内蒙古自治区赤峰市敖汉旗箭桥中学2023-2024学年高二下学期数学期末模拟测试题

箭桥中学2023-2024学年下学期高二数学期末模拟测试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目里面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目黑指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题 1．若，则（    ） A．10 B．110 C．120 D．130 2．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（　　） A． B．1 C． D．﹣2 4．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（   ） A． B． C． D． 5．曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的首项为2，公差不为0．若成等比数列，则的前6项和为（    ） A． B． C．3 D．8 7．2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（    ） A．18 B．36 C．54 D．72 8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 9．已知，则（    ） A． B． C．此二项式展开式的二项式系数和为64 D．此二项式系数最大项为第4项 10．下列说法中正确的是（    ） A．一组数据的第25百分位数为7 B．若随机变量，且，则 C．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，则第二次取到红球的概率为 D．在对高二某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生12人，其平均数为75，方差为；抽取女生8人，其平均数为70，方差为23，则这20名学生物理成绩的方差为33 11．从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 12．某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（   ） A．所有不同的分派方案共种 B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D．若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 三、填空题 13．在点处的切线方程为 ．（斜截式） 14．抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则 ． 15．李明记录了自己50次坐公交车所花的时间为（单位：分钟），经数据分析发现服从正态分布，平均时间为36分钟，方差为36，则 . 16．的展开式中的常数项是10，则 . 四、解答题 17．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 18．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. (1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望； (2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 19．已知椭圆的焦点 ， 过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求的面积； （3）是否存在实数使，若存在，求 的值和直线的方程；若不存在，说明理由． 20．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 21．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，于点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 22．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求的分布列； (2)若要求，确定的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的通项为，， 则，， 又， 所以，， 所以. 故选：C 2．A 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 3．C 【分析】首先求出圆心到直线的距离，进一步利用垂径定理建立等量关系式，最后求出a的值． 【详解】圆与直线与相交于A，B两点，且． 则圆心到直线的距离， 利用垂径定理得，所以，解得． 故选：C． 4．D 【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，三人中恰有两人命中为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件， 每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件， 则， ，则. 故选：D． 5．B 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：B 6．B 【分析】根据给定条件，列出关于公差的方程，求出即可求出的前6项和. 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 而，解得，所以的前6项和为. 故选：B 7．B 【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数，最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：， 若甲、乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：， 所以不同的选法总数为: . 故选：B. 8．D 【分析】不妨设点在第一象限，连接、，根据对称性可得四边形为矩形，从而得到，即可表示出点坐标，代入方程，求出，即可得解. 【详解】依题意可得，关于原点对称，不妨设点在第一象限，连接、， 又，则四边形为矩形， 所以，则， 所以，即，即，又，解得， 所以. 故选：D 9．ACD 【分析】A选项，写出通项公式，令得到答案；B选项，赋值法得到答案；C选项，利用二项式系数和公式求出答案；D选项，利用二项式系数的对称性和单调性得到答案. 【详解】通项为， A选项，当时，，故A正确； B选项，令得， 令得，， 故，故B错误； C选项，此二项式展开式的二项式系数和为，故C正确； D选项，因为二项式系数为，所以当时，最大，即第4项最大，故D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】根据百分位数的概念判断A，根据正态分布的对称性判断B，利用全概率公式求出第二次摸到红球的概率判断C，根据方差的概念求方差判断D. 【详解】对A：把数据按从小到大的顺序排列得：3，5，7，8，9，10，12，15，18，20，21，23， 因为，所以第25百分位数是第3，4两个数的平均数，为，故A错误； 对B：因为，且，所以， 所以，故B正确； 对C：设第二次取到红球为事件，第一次取到红球为事件， 则，故C正确； 对D：这20名同学物理成绩的平均数为：， 所以这20名同学物理成绩的方差为：，故D正确. 故选：BCD. 11．ACD 【分析】根据题意由组合公式，结合分步计数原理以及分类计数原理和超几何分布数学期望，依次分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件次品 则合格品的取法有种，不合格品的取法有种， 则恰好有1件是次品的取法有种取法；则正确， 抽出的3件产品中至多有1件是次品，用间接法分析： 在100件产品中任选3件，有种取法，其中有2件是次品的取法有种， 则抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有种取法，抽出的产品中至少有件是次品的概率为，不正确； 在100件产品中任选3件，有种取法，其中全部为合格品的取法有种， 则抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有种取法，抽出的产品中至少有件是次品的概率为,正确； 抽出的产品中次品数服从超几何分布，数学期望为,正确； 故选：． 12．ACD 【分析】对于A，根据分步乘法计数原理计数可知A正确；对于B，C，按照先分组再分配的方法计数可知B不正确；C正确；对于D，由间接法求解可知D正确. 【详解】对于A，每名学生都有4种安排方案，故共有种不同的分派方案，故A正确； 对于B，先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有种； 第二类，一组2人，一组2人，一组1人，有种，故共有种分组方法， 再将分好的三组分配到三个社团，共有种分派方案，故B不正确； 对于C，分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A，另外4人有种，第二类，甲社团分2人，共有种， 根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案，故C正确； 对于D，若每个社团至少派1名学生，则有种，其中学生A，B安排到同一社团时，有种， 故若每个社团至少派1名学生，且学生A，B不安排到同一社团时， 共有种不同分派方案，故D正确. 故选：ACD. 13． 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 故答案为： 14． 【分析】由已知可求得点，设直线的方程为，联立方程组，可求得，从而可求. 【详解】令，得，即.    由抛物线的光学性质可知直线经过焦点，设直线的方程为， 代入，消去得，则， 所以，所以. 故答案为：. 15． 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意可知：， 所以. 故答案为： 16． 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再确定常数项即得. 【详解】二项式展开式的通项为， 由，得，于是， 所以. 故答案为： 17．(1) (2) 【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可； （2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得的取值范围. 【详解】（1）由，得， 令，得，解得． 所以的单调递增区间为 （2）令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 2 0 0 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数有且仅有三个零点， 得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 显然，当时，；当时，． 所以由上表可知，的极小值为，的极大值为， 故． 18．(1)分布列见解析，2 (2) 【分析】（1）根据题意可知，进而利用二项分布求出的分布列及数学期望； （2）由题意可知，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况，即甲获胜2局，甲获胜3局，从而结合（1）可得结果. 【详解】（1）由题意得，，X的取值可能为0，1，2，3， 则，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为，所以X的期望. （2）第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况： 甲获胜2局，甲获胜3局， 所以所求概率为. 19．解：(1) （2） （3）当直线斜率不存在时，得，直线 的方程为；当直线斜率存在时， 直线的方程为． 【分析】（1）根据过点P作的垂直，可得椭圆上点的坐标，再根据c的值即可求得椭圆标准方程。 （2）根据点坐标，可得直线方程，再求得与椭圆的交点即可求得三角形面积。 （3）先讨论斜率不存在时的情况，此时医德A、B点坐标，代入即可求得t的值及直线方程；当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，可得两个交点横坐标关系，再结合向量坐标运算，即可求得t的值，进而求得直线方程。 【详解】(1) 设椭圆方程为 由题意点在椭圆上， 所以 解得,所以 （2）由题意可得 所以过 、两点的直线方程为 代入椭圆方程可得 可得或 所以B点坐标为 因为 所以 （3）当直线斜率不存在时，易求得 所以 , , 由 得 ，直线 的方程为 当直线斜率存在时，设 ，直线方程为 则，化简得 所以 所以，, 由得 即 因为 所以且 解得 所以此时直线方程为 综上所述，当直线斜率不存在时 ，直线 的方程为 当直线斜率存在时，直线的方程为 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，分类讨论的应用，属于中档题。 20．(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理和判定定理证明平面，再根据线面垂直则线线垂直即可证明； （2）建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 因为，，所以． 结合，得， 因为平面，平面，所以 又，平面，且，所以平面． 又平面，所以， 又，，平面，且，所以平面. 又平面，所以, （2）如图，以点为坐标原点，过点且平行于的直线为轴，，所在的直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设，，,， 则，得， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.    22．(1)答案见解析 (2)19. (3) 【分析】（1）由已知得的可能取值为、、、、、、，分别求出相应的概率，由此即能求出的分布列； （2）由的分布列可得，，即可得解； （3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出时费用的期望和当时费用的期望，比较其大小即可得. 【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得， 一台机器在三年内需更换的易损零件数为、、、的概率分别为、、、； 则的可能取值为、、、、、、， 则有， ， ， ， ， ， ； 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）由（1）知，，故的最小值为19； （3）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， 当时， ； 当时， ； 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选. 答案第14页，共14页 答案第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$