点 B 在 x 轴上,作 A H OB ⊥ ,垂足为 H,可求 ( 2, 2)A ,此时 ( 2, 2)− 为满足题意的点 N, 2n = − ,得出结论. 【小问 1 详解】 解:如图,线段 AB 关于直线 1l : y x= − 对称的线段 A B ,点 2 ( 2, 1)P 在 A B 上,故直线 1l 的关联点是 2 ( 2, 1)P ; 【小问 2 详解】 解:如图,由题意知,点 Q 在线段 AB 上, ∵点 P 为直线 2l 的关联点, ∴点 P 关于直线 2l 的对称点为 Q, 当点 Q 与点 A 重合时,点 P 的坐标为 ( 2 0)− , , AOP 是等腰直角三角形,直线 2l 经过原点,此时 b=0; 当点 Q 与点 B 重合时,点 P 的坐标为 (0 0), , ABO 是等腰直角三角形,直线 2l 经过点 A,此时 2b = . 综上所述,b 的取值范围是0 2b . 【小问 3 详解】 解:如图,点 ( )N n n, 在直线 y x= − 上,设线段 AB 关于 y mx= 的 对称线段为 A B , 当直线 3l : y mx= 为 0y = 时,点 ( )0, 2A , (2, 2)B 关于直线 0y = 的对称点 (0, 2)A − , (2, 2)B − ,此 第25页/共30页 时,点 (2, 2)− 为满足题意的点 N, 2n = ; 随着m增大,当 y mx= 在第一、三象限内,存在如下图情况,点 A 落在 y x= − 上, B 落在 x 轴上,连 接OB ,由对称知, OAB OA B ≌ , OBC OB C ≌ ∴ 2OA OA = = 过点 A 作 D yA ⊥ 轴,垂足为 D ,Rt DOA 中, 45DOA DA O ∴ DO DA ∵ 2 2 2 4DO A D A O ∴ 2DO DA , ∴点 ( 2, 2)A − 此时, ( 2, 2)− 为满足题意的点 N, 2n = 故 2 2n 时,存在直线 3l : y mx= 是点 ( , )N n n 的关联直线; 如图,线段 AB 与 A B 关于 y 轴对称, ( 2, 2)B − ,此时 ( 2,2)− 为满足题意的点 N, 2n = − ; 第26页/共30页 如图,当直线 y mx= 在第二、四象限,存在如下图情况,点 A 在直线 y x= − 上,点 B 在 x 轴上, 过点 A 作 A H OB ⊥ ,垂足为 H,由对称知, OA B OAB ≌ , OAG OA G≌ , 2OA OA = = ,Rt OA H 中, 45HOA HA O ∵ 2 2 2 4HO A H A O ∴ 2HO HA ∴ ( 2, 2)A 此时 ( 2, 2)− 为满足题意的点 N, 2n = − 故 2 2n− − 时,存在直线 3l : y mx= 是点 ( , )N n n 的关联直线; 综上,若存在直线 3l : y mx= 是点 ( )N n n, 的关联直线,则 2 2n− − ,或 2 2n . 【点睛】本题考查直角坐标系与点的坐标,轴对称,等腰直角三角形,勾股定理,动态的理解图形,分类 对所有情况作完备的讨论是解题的关键. 第 II卷(共 10分) 四、选做题(本大题共 2小题,第 27题题 4分,第 28题题 6分,共 10分) 27. 【答案】 14 第27页/共30页 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可. 【详解】设 x= 4 7+ + 4 7− , 两边平方得:x2=( 4 7+ ) 2+( 4 7− ) 2+2 4 7 ? 4 7+ − , 即 x2=4+ 7 +4﹣ 7 +6, x2=14 ∴x= 14 . ∵ 4 7+ + 4 7− >0,∴x= 14 . 【点睛】本题考查了二次根式的运算,解题的关键是正确理解题意给出的解法,本题属于中等题型. 28. 【答案】(1) 2AB EG= ,理由见解析 (2)成立,理由见解析 【分析】(1)点 E 作 EH CD⊥ 于点 H, EP BC⊥ 于点 P,证明 ( )ASABEP FEH ,得到 EB EF= .过点 B 作 BM AC⊥ 于点 M,证明 ( )AASEBM FEG ,进而得出 EG MC= ,再利用 等腰直角三角形的性质即可得出结论; (2)过点 E 作 EH CD⊥ 交 DC 延长线于点 H, EP BC⊥ 交 BC 延长线于点 P,过点 B 作 BO AC⊥ 于点 O,证明 ( )AASBEP FEH ,再证 ( )AASBEO EFG ,进而得出 BOC 为等腰直角三角形, 即可证得结论. 【小问 1 详解】 解: 2AB EG= ,理由如下: ∵ 正方形 ABCD, ∴ 90BCD = , 45ACD ACB = = , 过点 E 作 EH CD⊥ 于点 H, EP BC⊥ 于点 P,如下图所示, 则 90EHC EPC = = , ∴ 90BCD EHC EPC = = = , ∴四边形 CHEP 是矩形, ∵ 45ACD = , FG AC , ∴ EHC 与 CGF 均为等腰直角三角形, ∴ EH CH= ,GF CG= , 第28页/共30页 ∴四边形 CHEP 是正方形, ∴ EH EP= . ∵ EF BE⊥ , ∴ 90BEP PEF + = , 又∵ 90FEH PEF + = , ∴ BEP FEH = , 在 BEP 与 FEH 中, BEP FEH EP EH BPE FHE = = = , ∴ ( )ASABEP FEH , ∴ EB EF= . 过点 B 作 BM AC⊥ 于点 M, 则 90BME = , ∵ 90BEM EBM BEM FEG + = + = , ∴ EBM FEG = , 在 EBM 与 FEG 中, BME EGF EBM FEG BE EF = = = , ∴ ( )AASEBM FEG , ∴ EM FG= . ∴CG EM= , ∴CG MG EM MG+ = + , 即 EG MC= . ∵ 45ACB = , ∴ BMC 为等腰直角三角形, ∴MC BM= , ∴ 2 2 2 22BC MC BM MC= + = , ∴ 2BC MC= , ∴ 2AB EG= ; 【小问 2 详解】 解:成立,理由如下: 过点 E 作 EH CD⊥ 交 DC 延长线于点 H, EP BC⊥ 交 BC 延长线于点 P,过点 B 作 BO AC⊥ 于点 O,如 第29页/共30页 下图所示, 则 90P EHC HCP = = = , ∴四边形 CHEP 是矩形, ∵ 45HCE ACD = = , ∴ 90 45HEC HCE = − = , ∴ HEC HCE = , ∴ HE HC= , ∴四边形 CHEP 是正方形, ∴ EH EP= . 设 CF 与 BE 交于点 Q, 在 BQC 与 QEF 中, ∴ BQC EQF = , 90BCH QEF = = , ∴ PBE HFE = , 在 BEP 与 FEH 中, PBE HFE P FHE EP EH = = = , ∴ ( )AASBEP FEH , ∴ EB EF= . ∵ BO AC⊥ , FG AC , ∴ 90BOE G = = , ∵ 90BEO FEG EFG FEG + = + = , ∴ BEO EFG = , 第30页/共30页 在 BEO 与 EFG 中, BOE G BEO EFG BE EF = = = , ∴ ( )AASBEO EFG , ∴ BO EG= . ∵ 45ACB = , ∴ BOC 为等腰直角三角形, ∴ 2AB BC BO= = , ∴ 2AB EG= . 【点睛】本题考查正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股 定理等,熟练掌握上述知识点,通过作辅助线构造全等三角形,将所求线段进行等量代换是解题的关键.