精品解析： 广东省广州市白云区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

广东省广州市白云区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 小芸记录了6天体育锻炼的时间（单位：分钟），其折线统计图如图所示．这组数据的中位数是（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 3. 如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地，段与地面成夹角，若段长度为3米，则顶端着地处与大树底端之间的距离为（ ） A 9米 B. 米 C. 米 D. 6米 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，的面积为，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 8. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上F处，已知，，则的长为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 9. 如图，函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，则k的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，若，则下列四个结论中错误的是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 12. 甲、乙两支合唱队的平均身高均为，方差分别为，，则这两支合唱队队员身高更整齐的是______队．填“甲”或“乙” 13. 在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B＝______°． 14. 如图，一次函数和与x轴的交点分别为和．则关于x的不等式组的解集是______． 15. 如图，在数轴上点B、C分别表示0和2，，，若数轴上点A所表示的数为a，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 19. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． （1）______，______； （2）连接，判断是什么三角形，并说明理由． 20. 某校乒乓球队16名队员的年龄分布如表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 3 5 6 2 （1）则该校乒乓球队16名队员的年龄的众数是______； （2）求该校乒乓球队16名队员平均年龄；结果取整数 （3）教练组采用六维雷达图评估乒乓球队员的竞技水平，评估维度包括力量、速度、技巧、发球、防守和经验，权重比为．某队员的雷达图评分如图所示，计算该队员的综合得分？ 21. 为提倡节约用水，广州市中心城区居民生活用水收费标准调整如表： 月用水量立方米 不超过21立方米的部分 超过21立方米不超27立方米的部分 超过27立方米的部分 单价元/立方米 （1）某户居民6月用水量为26立方米，则该月应交多少水费？ （2）某户居民6月水费元，则该户居民6月用水量为多少立方米？ 22. 实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动距离． 23. 如图，在中，平分，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点O，交于点E，交于点要求：保留作图痕迹，不写作法； （2）在（1）所作的图中，连接、．求证：四边形是菱形； （3）求（2）中的菱形的边长． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于，两点． （1）求直线的函数解析式； （2）是直线上一动点，且的面积是的面积的2倍，求点P坐标； （3）如图2，在直线l：上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，点E是边BC上的一点不与点B、C重合，，． （1）图1，若，，则的度数为______； （2）图2，若，求的度数；用含的代数式表示 （3）图3，已知且，，且，点E在线段上运动时，连接，M为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，用关于m，n的代数式表示出来；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市白云区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式；根据最简二次根式的判定条件逐项分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：A、被开方数5是质数，无平方因数，且不含分母，满足最简二次根式的条件，符合题意； B\将0.9写为分数，则，分母含根号，需有理化，不满足最简条件，故不符合题意； C、分解被开方数：，其中4是平方数，故，含可开方的因数4，不满足最简条件，故不符合题意； D、分母含根号，，需有理化为，不满足最简条件，故不符合题意； 故选：A． 2. 小芸记录了6天体育锻炼的时间（单位：分钟），其折线统计图如图所示．这组数据的中位数是（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可，熟练掌握中位数的定义是解此题的关键． 【详解】解：把6天体育锻炼的时间从小到大排列，排在中间的两个数分别是40，50，故中位数为（分钟）， 故选：B． 3. 如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地，段与地面成夹角，若段长度为3米，则顶端着地处与大树底端之间的距离为（ ） A. 9米 B. 米 C. 米 D. 6米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，米， ∴米， ∴米， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：与不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意， 与不是同类二次根式，则B不符合题意， ，则C符合题意， ，则D不符合题意， 故选：C． 5. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，当为负数时，函数值随的增大而减小，通过比较两点的值大小即可确定对应的值大小关系，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵直线方程为，其中， ∴随的增大而减小， ∵点和都在直线上，且， ∴， 故选：A． 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质逐一进行判断即可，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，，， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，的面积为，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，求出a的值是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，结合的面积为，可列出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，， 点B的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点A的坐标为， ， ， 解得： 故选：B 8. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上F处，已知，，则的长为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，由折叠的性质得出的长，再根据勾股定理求解即可．掌握图形翻折不变性的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质知：，， 在中，，， ， 设，则，， ∴中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 9. 如图，函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，则k的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了两条直线相交问题、一次函数图象与系数的关系、正方形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键，依据题意得，直线是过原点的一条直线，又点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，且四边形为正方形，故，则直线过时，，即直线为，故此时也在该直线上，又当直线过时，则，可得直线，又函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合，故结合图象即可判断得解． 【详解】解：由题意得，直线是过原点的一条直线． 点A的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，且四边形为正方形， ∴， 直线过时，，即直线为，故此时也在该直线上． 又当直线过时，则，可得直线， 作出图象． 函数的图象与正方形的边和同时相交，且交点不与顶点A、B、D重合， 结合图象可得，， 故选：D． 10. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，若，则下列四个结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，对于选项A，证明和全等得，由此可对该选项A进行判断；对于选项B，连接交于点O，由勾股定理得，在中，根据得，由勾股定理得，则，进而得，由此可对该选项B进行判断；对于选项C，根据，得，由此可对该选项C进行判断；对于选项D，在上截取，连接，先求出，证明是等边三角形得，，进而得，由此可依据“”判定和全等得，则，据此可对该选项D进行判断，综上所述即可得出答案，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； B、连接交于点O，如图1所示： 四边形是正方形，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴，故选项B不正确，符合题意； C、，， ∴，故选项C正确，不符合题意； D、在上截取，连接，如图2所示： ，， ∴， ∴， ∵，是的外角， ∴， 又∵， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为：． 12. 甲、乙两支合唱队的平均身高均为，方差分别为，，则这两支合唱队队员身高更整齐的是______队．填“甲”或“乙” 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这两支合唱队队员身高更整齐的是乙队， 故答案为：乙． 13. 在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B＝______°． 【答案】60 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等即可求出∠A的度数，再根据平行四边形的邻角互补求出∠B的度数． 【详解】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C， ∵∠A＋∠C＝240°， ∴∠A＝∠C＝120° ∴∠B＝180°−∠A＝180°−120°＝60°． 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的对角线相等，邻角互补的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 14. 如图，一次函数和与x轴的交点分别为和．则关于x的不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数图象，写出两个函数图象在x轴上所对应的自变量的范围，然后根据不等式组解集的表示方法求解． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 【详解】解：一次函数和与x轴的交点分别为和 当时，；当时，， 关于x的不等式组的解集是 故答案为： 15. 如图，在数轴上点B、C分别表示0和2，，，若数轴上点A所表示的数为a，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和勾股定理．先根据已知条件求出，再根据勾股定理求出，从而求出，然后根据两点间的距离公式列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：数轴上点B、C分别表示0和2， ， ，，， 由勾股定理得：， ， ， 或不合题意舍去， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算．根据题意得到点到点之间的整点有3，4，5，6，7，8，9，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，，且轴， ∴，， ∴点到点之间的整点有3，4，5，6，7，8，9， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的乘法计算去括号，再算加减即可． 【详解】解：原式， ， ． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 19. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． （1）______，______； （2）连接，判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】（1）， （2）是等腰直角三角形，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理可求出的长，则可证明，，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由勾股定理得：，， 故答案为：，； 小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得：， ， ， ，， ∴， 是等腰直角三角形． 20. 某校乒乓球队16名队员的年龄分布如表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 3 5 6 2 （1）则该校乒乓球队16名队员的年龄的众数是______； （2）求该校乒乓球队16名队员的平均年龄；结果取整数 （3）教练组采用六维雷达图评估乒乓球队员的竞技水平，评估维度包括力量、速度、技巧、发球、防守和经验，权重比为．某队员的雷达图评分如图所示，计算该队员的综合得分？ 【答案】（1）14岁 （2）13岁 （3）分 【解析】 【分析】本题主要考查众数和加权平均数，解题的关键是掌握众数、加权平均数的定义． （1）根据众数的定义即可得出答案； （2）根据加权平均数的定义求解即可； （3）根据加权平均数的定义列式计算即可． 【小问1详解】 解：年龄为岁的人数有人，且为人数最多， 该校乒乓球队16名队员的年龄的众数是14岁， 故答案为：14岁； 【小问2详解】 解：依题意（分） 【小问3详解】 解：该队员的综合得分为（分） 21. 提倡节约用水，广州市中心城区居民生活用水收费标准调整如表： 月用水量立方米 不超过21立方米的部分 超过21立方米不超27立方米的部分 超过27立方米的部分 单价元/立方米 （1）某户居民6月用水量为26立方米，则该月应交多少水费？ （2）某户居民6月水费为元，则该户居民6月用水量为多少立方米？ 【答案】（1）该月应交元水费 （2）该户居民6月用水量为30立方米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用该月应交水费超过立方米的部分，即可求出结论； （2）设该户居民6月用水量为x立方米，根据该户居民6月水费为元，先确定用水量范围，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得： 元 答：该月应交元水费； 【小问2详解】 解：设该户居民6月用水量为x立方米， 元，， 根据题意得：， 解得：， 答：该户居民6月用水量为立方米． 22. 实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子长；（2）滑块B向左滑动的距离为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在中，利用 求解，最后算出绳子长度即可； （2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可． 【详解】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 绳子长度（）． 答：绳子总长度为18分米． （2）如图2，由题意可知，， 若物体C升高，则此时（）， 在中，由勾股定理得，（）， （）． 答：滑块B向左滑动的距离为． 23. 如图，在中，平分，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点O，交于点E，交于点要求：保留作图痕迹，不写作法； （2）在（1）所作的图中，连接、．求证：四边形是菱形； （3）求（2）中的菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）菱形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键． 根据题目要求作出图形； 由线段垂直平分线的性质可得，，可得，，由角平分线的性质可得，可证，，可得四边形是平行四边形，即可得结论； 设，利用勾股定理构建方程求解． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：平分， ， 垂直平分， ，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：设，则 ∵ ∴在中，由勾股定理得：， 解得， 菱形的边长为． 24. 如图1，平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于，两点． （1）求直线的函数解析式； （2）是直线上一动点，且的面积是的面积的2倍，求点P坐标； （3）如图2，在直线l：上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）P的坐标为或 （3）存在，Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得直线的函数解析式为； （2）设，当P在第一象限时，求出，，故，可得；当P在第四象限时，，，故，可得； （3）设，求出，，，①当时，，解得或，再根据勾股定理得符合条件，此时；②当时，，解得或，由勾股定理知符合条件，此时，，③当时，，解得，此时，故不是等腰直角三角形，这种情况舍去． 本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【小问1详解】 （1）设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的函数解析式为； 小问2详解】 设， 当P在第一象限时，如图： ，， ， 解得， ； 当P在第四象限时，如图： ，， ， 解得， ； 综上所述，P的坐标为或； 【小问3详解】 设， ，， ，，， ①当时，， 解得或， 若，则，， ，是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 若，则，， ，是等腰直角三角形，此时； ②当时，， 解得或， 当时，，， ，是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 当时，，， ，是等腰直角三角形，此时； ③当时，， 解得， ， 而， ， 不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 综上所述，Q的坐标为或 25. 如图，点E是边BC上的一点不与点B、C重合，，． （1）图1，若，，则的度数为______； （2）图2，若，求的度数；用含的代数式表示 （3）图3，已知且，，且，点E在线段上运动时，连接，M为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，用关于m，n的代数式表示出来；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，长度的最小值为 【解析】 【分析】在上截取，连接，可证得，从而，进而得出结果； 在上截取，连接，可证得，从而，根据平行四边形的性质得出，进一步得出结果； 在BC的延长线上截取，连接WF，取AW的中点，作射线，交的延长线于点V，可证得，从而，根据三角形中位线的性质得出，从而得出，从而得出点M在过定点，且与成的直线上运动，作于M，则当点M在处时，DM最小，进一步得出结果； 【小问1详解】 解：如图1， 上截取，连接， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为； 【小问2详解】 解：如图2， 在上截取，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3， 在的延长线上截取，连接，取的中点，作射线，交的延长线于点V， ，， （含的等腰三角形，底是腰的倍），， ， ， 是的中点， ， ， 点M在过定点，且与成的直线上运动， 作于M，则当点M在处时，最小， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， （含的等腰三角形，底是腰的倍）， ， . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $