第一章《三角形的证明》暑假单元巩固卷 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学八年级下册 暑假单元巩固卷 第一章 三角形的证明 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（　　） A．4 B． C．4或 D．2 2．如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，过点P作PD⊥OB于点D，若PD＝3，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 4．等腰△ABC的周长为20，其中一边长为9，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．5.5 B．9 C．11 D．5.5或9 5．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（　　） A．MA＝MB，NA＝NB B．MA＝MB，MN⊥AB C．MA＝NA，MB＝NB D．MA＝MB，MN平分AB 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD．若∠C＝70°，则∠ABD＝（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 7．如图，已知在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点E，AC边的垂直平分线l2交BC于点F，l1与l2相交于点D，连接BD，CD．若∠BAC＝120°，且△AEF的周长为，则△BCD的面积为（　　） A．6 B． C．8 D． 8．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 9．如图，在△ABC中，若∠A﹣∠C＝60°，AB＝2，BC＝5，则AC的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 　 　 ． 12．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝　 　 度． 13．如图，△ABC中，BC＝10，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F，则△OEF的周长为 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，AC＝18，AD垂直平分BC交BC于点D，点E在线段AB上，点F在线段AD上，连接BF、EF，若∠BAC＝∠BEF，BF＝6，则△BEF的周长为 　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC和BC上的动点，连接DE、AE、BD．若BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝8，则AE+BD的最小值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．用一条长为25cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果底边长是腰长的一半，求腰长； （2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长． 17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了△ABC． （1）小华看了看说，△ABC是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由； （2）在△ABC中，求AC边上高的长． 18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，AB＝10． （1）求边AC和BC的长； （2）求△ABC的面积． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC． （1）求∠A的度数； （2）若CB＝1，求AB的长． 20．如图，BE、CE分别为△ABC的两个外角平分线，EP⊥AM于P，EQ⊥AN于Q 求证：（1）EP＝EQ； （2）点E在∠NAM的平分线上． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，∠A＝40°，BC＝6，△BDC的周长为20． （1）求∠BDC的度数； （2）求AE的长． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边AC上，CE＝2，BC，BE＝4． ①判断△BCE的形状，并说明理由． ②求AB的长． 23．如图，正三角形ABC的边长为2，D是BC边上不与点B，C重合的动点，过点D作AB边的垂线，交AB于G，用x表示线段AG的长度，用y表示△ACD的面积． （1）直接写出x的取值范围； （2）求y关于x的函数表达式． 24．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB 的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t． （1）当点P运动t秒时CP的长度为　 　 （用含t的代数式表示）； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 25．【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理． 图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得：a2+b2＝c2． 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）如图2，在6×6的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，求AB边上的高； （2）如图3，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD是AB边的中线．在△ABC中，用a，b，c表示CD2． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D C B B D A C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 12．45． 13．10． 14．24． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）设腰长为x cm，则底边长为x cm，由题意可得， ， ∴x＝10， ∴等腰三角形的腰长为10cm； （2）能围成有一边长为的等腰三角形，三角形的底边为9cm或7cm，理由如下： 当底边长为9cm时，则每个腰长为（25﹣9）÷2＝8cm， ∵8+8＞9， ∴能围成有底边长为9的等腰三角形， 当腰长为9cm时，则底边长为25﹣9﹣9＝7cm， ∵7+9＞9， ∴能围成有腰长为9的等腰三角形， 由上可得，三角形的底边为9cm或7cm． 17．解：（1）我同意他的观点， 理由：由勾股定理得：AB，BC，AC2， ∴AB2+BC2＝20＝AC2， ∴△ABC是直角三角形； （2）由（1）知：△ABC是直角三角形，AB＝BC，∠ABC＝90°， 设AC边上高的长为h， ∴△ABC的面积为：AB•BC•AC•h， ∴2h， ∴h， 即AC边上高的长为． 18．解：（1）设AC＝4x，BC＝3x，则AB5x＝10， ∴x＝2， ∴AC＝4x＝8，BC＝3x＝6， （2）△ABC的面积24． 19．解：（1）∵DE的垂直平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠EBA＝∠A． 又∵BE平分∠ABC， ∴∠EBA＝∠CBE， ∵∠C＝90°， 又∵∠CBE+∠EBA+∠A＝90°， ∴∠A＝30°． （2）∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC， ∴BC＝1， ∴AB＝2． 20．证明：（1）作EF⊥BC于F， ∵BE、CE分别为△ABC的两个外角平分线，EP⊥AM，EQ⊥AN，EF⊥BC， ∴EP＝EF，EQ＝EF， ∴EP＝EQ； （2）∵EP＝EQ，EP⊥AM，EQ⊥AN， ∴点E在∠NAM的平分线上． 的距离相等的点在角的平分线上． 21．解：（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴AD＝BD， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2×40°＝80°． （2）∵MN垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∵BC+BD+DC＝20， ∴AD+DC+BC＝20， ∴AC+BC＝20， ∵BC＝6， ∴AB＝AC＝14， ∴AE＝7． 22．解：①△BCE是直角三角形；理由如下： ∵， ∴CE2+BE2＝4+16＝20，BC2＝20， ∴CE2+BE2＝BC2， ∴△BCE是直角三角形； ②设AE＝x，则AC＝x+2， ∴AB＝AC＝x+2， ∵∠BEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴AB2＝AE2+BE2，即（x+2）2＝x2+42， 解得：x＝3， ∴AB＝AC＝3+2＝5． 23．解：（1）过C作CM⊥AB于M， ∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴AMAB2＝1， ∵D不与B、C重合， ∴AM＜AG＜AB， ∴1＜x＜2； （2）过A作AN⊥BC于N， ∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴BNBC＝1，∠B＝60°， ∵DG⊥AB， ∴∠BDG＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝2BG＝2（2﹣x）， ∴CD＝2﹣2（2﹣x）＝2x﹣2， ∵AN， ∴y＝△ACD的面积CD•AN（2x﹣2）x． 24．解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣2t； 故答案为（6﹣2t）cm． （2）当t＝1时，BP＝CQ＝2×1＝2厘米， ∵AB＝8厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝4厘米． 又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6厘米， ∴PC＝6﹣2＝4厘米， ∴PC＝BD， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BPD和△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； ③∵vP≠vQ， ∴BP≠CQ， 又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C， ∴BP＝PC＝3cm，CQ＝BD＝4cm， ∴点P，点Q运动的时间t秒， ∴VQ厘米/秒． 25．解：（1）如图，作AB边上的高CD， ∵AB5， S△ABC＝4×44×31×4＝8， S△ABCAB•CD5CD， ∴5CD＝8， 解得CD， 故AB边上的高为：； （2）过点C作CF⊥AB于点F，如图3， ∵CD是AB边的中线， ∴AD＝BDc， 设AF＝x，则DF＝AD﹣AFc﹣x，BF＝DF+BDc﹣xc＝c﹣x， 由勾股定理得：CF2＝AC2﹣AF2＝b2﹣x2，CF2＝BC2﹣BF2＝a2﹣（c﹣x）2， 即b2﹣x2＝a2﹣（c﹣x）2， 得：x， ∴DFc﹣xc， CF2＝b2﹣x2＝b2， ∴DF2＝（）2， ∴CD2＝CF2+DF2， 即CD2， ∴CD2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$