第18讲 天体运动中的三大模型 （复习讲义）（湖南专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

第18讲 天体运动中的三大模型 目录 01考情解码·命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 考点一 环绕模型 3 知识点1．宇宙速度 3 知识点2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律地球静止轨道卫星的6个“一定” 3 知识点3．地球静止轨道卫星的6个“一定” 3 知识点4卫星的变轨和对接问题 4 知识点5天体中的追及相遇问题 4 考向1. 第一宇宙速度及卫星在圆形轨道上稳定运动 5 考向2.卫星变轨与对接 6 考向3 环绕天体间的追及相遇问题 7 考点二 9 知识点1 随绕模型的比较 9 考向1 随绕模型 10 考点三 互绕模型 知识点1.双星模型 12 知识点2.多星模型 12 考向1．双星模型 13 考向2．三星和四星模型 14 04真题溯源·考向感知 17 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 环绕模型 选择题 非选择题 湖南卷T4，4分 河南T3，4分 甘肃T2，4分 海南T4，4分 湖北T2，4分 2024·湖南卷·T7，4分 2024·福建卷·T5，4分2024·河北卷·T8，4分 2023·湖南卷·T4，4分 2023·广东卷·T7，4分2023·江苏卷·T4，3分 随绕模型 选择题 非选择题 云南T4，4分 浙江卷6月卷T8，3分 互绕模型 选择题 非选择题 2024·重庆卷·T7 ，4分 2023·福建卷·T6，4分 考情分析： 1.命题形式：单选题非选择题 2.命题分析：高考对这不内容的考查比较频繁，多以选择题的形式出现，题目的背景材料多为我国在航天领域取得的成就，比如神州飞船、天宫轨道舱等 3.备考建议：（1）掌握不同轨道卫星加速度、线速度等参量的求解。 （2）掌握同步卫星的特点，并能够比较近地卫星、同步卫星和赤道上物体运动。 （3）重点关注与我国航空航天成就有关的卫星运动问题。 本讲内容备考时候，注意概念的理解和易混概念的区别，多关注时事热点和实际生活情境，把问题放到真实情境中去理解。 4.命题情境： 题目通常会结合我国航天成就等实际情境，如 “嫦娥六号” 探测器进入地月转移轨道、“夸父一号” 卫星绕地球运动等。这样既考查学生对知识的掌握程度，又体现物理学科与实际生活的联系 5.常用方法：比值定义法、极限法 复习目标： 目标1.会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。 目标2.掌握双星或多星模型的特点。 目标3.会分析卫星的追及与相遇问题。 考点一 环绕模型 知识点1 宇宙速度 1.第个宇宙速度 （1）定义：第一宇宙速度是在地面附近发射飞行器，使飞行器成为绕地球运动的人造地球卫星的最小　发射　速度，也是飞行器环绕地球运动的最大　环绕　速度。 （2）大小：地球第一宇宙速度大小为　7.9　 km/s。 （3）第一宇宙速度的计算方法 方法1 由G＝m，解得v＝　　； 方法2 由mg＝m，解得v＝　　。 2.第二宇宙速度 　在地面附近　发射飞行器，使飞行器挣脱　地球　引力束缚，永远离开地球的最小发射速度，其数值为　11.2　 km/s。 3.第三宇宙速度 在地面附近发射飞行器，使飞行器挣脱　太阳　引力束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其数值为　16.7　 km/s。 知识点2 卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 知识点3．地球静止轨道卫星的6个“一定” 轨道面一定 轨道平面与赤道平面共面 周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 由G＝m(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝ －R≈6R(恒量) 速率一定 运行速率v＝ 绕行方向一定 与地球自转的方向一致 知识点4卫星的变轨和对接问题 1.变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，即万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2.对接 航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。 3.变轨过程各物理量比较 速度关系 在A点加速：vⅡA＞vⅠ，在B点加速：vⅢ＞vⅡB，即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB (向心)加速度关系 aⅢ＝aⅡB aⅡA＝aⅠ 周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ 机械能 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ 知识点5天体中的追及相遇问题 1.相距最近： 天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(如图)，此时刻行星与地球相距最近。 从初始时刻到之后再次“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有以下两种解决方法。 (1)角度关系 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…) (2)圈数关系 －＝n(n＝1，2，3，…) 解得t＝(n＝1，2，3，…) 2.相距最远：行星处在地球和太阳连线的延长线上(如图)，三者共线，运转方向相同，有关系式 ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)或－＝(n＝1，2，3，…)。 考向1 第一宇宙速度及卫星在圆形轨道上稳定运动 例1 （2025·湖南岳阳·三模）在太阳光照射下，卫星太阳能板将光能转化为的电能为卫星设备提供能源。一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星与地心的距离为地球半径的倍，卫星圆形轨道平面与地球赤道平面重合，卫星的运行周期为T。下列判断正确的是（　　） A．卫星的运行周期T约为近地卫星运行周期的2倍 B．卫星的运行速度约为第一宇宙速度的倍 C．卫星运行轨道上各点的重力加速度为地球表面的倍 D．卫星运行一周，太阳能收集板转化电能的时间约为 【答案】D 【详解】ABC．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得，， 可知卫星的运行周期与近地卫星运行周期之比为 卫星的运行速度与第一宇宙速度之比为 卫星运行轨道上各点的重力加速度与地球表面重力加速度之比为 故ABC错误； D．如图所示 根据几何关系可得 可得 可知星运行一周，太阳能收集板转化电能的时间约为 故D正确。 故选D。 思维建模 1.分析人造卫星的运动规律的两条思路 （1）万有引力提供向心力，即G＝man。 （2）天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM（R、g分别是天体的半径、表面重力加速度），公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 2.地球卫星的运行参量（将卫星轨道视为圆） 物理量 推导依据 表达式 最大值 或最小值 线速度 G＝m v＝ 当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s 角速度 G＝mω2r ω＝ 当r＝R时有最大值 周期 G＝mr T＝2π 当r＝R时有最小值，约85 min 向心 加速度 G＝man an＝ 当r＝R时有最大值，最大值为g 轨道 平面 圆周运动的圆心与中心天体的中心重合 【变式训练1·变载体】（2025·江西萍乡·三模）如图，北斗系统主要由离地面高度为（为地球半径）的同步卫星和离地面高度为的中轨道卫星组成，两轨道均看作圆轨道，忽略地球自转。下列说法正确的是（　　） A．中轨道卫星与同步卫星的运行动能之比为 B．中轨道卫星与同步卫星的向心加速度大小之比为 C．中轨道卫星与同步卫星的线速度大小之比为 D．中轨道卫星与同步卫星的运行周期之比为 【答案】CD 【详解】设表示地球的质量，表示卫星的质量，根据万有引力提供向心力 解得 AC．中轨道卫星与同步卫星的线速度大小之比为 由于卫星的质量未知，动能无法比较，故A错误，C正确； B．中轨道卫星与同步卫星的向心加速度大小之比为 故B错误； D．中轨道卫星与同步卫星的运行周期之比为 故D正确。 故选CD。 （【变式训练2】（2025·天津南开·二模）2024年7月19日，我国成功发射高分十一号05卫星。如图所示，高分十一号05卫星和另一颗卫星a分别沿圆轨道和椭圆轨道绕地球运行，圆轨道半径为R，椭圆轨道的近地点和远地点间的距离为2R，两轨道位于同一平面内，且A点为两轨道的一个交点，某时刻两卫星和地球在同一条直线上，线速度方向如图所示。只考虑地球对卫星的引力，下列说法正确的是（　　） A．高分十一号05卫星和卫星a分别运动到A点时的加速度不同 B．两卫星绕地球运行的周期相等 C．图示位置时，两卫星的线速度大小关系为 D．高分十一号05卫星的线速度大于地球的第一宇宙速度 【答案】B 【详解】A．根据牛顿第二定律可得 可得 可知高分十一号05 卫星和卫星a分别运动到A 点时的加速度相同，故A错误； B．根据开普勒第三定律，由于圆轨道的半径等于椭圆轨道的半长轴，所以两卫星绕地球运行的周期相等，故B正确； C．设沿椭圆轨道运行卫星在远地点变轨成绕地球做匀速圆周运动，则需要在变轨处点火加速，可知小于变轨后圆轨道的运行速度；卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力可得 可得 可知，则两卫星在图示位置的速度，故C错误； D．地球的第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度，根据可知，高分十一号05卫星的线速度小于地球的第一宇宙速度，故D错误。 故选B。 考向2 卫星的变轨与对接 例2 （2025·广东深圳·一模）在系列科幻电影《流浪地球》中，由于太阳寿命将尽，人类计划建造“行星发动机”将地球推离太阳系。太阳系中行星的公转运动可视为匀速圆周运动。如图所示，现计划使用行星发动机进行两次变轨，经过椭圆转移轨道，以最短时间将地球转移到木星轨道上，已知木星公转周期为K年，则（　　） A．从地球轨道进入转移轨道，行星发动机需要加速 B．地球在转移轨道上运行时，速度不断增大 C．地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变 D．地球在转移轨道上运行的时间为年 【答案】AC 【详解】A．从地球轨道进入转移轨道，做离心运动，行星发动机需要加速，故A正确； B．地球在转移轨道上向远日点运动中，速度不断减小，故B错误； C．根据可知，地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变，故C正确； D．设地球轨道半径为r，木星轨道半径为R，满足 解得 轨道的半长轴为两轨道半径的平均值 地球在转移轨道上运行的周期为T，则 解得年 地球在转移轨道上运行的时间为 故D错误。 故选AC。 【变式训练1】（2025·湖北·三模）中国首次火星探测任务工程总设计师表示，我国将在2028年实施“天问三号”火星探测与取样返回任务。“天问三号”探测器从地球发射后第一次变轨进入地火转移轨道，逐渐远离地球，成为一颗人造行星，运行轨迹简化如图所示，Ⅰ是地球运行圆轨道，Ⅱ是地火转移椭圆轨道，Ⅲ是火星运行圆轨道，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ与轨道Ⅲ相切于Q点。已知火星密度为地球密度的火星自身半径为地球自身半径的，地球表面重力加速度大小为g，则（　　） A．P点处，“天问三号”在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅱ上的加速度 B．Q点处，“天问三号”在轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要向前喷气 C．“天问三号”在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的全过程中，在轨道Ⅱ上P点处运行速度最大 D．火星表面的重力加速度大小约为 【答案】C 【详解】A.  根据 可知 在点处，“天问三号”在轨道I上的加速度等于轨道II上的加速度，故A错误； B.“天问三号”在轨道II上的点做近心运动，需加速才能进入轨道III做圆周运动，需要向后喷气，故B错误； C.根据开普勒第二定律可知，在近日点的速度大于远日点的速度，可知“天问三号”在轨道II上点速度小于点速度，“天问三号”在轨道I上的点做圆周运动，需加速才能进入轨道II做离心运动，可知“天问三号”在轨道I上点速度小于在轨道II上点速度，“天问三号”在轨道I和轨道III上均绕太阳做圆周运动，其线速度满足 轨道III半径大，故“天问三号”在轨道III上运行速度小于在轨道I上运行速度，综上，“天问三号”在轨道II上点处运行速度最大； D．天体表面的重力加速度 又 代入得 因此 选项D错误； 故选C。 【变式训练2·变考法】（2025·海南海口·模拟预测）2024年6月25日，经过53天的太空漫游，“嫦娥六号”返回器顺利着陆，并给地球带回了一份珍贵的“礼物”——来自月背的月球样品，这也是人类首次实现月背采样及返回。如图为“嫦娥六号”返回轨迹示意图，忽略“嫦娥六号”在轨道转移过程中的质量变化。下列说法中正确的是（　　） A．“嫦娥六号”从月球取回的“礼物”到达地球后重力变小 B．“嫦娥六号”的发射速度大于第三宇宙速度 C．“嫦娥六号”在近月轨道a的运行周期小于在轨道b的运行周期 D．“嫦娥六号”在近月轨道a上经过Q点时的动能大于在轨道b上经过Q点时的动能 【答案】C 【详解】A．同一物体在月球上受到的重力大约是地球上重力的六分之一，“快递”到达地球后重力变大，故A错误； B．“嫦娥六号”的运动仍在地球引力范围内，所以“嫦娥六号”的发射速度应大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，故B错误； C．因近月轨道a的半径小于椭圆轨道b的半长轴，根据开普勒第三定律可得“嫦娥六号”在近月轨道a的运行周期小于在椭圆轨道b的运行周期，故C正确； D．“嫦娥六号”在椭圆轨道b上的Q点点火减速，使万有引力大于向心力做近心运动，进入近月轨道a，则“嫦娥六号”在近月轨道a上经过Q点时的动能小于在轨道b上经过Q点时的动能，故D错误。 故选C。 【变式训练3】（2025·北京丰台·一模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与跬地表约400km 的空间站顺利完成径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m 的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止；随后逐步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度 B．飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力 C．相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小 D．相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加 【答案】D 【详解】A．径向交会对接是指飞船沿与空间站运动方向垂直的方向和空间站完成对接。飞船维持在“停泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方200米的轨迹半径较小，根据可知，它的运动速度小于空间站运动速度，故A错误； B．飞船维持在“停泊点”的状态时，以空间站为研究对象，根据万有引力提供向心力有 飞船维持在“停泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方，轨迹半径较小，分析可知 需要开动发动机给飞船提供一个背离地心的推力使飞船能与空间站保持相对静止，故B错误； C．对接稳定后空间站的轨道半径不变，质量增大，根据万有引力提供向心力有 解得 对接稳定后空间站速度与质量无关，保持不变，故C错误； D．对接稳定过程中，外力对飞船做正功，相比于“停泊点”，飞船的机械能增加，故D正确； 故选D。 考向3 环绕天体间的追及相遇问题 例3 （2025·湖南娄底·一模）．2023年8月27日发生土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，土星约29.5年绕太阳一周。则（    ） A．土星的运行速度比地球的运行速度大 B．根据题目中的数据可知土星表面重力加速度的数值比地球表面的大 C．下一次出现土星冲日现象是在2024年 D．在相同时间内，土星—太阳中心连线扫过的面积与地球—太阳中心连线扫过的面积相等 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力有解得土星的公转半径较大，所以土星的运行速度比地球的运行速度小，故A错误； B．根据星球表面万有引力与重力的关系有解得题中土星和地球的质量、半径均未知，无法分析重力加速度，故B错误； C．设每隔时间出现一次土星冲日现象，则有：解得≈1.04年下一次出现土星冲日现象是在2024年，故C正确； D．根据开普勒第二定律可知，同一个行星在相同的时间内和太阳中心连线扫过的面积相等，故D错误； 故选C。 【变式训练1】（2025·河南·三模）2025年2月28日，太阳系的七大行星上演“七星连珠”的天文现象。已知太阳系的八大行星基本运行在同一平面上，地球绕太阳运行的公转轨道半径是火星公转轨道半径的倍，则火星与地球相邻两次相距最近大约需要（　　） A．1．2年 B．1.8年 C．2.2年 D．3.7年 【答案】C 【详解】根据开普勒第三定律可得 解得 设经过t时间火星与地球相距最近，则有 整理可得 故选C。 考点二 随绕模型 知识点1 三种典型随绕模型的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 线速度 由G＝m得v＝，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得a2>a3 a1>a2>a3 考向1 随绕模型 例1 .（2025·广东深圳·一模）如图所示，a为静止在赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。以地心为参考系，关于它们的向心加速度，线速度，下列描述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．由题意，根据 得 由于，可知 根据，， 可得 所以 故AB错误； CD．由题意，根据 得 由于，可知 根据，， 可得 所以 故C错误，D正确。 故选D。 解题技巧 近地卫星、静止卫星与地球赤道上物体的比较 项目 近地卫星 静止卫星 地球赤道上物体 图示 　　 项目 近地卫星 静止卫星 地球赤道上物体 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r静＞r物＝r近 角速度 ω近＞ω静＝ω物 线速度 v近＞v静＞v物 向心加速度 a近＞a静＞a物 【变式训练1】如图，物块P位于纬度为的地球表面上，与地球保持相对静止，人造地球卫星Q、R均做匀速圆周运动，卫星R为地球静止卫星。若某时刻P、Q、R与地心O在同一平面内，其中O、P、Q在一条直线上，且，下列说法正确的是（　　） A．Q、P的周期之比为 B．Q、R的线速度之比为 C．物块P的角速度大于卫星Q的角速度 D．物块P的向心加速度大于卫星Q的向心加速度 【答案】A 【详解】A．由 得 则、的周期之比为 又因卫星为地球静止卫星，所以，则，A正确； B．由 得， 则、的线速度之比为，B错误； C．由 得 由，则，又，则，C错误； D．由，，，故 由 得 由，有，故，D错误。 故选A。 【变式训练2】（2025·江西·模拟预测）图为科幻电影中的太空电梯示意图，超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步旋转，超级缆绳对固定基地的作用力可以忽略。为太空电梯，电梯可通过超级缆绳自由穿梭于同步空间站与配重空间站之间，已知同步空间站比地球同步卫星的轨道低，配重空间站比地球同步卫星的轨道高，忽略空间站的自转，下列说法正确的是（　　） A．航天员站在配重空间站内看到地球在下方 B．航天员站在同步空间站内看到地球在上方 C．航天员在配重空间站向外自由释放一物块，物块将做离心运动 D．航天员在同步空间站向外自由释放一物块，物块将相对空间站静止 【答案】C 【详解】A．在同步轨道时，万有引力刚好提供向心力，由于配重空间站比地球同步卫星的轨道高，因此航天员站在配重空间站时受到配重空间站指向地球的支持力作用，航天员站在配重空间站内看到地球在上方，故A错误； B．同步空间站比地球同步卫星的轨道低，所以航天员站在同步空间站时受到同步空间站指向配重空间站的支持力作用，航天员站在同步空间站内看到地球在下方，故B错误； C．物块在配重空间站内受到指向地球的支持力作用，万有引力加上支持力提供向心力，在配重空间站向外自由释放一物块，所受的万有引力将小于向心力，物块将做离心运动，故C正确； D．物块在同步空间站内受到向外的支持力作用，万有引力减去支持力提供向心力，将物体移到同步空间站向外自由释放时，所受的万有引力会大于向心力，则物块将做近心运动，故D错误。 故选C。 考点三 互绕模型 知识点1 .双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ωr2。 ②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 知识点2.多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 考向1 双星模型 例1 .（2025·湖南省邵阳市高三下学期第二次联考）依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB—1。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕两者连线的某点做圆周运动，黑洞的质量约为，恒星距黑洞的距离约为，恒星做圆周运动的周期约为，为太阳的质量、为日地距离，为地球绕太阳的运动周期。由此估算该恒星的质量约为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对黑洞进行分析，由万有引力提供圆周运动的向心力，则有 对恒星进行分析，由万有引力提供圆周运动的向心力，则有 其中 对地球进行分析，由万有引力提供圆周运动的向心力，则有 解得 故选C。 【变式训练1】（2025·天津南开·一模）“二月二，龙抬头”是中国民间传统节日。每岁仲轿卯月之初、“龙角虽”犹从东方地平线上升起，故称“龙抬头”。0点后朝东北方天空看去，有两颗究见“角宿一”和“角宿二”，就是龙角星。该龙角星可视为双星系统，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。若“角宿一”的质量为m1、“角宿二”的质量为m2，它们中心之间的距离为L，公转周期为T，万有引力常量G。忽略自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．“角宿一”的轨道半径为 B．“角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为m1：m2 C．“角宿一”和“角宿二”的线速度之比为m1：m2 D．“角宿一”和“角宿二”做圆周运动的向心力之比为m1：m2 【答案】A 【详解】ABD．双星系统，角速度、周期相同，且彼此间的引力提供其向心力，则有 因为 联立解得“角宿一”的轨道半径 “角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为 “角宿一”和“角宿二”做圆周运动的向心力之比为 故A正确，BD错误； 联立解得 C．根据以上分析可有 根据线速度 联立以上,解得“角宿一”和“角宿二”的线速度之比为 故C错误。 故选A。 考向2 三星和四星模型 例2 （.2025·内蒙古包头·二模）在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能在运动中接近并捕获另外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的系统，星体B、C的质量均为，星体A的质量是星体B的4倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由儿何关系知 设B、A间的距离为，则 A所受的合力 联立可得 由几何对称性可知星体B、C受力大小相等，根据牛顿第三定律 又 设星体B所受的合力为，正交分解，有， 则 则 故选A。 【变式训练1】（ 2025湖南省邵阳市高三一模）开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测记录，发现了行星运动规律。通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动，则开普勒第三定律中常量（R为行星轨道半径，T为运行周期）。如图所示，三个质量均为m的天体相距为L成一直线排列，在万有引力作用下构成一稳定的星系。该星系中有类似于开普勒第三定律中常量。已知引力常量为G，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设中心天体的质量为M，万有引力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得 解得 在三星体系中，同理可得 解得 故选A。 【变式训练2】（据中国新闻网报道，2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。已知宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一个质量相等的小星围绕母星做圆周运动，如图所示。如果两颗小星间的万有引力大小为F，母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，则下列说法中正确的是（　　） A．母星受到的合力大小为（）F B．每颗小星受到的合力大小为（）F C．母星的质量是每颗小星质量的倍 D．母星的质量是每颗小星质量的2倍 【答案】D 【详解】A．母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，母星受到的三个力大小相等，夹角均为120°，故根据合成可知，母星受到的合力为零，故A错误； B．根据受力分析可知，每颗小星受到其余两颗小星和一颗母星的引力，其合力指向母星以提供向心力，即每颗小星受到的万有引力为 故B错误； CD．假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，等边三角形的边长为a，则小星绕母星运动轨道半径为 根据万有引力定律，两颗小星间的万有引力为 母星与任意一颗小星间的万有引力为 解得母星的质量是每颗小星质量的2倍。故D正确C错误。 故选D。 1.（2025·云南·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设卫星转动的周期为，根据题意可得 可得 根据万有引力提供向心力 可得 代入 可得 故选A。 2.（2025·海南·高考真题）载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是（　　） A. 火箭加速升空失重 B. 宇航员在空间站受到的万有引力小于在地表受到万有引力 C. 空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度 D. 空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度 【答案】B 【解析】 【详解】A．火箭加速升空过程，加速度方向竖直向上，则处于超重状态，故A错误； B．根据，宇航员与地球的质量不变，宇航员在空间站离地心更远，则受到的万有引力小于在地表受到万有引力，故B正确； C．根据可得，可知空间站绕地球做匀速圆周运动角速度大于同步卫星的角速度，即大于地球自转角速度，故C错误； D．根据可得，可知空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度大于地球同步卫星的加速度，故D错误。 故选B 。 3.（2025·湖北·高考真题）2. 甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是（ ） A. ．甲运动的周期比乙的小 B. 甲运动的线速度比乙的小 C. 甲运动的角速度比乙的小 D. 甲运动的向心加速度比乙的小 【答案】A 【解析】 【详解】根据卫星做圆周运动的向心力等于万有引力可知 可得，，， 因，可知卫星甲、乙运动的周期 线速度关系 角速度关系 向心加速度关系 故选A。 4.（2025·甘肃·高考真题） 如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 若，小星球做匀速圆周运动 B. 若，小星球做抛物线运动 C. 若，小星球做椭圆运动 D. 若，小星球可能与恒星相撞 【答案】A 【解析】 【详解】A．根据题意，由万有引力提供向心力有 解得 可知，若，小星球做匀速圆周运动，故A正确； B．结合A分析可知，若，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误； C．若，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误； D．若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。 故选A。 5.（2025·河南·高考真题）3. 2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese122b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese122b绕其母恒星的运动周期约为（　　） A. 13天 B. 27天 C. 64天 D. 128天 【答案】A 【解析】 【详解】地球绕太阳运行的周期约为365天，根据万有引力提供向心力得 已知，，同理得 整理得 带入数据得 故选A。 故选BC。 6．（2025·湖南·高考真题）4. 我国研制“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到。下列选项正确的是（　　） A. a为为为 B. a为为为 C. a为为为 D. a为为为 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 设小行星和卫星的质量分别为 由开普勒第三定律有 解得 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 对应结果可得a为为。 故选A。 7．（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R，小行星乙的近日点到太阳的距离为R，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比= 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误； B．根据 小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误； C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比 故C错误； D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比 ≈ 故D正确。 故选D。 8．（2024·湖北·高考真题）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 【答案】A 【详解】A．在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确； B．因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误； C．变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误； D．由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。 故选A。 9．（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 【答案】B 【详解】A．冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得 整理得 A错误； B．根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确； C．近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误； D．两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 故选B。 10．（2024·江西·高考真题）两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，半径分别为、，则动能和周期的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，则月球对卫星的万有引力提供向心力，设月球的质量为M，卫星的质量为m，则半径为r1的卫星有 半径为r2的卫星有 再根据动能，可得两卫星动能和周期的比值分别为 ， 故选A。 11．（多选）（2024·河北·高考真题）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（   ） A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s 【答案】BD 【详解】A．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故A错误； B．鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有 同理在B点有 带入题中数据联立解得 aA：aB = 81：1 故B正确； C．由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误； D．由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D正确。 故选BD。 12.（多选）（2024·湖南·高考真题）2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。己知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（　　） A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 【答案】BD 【详解】AB．返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有 其中在月球表面万有引力和重力的关系有 联立解得 由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，同理可得 代入题中数据可得 故A错误、B正确； CD．根据线速度和周期的关系有 根据以上分析可得 故C错误、D正确； 故选BD。 13．（多选）（2024·福建·高考真题）巡天号距地表，哈勃号距地表，问（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】根据万有引力提供向心力可得 可得 ，，， 由于巡天号的轨道半径小于哈勃号的轨道半径，则有 ，，， 故选CD。 14.（2023·广东·高考真题）如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是（    ）    A．周期为 B．半径为 C．角速度的大小为 D．加速度的大小为 【答案】B 【详解】A．由图（b）可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为 则P的公转周期为，故A错误； B．P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得 解得半径为 故B正确； C．P的角速度为 故C错误； D．P的加速度大小为 故D错误。 故选B。 15．（2023·江苏·高考真题）设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．该卫星与月球相比，一定相等的是（    ） A．质量 B．向心力大小 C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小 【答案】C 【详解】根据 可得 因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不相同。 故选C。 16．（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表： 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 则相邻两次“冲日”时间间隔约为（　　） A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天 【答案】B 【详解】根据开普勒第三定律有 解得 设相邻两次“冲日”时间间隔为，则 解得 由表格中的数据可得 故选B。 17．（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（   ）[可能用到的近似] A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．设太阳和地球绕O点做圆周运动的半径分别为、，则有 r1＋r2 = R 联立解得 故A错误、故B正确； CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有 再根据选项AB分析可知 Mr1 = mr2，r1＋r2 = R， 联立解得 故C错误、故D正确。 故选BD。 18．（2023·重庆·高考真题）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T的，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方。地球的质量为M，半径为R，引力常量为G。则（　　）    A．卫星距地面的高度为 B．卫星与位于P点处物体的向心加速度大小比值为 C．从时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为 D．每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多 【答案】BCD 【详解】A．由题意，知卫星绕地球运转的周期为 设卫星的质量为，卫星距地面的高度为，有 联立，可求得 故A错误； B．卫星的向心加速度大小 位于P点处物体的向心加速度大小 可得 故B正确； C．从时刻到下一次卫星经过P点正上方时，设卫星转了m圈、P点转了n圈（m、n为正整数），则有 可得 ， 则卫星转过的角度为 故C正确； D．卫星距P点最近或最远时，一定都在赤道正上方。每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远，需分两种情况讨论，第一种情况：卫星转了x圈再加半圈、P点转了y圈（x、y为正整数），则有 x、y无解，所以这种情况不可能；第二种情况：卫星转了x圈、P点转了y圈再加半圈，则有 可得 ， 则卫星绕地心转过的角度与地球转过的角度差为 故D正确。 故选BCD。 19．（2023·海南·高考真题）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是（    ）    A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B．飞船在1轨道周期大于2轨道周期 C．飞船在1轨道速度大于2轨道 D．飞船在1轨道加速度大于2轨道 【答案】ACD 【详解】A．飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要进行加速做离心运动才能完成，选项A正确； BCD．根据 可得 可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道1的加速度大于在轨道2的加速度，故选项B错误，CD正确。 故选ACD。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 天体运动中的三大模型 目录 01考情解码·命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 考点一 环绕模型 3 知识点1．宇宙速度 3 知识点2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律地球静止轨道卫星的6个“一定” 3 知识点3．地球静止轨道卫星的6个“一定” 3 知识点4卫星的变轨和对接问题 4 知识点5天体中的追及相遇问题 4 考向1. 第一宇宙速度及卫星在圆形轨道上稳定运动 5 考向2.卫星变轨与对接 6 考向3 环绕天体间的追及相遇问题 7 考点二 9 知识点1 随绕模型的比较 9 考向1 随绕模型 10 考点三 互绕模型 知识点1.双星模型 12 知识点2.多星模型 12 考向1．双星模型 13 考向2．三星和四星模型 14 04真题溯源·考向感知 17 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 环绕模型 选择题 非选择题 湖南卷T4，4分 河南T3，4分 甘肃T2，4分 海南T4，4分 湖北T2，4分 2024·湖南卷·T7，4分 2024·福建卷·T5，4分2024·河北卷·T8，4分 2023·湖南卷·T4，4分 2023·广东卷·T7，4分2023·江苏卷·T4，3分 随绕模型 选择题 非选择题 云南T4，4分 浙江卷6月卷T8，3分 互绕模型 选择题 非选择题 2024·重庆卷·T7 ，4分 2023·福建卷·T6，4分 考情分析： 1.命题形式：单选题非选择题 2.命题分析：高考对这不内容的考查比较频繁，多以选择题的形式出现，题目的背景材料多为我国在航天领域取得的成就，比如神州飞船、天宫轨道舱等 3.备考建议：（1）掌握不同轨道卫星加速度、线速度等参量的求解。 （2）掌握同步卫星的特点，并能够比较近地卫星、同步卫星和赤道上物体运动。 （3）重点关注与我国航空航天成就有关的卫星运动问题。 本讲内容备考时候，注意概念的理解和易混概念的区别，多关注时事热点和实际生活情境，把问题放到真实情境中去理解。 4.命题情境： 题目通常会结合我国航天成就等实际情境，如 “嫦娥六号” 探测器进入地月转移轨道、“夸父一号” 卫星绕地球运动等。这样既考查学生对知识的掌握程度，又体现物理学科与实际生活的联系 5.常用方法：比值定义法、极限法 复习目标： 目标1.会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。 目标2.掌握双星或多星模型的特点。 目标3.会分析卫星的追及与相遇问题。 考点一 环绕模型 知识点1 宇宙速度 1.第个宇宙速度 （1）定义：第一宇宙速度是在地面附近发射飞行器，使飞行器成为绕地球运动的人造地球卫星的最小　 　速度，也是飞行器环绕地球运动的最大　 　速度。 （2）大小：地球第一宇宙速度大小为 　 km/s。 （3）第一宇宙速度的计算方法 方法1 由G＝m，解得v＝ 　； 方法2 由mg＝m，解得v＝　。 2.第二宇宙速度 　　 发射飞行器，使飞行器挣脱　 引力束缚，永远离开地球的最小发射速度，其数值为 　 km/s。 3.第三宇宙速度 在地面附近发射飞行器，使飞行器挣脱　 引力束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其数值为　 　 km/s。 知识点2 卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 知识点3．地球静止轨道卫星的6个“一定” 轨道面一定 轨道平面与赤道平面共面 周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 由G＝m(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝ －R≈6R(恒量) 速率一定 运行速率v＝ 绕行方向一定 与地球自转的方向一致 知识点4卫星的变轨和对接问题 1.变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，即万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2.对接 航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。 3.变轨过程各物理量比较 速度关系 在A点加速：vⅡA＞vⅠ，在B点加速：vⅢ＞vⅡB，即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB (向心)加速度关系 aⅢ＝aⅡB aⅡA＝aⅠ 周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ 机械能 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ 知识点5天体中的追及相遇问题 1.相距最近： 天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(如图)，此时刻行星与地球相距最近。 从初始时刻到之后再次“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有以下两种解决方法。 (1)角度关系 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…) (2)圈数关系 －＝n(n＝1，2，3，…) 解得t＝(n＝1，2，3，…) 2.相距最远：行星处在地球和太阳连线的延长线上(如图)，三者共线，运转方向相同，有关系式 ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)或－＝(n＝1，2，3，…)。 考向1 第一宇宙速度及卫星在圆形轨道上稳定运动 例1 （2025·湖南岳阳·三模）在太阳光照射下，卫星太阳能板将光能转化为的电能为卫星设备提供能源。一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星与地心的距离为地球半径的倍，卫星圆形轨道平面与地球赤道平面重合，卫星的运行周期为T。下列判断正确的是（　　） A．卫星的运行周期T约为近地卫星运行周期的2倍 B．卫星的运行速度约为第一宇宙速度的倍 C．卫星运行轨道上各点的重力加速度为地球表面的倍 D．卫星运行一周，太阳能收集板转化电能的时间约为 。 思维建模 1.分析人造卫星的运动规律的两条思路 （1）万有引力提供向心力，即G＝man。 （2）天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM（R、g分别是天体的半径、表面重力加速度），公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 2.地球卫星的运行参量（将卫星轨道视为圆） 物理量 推导依据 表达式 最大值 或最小值 线速度 G＝m v＝ 当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s 角速度 G＝mω2r ω＝ 当r＝R时有最大值 周期 G＝mr T＝2π 当r＝R时有最小值，约85 min 向心 加速度 G＝man an＝ 当r＝R时有最大值，最大值为g 轨道 平面 圆周运动的圆心与中心天体的中心重合 【变式训练1·变载体】（2025·江西萍乡·三模）如图，北斗系统主要由离地面高度为（为地球半径）的同步卫星和离地面高度为的中轨道卫星组成，两轨道均看作圆轨道，忽略地球自转。下列说法正确的是（　　） A．中轨道卫星与同步卫星的运行动能之比为 B．中轨道卫星与同步卫星的向心加速度大小之比为 C．中轨道卫星与同步卫星的线速度大小之比为 D．中轨道卫星与同步卫星的运行周期之比为 。 （【变式训练2】（2025·天津南开·二模）2024年7月19日，我国成功发射高分十一号05卫星。如图所示，高分十一号05卫星和另一颗卫星a分别沿圆轨道和椭圆轨道绕地球运行，圆轨道半径为R，椭圆轨道的近地点和远地点间的距离为2R，两轨道位于同一平面内，且A点为两轨道的一个交点，某时刻两卫星和地球在同一条直线上，线速度方向如图所示。只考虑地球对卫星的引力，下列说法正确的是（　　） A．高分十一号05卫星和卫星a分别运动到A点时的加速度不同 B．两卫星绕地球运行的周期相等 C．图示位置时，两卫星的线速度大小关系为 D．高分十一号05卫星的线速度大于地球的第一宇宙速度 考向2 卫星的变轨与对接 例2 （2025·广东深圳·一模）在系列科幻电影《流浪地球》中，由于太阳寿命将尽，人类计划建造“行星发动机”将地球推离太阳系。太阳系中行星的公转运动可视为匀速圆周运动。如图所示，现计划使用行星发动机进行两次变轨，经过椭圆转移轨道，以最短时间将地球转移到木星轨道上，已知木星公转周期为K年，则（　　） A．从地球轨道进入转移轨道，行星发动机需要加速 B．地球在转移轨道上运行时，速度不断增大 C．地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变 D．地球在转移轨道上运行的时间为年 【变式训练1】（2025·湖北·三模）中国首次火星探测任务工程总设计师表示，我国将在2028年实施“天问三号”火星探测与取样返回任务。“天问三号”探测器从地球发射后第一次变轨进入地火转移轨道，逐渐远离地球，成为一颗人造行星，运行轨迹简化如图所示，Ⅰ是地球运行圆轨道，Ⅱ是地火转移椭圆轨道，Ⅲ是火星运行圆轨道，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ与轨道Ⅲ相切于Q点。已知火星密度为地球密度的火星自身半径为地球自身半径的，地球表面重力加速度大小为g，则（　　） A．P点处，“天问三号”在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅱ上的加速度 B．Q点处，“天问三号”在轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要向前喷气 C．“天问三号”在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的全过程中，在轨道Ⅱ上P点处运行速度最大 D．火星表面的重力加速度大小约为 【变式训练2·变考法】（2025·海南海口·模拟预测）2024年6月25日，经过53天的太空漫游，“嫦娥六号”返回器顺利着陆，并给地球带回了一份珍贵的“礼物”——来自月背的月球样品，这也是人类首次实现月背采样及返回。如图为“嫦娥六号”返回轨迹示意图，忽略“嫦娥六号”在轨道转移过程中的质量变化。下列说法中正确的是（　　） A．“嫦娥六号”从月球取回的“礼物”到达地球后重力变小 B．“嫦娥六号”的发射速度大于第三宇宙速度 C．“嫦娥六号”在近月轨道a的运行周期小于在轨道b的运行周期 D．“嫦娥六号”在近月轨道a上经过Q点时的动能大于在轨道b上经过Q点时的动能 【变式训练3】（2025·北京丰台·一模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与跬地表约400km 的空间站顺利完成径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m 的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止；随后逐步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度 B．飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力 C．相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小 D．相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加 考向3 环绕天体间的追及相遇问题 例3 （2025·湖南娄底·一模）．2023年8月27日发生土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，土星约29.5年绕太阳一周。则（    ） A．土星的运行速度比地球的运行速度大 B．根据题目中的数据可知土星表面重力加速度的数值比地球表面的大 C．下一次出现土星冲日现象是在2024年 D．在相同时间内，土星—太阳中心连线扫过的面积与地球—太阳中心连线扫过的面积相等 【变式训练1】（2025·河南·三模）2025年2月28日，太阳系的七大行星上演“七星连珠”的天文现象。已知太阳系的八大行星基本运行在同一平面上，地球绕太阳运行的公转轨道半径是火星公转轨道半径的倍，则火星与地球相邻两次相距最近大约需要（　　） A．1．2年 B．1.8年 C．2.2年 D．3.7年 考点二 随绕模型 知识点1 三种典型随绕模型的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 线速度 由G＝m得v＝，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得a2>a3 a1>a2>a3 考向1 随绕模型 例1 .（2025·广东深圳·一模）如图所示，a为静止在赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。以地心为参考系，关于它们的向心加速度，线速度，下列描述正确的是（　　） A． B． C． D． 解题技巧 近地卫星、静止卫星与地球赤道上物体的比较 项目 近地卫星 静止卫星 地球赤道上物体 图示 　　 项目 近地卫星 静止卫星 地球赤道上物体 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r静＞r物＝r近 角速度 ω近＞ω静＝ω物 线速度 v近＞v静＞v物 向心加速度 a近＞a静＞a物 【变式训练1】如图，物块P位于纬度为的地球表面上，与地球保持相对静止，人造地球卫星Q、R均做匀速圆周运动，卫星R为地球静止卫星。若某时刻P、Q、R与地心O在同一平面内，其中O、P、Q在一条直线上，且，下列说法正确的是（　　） A．Q、P的周期之比为 B．Q、R的线速度之比为 C．物块P的角速度大于卫星Q的角速度 D．物块P的向心加速度大于卫星Q的向心加速度 【变式训练2】（2025·江西·模拟预测）图为科幻电影中的太空电梯示意图，超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步旋转，超级缆绳对固定基地的作用力可以忽略。为太空电梯，电梯可通过超级缆绳自由穿梭于同步空间站与配重空间站之间，已知同步空间站比地球同步卫星的轨道低，配重空间站比地球同步卫星的轨道高，忽略空间站的自转，下列说法正确的是（　　） A．航天员站在配重空间站内看到地球在下方 B．航天员站在同步空间站内看到地球在上方 C．航天员在配重空间站向外自由释放一物块，物块将做离心运动 D．航天员在同步空间站向外自由释放一物块，物块将相对空间站静止 考点三 互绕模型 知识点1 .双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ωr2。 ②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 知识点2.多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 考向1 双星模型 例1 .（2025·湖南省邵阳市高三下学期第二次联考）依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB—1。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕两者连线的某点做圆周运动，黑洞的质量约为，恒星距黑洞的距离约为，恒星做圆周运动的周期约为，为太阳的质量、为日地距离，为地球绕太阳的运动周期。由此估算该恒星的质量约为（　　） A. B. C. D. 【变式训练1】（2025·天津南开·一模）“二月二，龙抬头”是中国民间传统节日。每岁仲轿卯月之初、“龙角虽”犹从东方地平线上升起，故称“龙抬头”。0点后朝东北方天空看去，有两颗究见“角宿一”和“角宿二”，就是龙角星。该龙角星可视为双星系统，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。若“角宿一”的质量为m1、“角宿二”的质量为m2，它们中心之间的距离为L，公转周期为T，万有引力常量G。忽略自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．“角宿一”的轨道半径为 B．“角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为m1：m2 C．“角宿一”和“角宿二”的线速度之比为m1：m2 D．“角宿一”和“角宿二”做圆周运动的向心力之比为m1：m2 考向2 三星和四星模型 例2 （.2025·内蒙古包头·二模）在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能在运动中接近并捕获另外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的系统，星体B、C的质量均为，星体A的质量是星体B的4倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心加速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（ 2025湖南省邵阳市高三一模）开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测记录，发现了行星运动规律。通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动，则开普勒第三定律中常量（R为行星轨道半径，T为运行周期）。如图所示，三个质量均为m的天体相距为L成一直线排列，在万有引力作用下构成一稳定的星系。该星系中有类似于开普勒第三定律中常量。已知引力常量为G，则的值为（　　） A. B. C. D. 【变式训练2】（据中国新闻网报道，2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。已知宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一个质量相等的小星围绕母星做圆周运动，如图所示。如果两颗小星间的万有引力大小为F，母星与任意一颗小星间的万有引力大小为6F，则下列说法中正确的是（　　） A．母星受到的合力大小为（）F B．每颗小星受到的合力大小为（）F C．母星的质量是每颗小星质量的倍 D．母星的质量是每颗小星质量的2倍 1.（2025·云南·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（ ） A. B. C. D. 2.（2025·海南·高考真题）载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是（　　） A. 火箭加速升空失重 B. 宇航员在空间站受到的万有引力小于在地表受到万有引力 C. 空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度 D. 空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度 3.（2025·湖北·高考真题）2. 甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是（ ） A. ．甲运动的周期比乙的小 B. 甲运动的线速度比乙的小 C. 甲运动的角速度比乙的小 D. 甲运动的向心加速度比乙的小 4.（2025·甘肃·高考真题） 如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 若，小星球做匀速圆周运动 B. 若，小星球做抛物线运动 C. 若，小星球做椭圆运动 D. 若，小星球可能与恒星相撞 5.（2025·河南·高考真题）3. 2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese122b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese122b绕其母恒星的运动周期约为（　　） A. 13天 B. 27天 C. 64天 D. 128天 6．（2025·湖南·高考真题）4. 我国研制“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到。下列选项正确的是（　　） A. a为为为 B. a为为为 C. a为为为 D. a为为为 7．（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R，小行星乙的近日点到太阳的距离为R，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比= 8．（2024·湖北·高考真题）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 9．（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 。 10．（2024·江西·高考真题）两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，半径分别为、，则动能和周期的比值为（   ） A． B． C． D． 11．（多选）（2024·河北·高考真题）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（   ） A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s 12.（多选）（2024·湖南·高考真题）2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。己知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（　　） A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 13．（多选）（2024·福建·高考真题）巡天号距地表，哈勃号距地表，问（　　） A． B． C． D． 14.（2023·广东·高考真题）如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是（    ）    A．周期为 B．半径为 C．角速度的大小为 D．加速度的大小为 15．（2023·江苏·高考真题）设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．该卫星与月球相比，一定相等的是（    ） A．质量 B．向心力大小 C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小 16．（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表： 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 则相邻两次“冲日”时间间隔约为（　　） A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天 17．（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（   ）[可能用到的近似] A． B． C． D． 18．（2023·重庆·高考真题）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T的，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方。地球的质量为M，半径为R，引力常量为G。则（　　）    A．卫星距地面的高度为 B．卫星与位于P点处物体的向心加速度大小比值为 C．从时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为 D．每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多 19．（2023·海南·高考真题）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是（    ）    A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B．飞船在1轨道周期大于2轨道周期 C．飞船在1轨道速度大于2轨道 D．飞船在1轨道加速度大于2轨道 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$