精品解析：四川省资阳市安岳中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

安岳中学高2023级第二期入学考试 数 学 试 题 考试时间：120分钟；满分150分； 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 已知集合或，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”成立的一个（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若在 上是增函数，则的取值范围是 A. {2} B. C. D. 4. 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后把图象沿轴向右平移个单位，则所得函数表达式为（ ） A B. C. D. 5. 函数的零点之和为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 6. 函数（）的大致图象为（ ） A B. C. D. 7. 若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知函数，函数与的图象恰有三个不同的交点，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共计20分） 9. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 不等式的解集或 B. 一扇形的圆心角，半径，则该扇形的周长为 C. 命题，，则， D. 已知幂函数的图象经过点，那么 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12. 定义在R上函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，f(x+2)=f(-x)且f(x)在[-1，0]上是增函数，给出下列几个命题，其中正确命题的序号是（ ） A. f(x)是奇函数 B. f(x)的图象关于x=1对称 C. 4是f(x)的一个周期 D. f(x)在[1，2]上是增函数 三、填空题（每小题5分，共计20分） 13. 已知函数，则______. 14. 若α∈(0，)，sin 2α=，则sin(α+)＝____. 15. 已知，，则__________. 16. 给出下列四个结论： ①命题“，”的否定是“，”； ②已知，且，则； ③若，且，则； ④函数的最小值为2. 其中正确结论序号为_________________. 四、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 已知集合 （1）若，求实数的值； （2）若命题命题且是充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 已知，锐角，，. （1）求的值； （2）求的值. 20. 后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投入成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 21. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的值域； （2）求函数单调增区间． 22. 已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足． （1）求与的解析式； （2）求证：在区间上单调递增； （3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2023级第二期入学考试 数 学 试 题 考试时间：120分钟；满分150分； 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 已知集合或，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：∵集合或，， ∴． 故选：A． 2. “”是“”成立的一个（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由命题，可得，不等式恒成立， 又由当时，可得，所以， 所以“”是“”成立的一个充分不必要条件. 故选：A. 3. 若在 上是增函数，则的取值范围是 A. {2} B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的性质求出函数的单调增区间，使是其单调增区间的子集，建立不等关系，解之即可． 【详解】函数是开口向下的二次函数 ∴函数在上单调递增函数 ∵在上是增函数， ∴，解得; 故的取值范围是：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及二次函数的性质的运用，属于基础题． 4. 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后把图象沿轴向右平移个单位，则所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数相位变换及周期变换规则计算可得. 【详解】解：由三角函数变换的原则，的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象， 再把图象沿轴向右平移个单位，可得到的图象， 故选：． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，属于基础题． 5. 函数的零点之和为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数的零点即方程，的根，解方程后再将两根相加即可得解. 【详解】解：令，解得， 令，解得， 则函数的零点之和为， 故选A. 【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题. 6. 函数（）的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由函数的解析式，求解函数函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项；再由时，，排除C，即可得到答案． 详解：由函数，则满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项； 由当时，，排除C，故选A． 点睛：本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中熟记函数的基本性质和特殊点的函数值的计算，采用排除法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 7. 若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 分析】根据给定条件，利用同角公式求出即可求解作答. 【详解】由，，得， 而，即，解得， 因此，所以. 故选：B 8. 已知函数，函数与的图象恰有三个不同的交点，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 化简，与的图象恰有三个不同的交点可转化为有三个解，结合方程的解为，方程的解为，列不等式求得的取值范围，再根据，解得的取值范围. 【详解】, , 方程解为，方程的解为, 与的图象恰有三个不同的交点， 则，解得， 又恒成立，， 故选：C. 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、多选题（每小题5分，共计20分） 9. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正切差角公式可求值验证A项， 利用倍角公式和诱导公式可以判定B项，运用辅助角公式可判定 C项，运用两角和的正切公式可以验证D项. 【详解】对A，， 故A项正确； 对B，，故B项正确； 对C， ， 故C项正确； 对D， ，故D项错误． 故选：ACD． 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 不等式的解集或 B. 一扇形的圆心角，半径，则该扇形的周长为 C. 命题，，则， D. 已知幂函数的图象经过点，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，即可判断A；根据弧长公式，即可判断B；根据全称量词命题的否定形式，即可判断C；将点的坐标代入幂函数的解析式，即可判断D. 【详解】不等式，即， 整理为，解得：， 所以不等式的解集为，故A错误； 扇形的弧长为，所以扇形的周长为，故B正确； 根据全称量词命题的否定形式可知，命题，，则，，故C正确； 由题意可知，，得，故D正确. 故选：BCD 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由基本不等式，将等式转化为关于的不等式，求解即可. 【详解】因为， 对于选项A，， 当且仅当 时等号成立； 得，解得或（舍去） 故，选项A正确； 对于选项B，，当且仅当时等号成立； 得，且，解得， 故，选项B正确； 对于选项C，，且， 得， 结合选项A中正确结果， 得，当且仅当时等号成立； 选项C不正确； 对于选项D，，且， 所以，结合选项B中正确结果，则， 所以，当且仅当时等号成立，选项D正确； 故选：ABD. 12. 定义在R上函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，f(x+2)=f(-x)且f(x)在[-1，0]上是增函数，给出下列几个命题，其中正确命题的序号是（ ） A. f(x)是奇函数 B. f(x)的图象关于x=1对称 C. 4是f(x)的一个周期 D. f(x)在[1，2]上是增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】 利用赋值法可得是奇函数，故A正确；根据f(x+2)=f(-x)以及函数为奇函数可知B C正确；根据奇函数的对称性可知得图象在上是减函数，故D错误. 【详解】由可知，故， 再令可得：， ∴， ∴是奇函数，故A正确； 由可得， 故的图象关于对称，故B正确； 由可得， 故的周期为4，故C正确； ∵在上是增函数，且是奇函数， ∴在上是增函数， 又的图象关于直线对称， ∴得图象在上是减函数，故D错误； 故答案为：ABC. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握函数的奇偶性、周期性、单调性是解题关键. 三、填空题（每小题5分，共计20分） 13. 已知函数，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据函数表达式，先求出，进而可求出结果. 【详解】因为，所以， 故， 故答案为：. 14. 若α∈(0，)，sin 2α=，则sin(α+)＝____. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式及二倍角公式求得，然后结合角范围得结论． 【详解】因为12sin2(α+)=cos(2α+)=sin 2α，所以sin2(α+)=.因为α∈(0，)，所以α+∈()，所以sin(α+)=. 故答案为：． 15. 已知，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数式和对数式化简得到，结合换底公式和指数，对数运算法则得到答案. 【详解】因为，，所以， 故. 故答案为：3 16. 给出下列四个结论： ①命题“，”的否定是“，”； ②已知，且，则； ③若，且，则； ④函数的最小值为2. 其中正确结论序号为_________________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对①根据存在命题的否定即可判断；对②利用奇函数性质即可判断；对③，利用，然后代入计算即可；对④利用换元法结合对勾函数的单调性即可判断. 【详解】对①，根据存在量词的否定为全称量词，再将结论否定，故可判断①正确； 对②，设，则， 易得定义域为R，又， 所以函数为奇函数，又因为，即，可得， 所以，则.故②正确； 对③，，， ，故③正确. 对④，令，则，因为对勾函数在上单调递增， 当时，取得最小值，所以④错误. 故答案为：①②③. 四、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）结合指数运算即可求解；（2）结合对数的运算法则和换底公式即可． 【小问1详解】 原式 ， 【小问2详解】 原式 ． 18. 已知集合 （1）若，求实数的值； （2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) . (2) 或. 【解析】 【详解】分析：（1）分a＞0和a＜0两种情况讨论是否存在满足条件的实数a的值，综合讨论结果，可得答案； （2）若p是q充分不必要条件，则A⊊B，分类讨论，可得满足条件的a的取值范围． 详解：(1) 当时 当时显然故时， ， （2） 当时， 则解得 当时，则 综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是或. 点睛：注意区别：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题” 19. 已知，为锐角，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系求得，再用诱导公式化简即可求解； （2）利用余弦的两角差公式计算即可. 【小问1详解】 因为为锐角， 所以，， . 【小问2详解】 因为，为锐角，所以，， 所以， 所以 . 20. 后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投入成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元 【解析】 【分析】（1）用单株产量乘以水果的市场售价减去肥料的成本、人工投入成本得出该果树的单株利润； （2）利用配方法、基本不等式求出的最大值可得答案． 【小问1详解】 由题可知 ， ； 【小问2详解】 由（1）得 ， 当时，； 当时，； （当且仅当时，即时等号成立） 因为，所以当时，， 所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元. 21. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的值域； （2）求函数单调增区间． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换公式化简得，再根据周期、正弦函数值域求解； （2）求出，由正弦函数单调性求解. 【小问1详解】 函数 ， 由最小正周期为，得，得，得， 因为，所以； 【小问2详解】 函数， 令，， 解得，， 故函数的增区间为，． 22. 已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足． （1）求与的解析式； （2）求证：在区间上单调递增； （3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），． （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题及奇偶函数性质可得，据此可得答案； （2）证明对，且，即可； （3）令，由题可得，将问题化为对于恒成立，据此可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 因为为偶函数，为奇函数，所以， 因为，所以， 所以，． 【小问2详解】 对，且， 因为，，所以. 所以在上单调递增； 【小问3详解】 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 令，， 所以对于恒成立， 所以， 对于恒成立，即， 因为，当且仅时等号成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $