专题一 等腰三角形辅助线的作法-【魔力暑假A计划】2024-2025学年八年级下册数学暑假作业（北师大版）

第二部分 专题突破 分专题● 等腰三角形辅助线的作法 类型1 连接线段构造三角形 类型2 作“三线”中的“一线” 1.如下图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠A 3.如下图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的 =∠C求证：AD=CD. 中点，过点A的直线EF∥BC,且AE=AF 求证：DE=DF. 2版·第二部分 专题突破 2.如下图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=4.如下图，在△ABC中，AC=2AB,AD平分 90°，BD平分∠ABC,且AE⊥BE,交BD的 ∠BAC,E是AD上一点，且EA=EC.求证：EB 延长线于点E.求证：BD=2AE. ⊥AB. ER D 37 5.如下图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, 类型3 作平行线构造等腰三角形 D为BC的中点，E,F分别是AB,AC上的 7.如下图，点E在△ABC的AC边的延长线 点，且BE=AF.求证： 上，点D在AB边上，DE交BC于点F,DF (1)ED=FD: =EF,BD=CE.求证：△ABC是等腰三 (2)ED⊥DF. 角形. 整 8.如下图，在等边三角形ABC中，D是边AC 6.如下图，在△ABC中，AB=BC,DE⊥BC于 级 延长线上一点，延长BC至点E,使CE= 点D,交AC于点E AD,DG⊥BE于点G,连接BD,DE.求证： (1)若∠AED=155°，求∠A的度数： BG=EG. (2)若E是AC的中点，求证：∠CED= 名∠B 38 9.如下图，P为等边三角形ABC的边AB上一11.如下图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥ 点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ,连 BC于点D.若AB+BD=CD,求∠C的 接PQ交AC于点D, 度数 (1)求证：PD=QD: (2)过点P作PE⊥AC于点E.若AB=2,求 DE的长. ·第二部 类型5 倍长中线法 类型4 截长补短法 12.如下图，在△ABC中，AD为中线，E为AB 专题突 10.如下图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB 上一点，AD与CE相交于点F,且AE= AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.求证： EF.求证：AB=CF BC-CD++AB. 39坐标为(0,4)： +∠CAD,∠BCD=∠BCA+∠ACD, ③当BC为对角线，四边形ABDC是平行四边形时，点D的 .∠CAD=∠ACD 坐标为（一4.一4）. .AD=CD. 综上所述，点D的坐标为(4,2)或(0.4)或（一4，一4） 2.证明：如图，延长AE,BC交于点F 假期作业39三角形的中位线 :∠AED=∠DCB=90°，∠EDA=∠CDB, 1.B2.C3.A4.55.56.4 ∴.∠FAC=∠DBC. 7.解：(1)证明：AE⊥BD,∴.∠AED=∠AEB=90°， 在△AFC和△BDC中， .∠BAE+∠ABE=9O,∠DAE+∠ADE=90. I∠FAC=∠DBC, AE平分∠BAC,.∠BAE=∠DAE. AC=BC. ∠ABE=∠ADE,.AB=AD ∠FCA=∠DCB. .AE⊥BD.∴.BE=DE .△AFC≌△BDC(ASA)..AF=BD. F是BC的中点，∴，BF=FC, BD平分∠ABC, EF是△BCD的中位线， ∴∠ABE=∠CBE. .EF-DC-(AC-AD)(AC-AB). I∠ABE=∠FBE, 在△ABE与△FBE中，〈BE=BE. (2)EF=专(AB-AC,理由如下： ∠AEB=∠FEB, ∴.△ABE≌△FBE(ASA), 如图，延长AC交BE的延长线于点P AE=FE.即AF=2AE, ,'AE⊥BP,.∠AEP=∠AEB=90°， BD=AF=2AE. ,.∠BAE+∠ABE=90°，∠PAE+∠P 3.证明：如图，连接AD =90. :在△ABC中，AB=AC.D是BC的中点 AE平分∠BAC,∠BAE=∠PAE, .AD⊥BC .∠ABE=∠P,AB=AP :EF∥BC ,AE⊥BP,.BE=PE. .AD⊥EF F是BC的中点，BF=FC ∠EAD=∠FAD=90 EF-PC-(AP-AC)(AB-AC) (AE=AF, 在△ADE和△ADF中，∠EAD=∠FAD. 假期作业5多边形的内角和与外角和 AD-AD. 1.B2.A3.B4.C5.726.22.57.45 .△ADE≌△ADF(SAS), 8.45°【解析】由题意可知，AM所在的直线是正五边形的对 .DE-=DF. 称轴， 4.证明：如图，过点E作EF⊥AC于点F,则∠EFA=90°， 六∠BAM=∠EAM=是∠BAE=×S=2XI80 AE=EC. 5 .AC=2AF. =54 AC=2AB. 由折叠的性质可知，∠BAF=∠BAF=号∠BAM=27, ∴AF=AB ∠B=∠ABF=I108, AD平分∠BAC, ,.∠AFB=180°-108°-27°=45. .∠FAE=∠BAE 9.解：(1)：六边形ABCDEF的各个内角都相等， AF=AB. ∠B=∠BcD-G×(6-2)X180=-120 在△AEF和△AEB中，∠FAE=∠BAE, AE-AE. .CF∥AB,∴.∠B+∠BCF=180° .△AEF≌△AEB(SAS), ∴.∠BCF=180°-∠B=60°， .∠ABE=∠AFE=90,即EB⊥AB. ∴.∠FCD=∠BCD-∠BCF=6O, 5.证明：(1)如图，连接AD. (2)证明：：∠AFC=360-∠A-∠B-∠BCF=360 :AB=AC,D为BC的中点， 120°-120°-60°=60°， .AD⊥BC.∠BAD=∠CAD,∠B=∠C. .∠AFC=∠FCD.AF∥CD. ∠BAC=90°， 第二部分专题突破 .∠B=∠C=∠BAD=∠CAD =45°， 专题●等腰三角形辅助线的作法 .AD=BD. 1.证明：如图，连接AC 在△BED和△AFD中， AB=BC. BE=AF. ∴.∠BCA=∠BAC ∠B=∠DAF, :∠BAD=∠BCD,∠BAD=∠BAC BD=AD. BS版·参考咨案 85 '.△BED≌△AFD(SAS), ,△BDE是等腰三角形 ..ED-FD. 又：DG⊥BE,.G是BE的中点BG=EG (2)由(1)，得△BED≌△AFD, 9.解：(I)证明：如图，过点P作PF∥BC交AC于点F .∠BDE=∠ADF, :△ABC是等边三角形，PF∥BC, '.∠BDE十∠EDA=∠EDA十∠ADF=90°， .△APF也是等边三角形， .∠EDF=90°，.ED⊥DF .PF=PA=CQ,∠PFD=∠QCD 6.解：(1)∠AED=155, 在△PDF和△QDC中， .∠DEC=180°-155=25 '∠PDF=∠QDC. DE⊥BC ∠PFD=∠QCD. .∠EDC=90°. PF=QC. .∠C=90°-25°=65°. ∴.△PDF△QDC(AAS)..PD=QD ,AB=BC,.∠A=∠C=65 (2)由(1)知，△APF是等边三角形，△PDF≌△QDC (2)证明：如图，连接BE ∴，FD=CD AB=BC.E是AC的中点， PE⊥AF,∴AE=EF, .BE⊥AC,∠ABE=∠CBE .AC=AE+EF+FD+CD=2EF+2FD=2DE. ∠ABC∠BC=90 AC=AB=2,∴.DE=1. 10.证明：如图，延长BA至点E,使BE ∴.∠CED+∠BED=90 BC,连接DE 'EDLBC.∴.∠CBE+∠BED=90°， .∠CED=∠CBE, :∠BAC=108,AB=AC,∴.∠C= 2 :∠CED=∠ABC ×(180°-108°)=36°，∠DAE=72 BD平分∠ABC, 7.证明：如图，过点D作DG∥CE交BC于点G,则∠E=∠FDG. .∠ABD=∠CBD EB=CB, 在△EBD和△CBD中，∠EBD=∠CBD. BD=BD. .△EBD≌△CBD(SAS), .DE=DC,∠E=∠C=36" 在△ECF和△DGF中， ∠EAD=72°，.∠EDA=72=∠EAD, I∠E=∠FDG. .EA=ED,∴.CD=DE=AE, EF=DF. ∴.BC=BE=AB十AE=CD十AB. L∠CFE=∠GFD. 11.解：在DC上截取DE=BD,连接AE, ∴.△ECF≌△DGF(ASA), 如图. .CE=GD. :AD⊥BC. 又，BD=CE,.BD=DG, ∴AD是线段BE的垂直平分线， .∠DBG=∠DGB. AB=AE.∠B=∠AEB. DG∥AC,∴∠DGB-∠ACB, AB十BD=CD,DE=BD,,∴.AB十DE=CD, ∴.∠B=∠ACB 又，CD=DE+C ,AB=AC,,△ABC是等腰三角形. ,AB=EC..AE=EC,.∠C=∠EAC 8.证明：如图，过点D作DF∥BE, 设∠C=∠EAC=x. 交AB的延长线于点F :∠AEB为△AEC的外角， △ABC是等边三角形 ∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∴∠B=2x ·.AB=AC=BC,∠ABC=F. 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180, ∠ACB=∠A=60 .120°+2x+x=180°， 又DF∥BE, 解得x=20,则∠C=20° '.∠F=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°， 12.证明：如图，延长AD至点G,使DG=DA .∠A=∠F=∠ADF=60,.△ADF是等边三角形， 连接CG. ..AD=DF=AF..DC-BF. AD为△ABC的中线，，BD=CD. AD=CE.∴.FD=CE 又：∠ADB=∠GDC, 又'∠ECD=∠ACB=60°，.∠F=∠ECD .△ABD≌△GCD(SAS), BF=DC. .AB=GC,∠BAD=∠G. 在△FBD和△CDE中， ∠F=∠ECD AE=EF,.∠BAD=∠EFA FD=CE. 又'∠EFA=∠CFG, .△FBD≌△CDE(SAS),.BD=DE, ,∠G=∠CFG,∴.CG=CF,AB=CF 86 数学·八年级