2025-2026学年苏科版八年级下册数学期末仿真模拟卷（基础卷）

**基本信息** 立足苏科版八年级下册核心知识，以校园调查、公园选择等现实情境为载体，通过基础巩固与综合应用的梯度设计，考查统计与概率、代数运算及几何综合等关键能力，适配期末基础卷定位。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|统计概念、分式、平行四边形性质|结合食堂满意度调查（第1题）、深圳公园骑行（第5题）考查数据意识与应用能力| |填空题|10/30|频率计算、因式分解、分式有意义条件|直接考查基础知识点，如第9题频率计算、第10题因式分解| |解答题|10/96|统计图表分析、菱形证明与计算、动点几何|综合题设计层次分明，如24题菱形证明与面积计算结合推理能力，28题动点平行四边形存在性问题考查空间观念|

2025-2026学年苏科版八年级下学期数学 期末仿真模拟卷（基础卷） （考试形式：闭卷 满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1．（2026春•惠山区校级月考）某学校食堂为了解学生的用餐满意度，从全校1800名学生中采用随机抽样的方式抽取200名学生进行问卷调查．下列叙述错误的是（　　） A．被抽取的200名学生对食堂的满意度评分是总体的一个样本 B．该校1800名学生对食堂的满意度评分的全体是总体 C．该校每名学生对食堂的满意度评分是个体 D．样本容量是200名学生 2．（2026春•新城区校级期中）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•鲁山县二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A．AC⊥BD B．OA＝OB C．AB＝BC D．∠ABD＝∠DBC 4．（2026•蓬莱区二模）下列因式分解中，正确的是（　　） A．a2﹣4＝（a﹣2）2 B．﹣a2+2a＝a（a﹣2） C．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1 D．a2﹣4a+4＝（a﹣2）2 5．（2026春•福田区校级期中）“深圳湾公园”、“西湾红树林公园”、“前海石公园”、“福田中心公园”是深圳市比较适合骑行的四个公园，若小圳从这四个公园中随机选择一个公园骑行，则“福田中心公园”被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（2026春•西城区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026春•邳州市期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，下列四个结论中： ①∠BAD＝∠CDA； ②AO＝CO； ③∠ACB＝∠ACD； ④△ABO≌△DCO． 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2026春•杭州月考）如图，正方形ABCD和正方形AEFG叠放再一起，点E在边AB上，点G在边AD上，M是BE的中点．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（　　） A．EM•EB B．EM•AE C．AE•AM D．AM•EM 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（2026•福州模拟）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是　 　 （用小数表示）． 10．（2026•高青县二模）分解因式：9a3﹣a＝　 　 ． 11．（2026•长沙模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是　 　 ． 12．（2026春•碑林区校级月考）若分式的值为0，则x的值为　 　 ． 13．（2026•宁夏模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB＝4，∠ABC＝45°，BC在x轴上，点D在y轴上，则点A的坐标为　 　 ． 14．（2026•东兴区校级二模）若a，b为实数，且b11，则a+b的立方根为 　 　 ． 15．（2026春•武侯区校级期中）如图，长、宽分别为a，b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为　 　 ． 16．（2026春•碑林区校级期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC﹣AD＝8，梯形的高DE＝4，则∠A的度数是　 　 ． 17．（2026•绵阳二模）已知关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是　 　 ． 18．（2026春•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边在△ABC外作▱ABDE，对角线AD，BE交于点F，连接CF．若AE＝3，AB＝5，则CF的最大值为　 　 ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2026春•温江区校级期中）分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（3x﹣2）+（2﹣3x）． 20．（2026春•东城区校级期末）计算 （1）； （2）． 21．（2024•连云区二模）先化简，再求值：，其中． 22．（2026•临沭县二模）随着“教育数字化战略行动”的推进，线上线下融合学习已成为中小学常态化教学的重要补充．某校为了解学生对多样化线上学习资源的使用需求，随机对本校部分学生进行了“你对哪类线上学习方式最感兴趣”的调查，形成调查报告如下： 调查目的 1．了解学生最感兴趣的线上学习方式； 2．优化学校线上学习资源配置，助力“双减”背景下的个性化学习． 调查方式 调查对象 部分学生 调查内容 你对哪类线上学习方式最感兴趣？ A．同步在线阅读 B．名师在线听课 C．互动在线答疑 D．小组在线讨论 E．拓展类资源学习 调查结果 建议 … 请结合以上信息回答下列问题： （1）本次调查方式属于　 　 调查（填“普查”或“抽样”）； （2）求本次被调查的总人数，并补全条形统计图； （3）若该校共有1600名学生，请你估计该校喜欢互动在线答疑的有多少名学生？ （4）请你根据调查结果，给学校优化线上学习资源配置提出一条合理的建议． 23．（2026春•深圳校级期中）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共30个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 65 96 b 295 484 600 摸到白球的频率 a 0.64 0.61 0.59 0.605 0.6 （1）求出表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 （精确到0.1）；估计此口袋里白球有　 　 个； （3）若从口袋里拿出x个白球后，再从剩下的口袋里任意摸出一球是白球的概率为，请估计x的值为多少？ 24．（2026•长安区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠DAB，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝10，BD＝16，求DE的长． 25．（2026春•双城区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简和． （2）化简：． 26．（2026•绵阳二模）一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个． （1）求甲、乙两种笔记本的单价； （2）在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共20本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少． 27．（2026春•市中区校级期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似的，多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平放式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方项，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣1﹣3）＝2（x2+2x+1﹣4）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． （1）用配方法因式分解：a2+2a﹣8； （2）已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣8c+41＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）当x为何值时，代数式﹣2x2﹣8x+5有最大值，并求出这个最大值． 28．（2026春•潍坊期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（7，4），C（0，4）． （1）若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； （2）若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级下学期数学 期末仿真模拟卷（基础卷） （考试形式：闭卷 满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1．（2026春•惠山区校级月考）某学校食堂为了解学生的用餐满意度，从全校1800名学生中采用随机抽样的方式抽取200名学生进行问卷调查．下列叙述错误的是（　　） A．被抽取的200名学生对食堂的满意度评分是总体的一个样本 B．该校1800名学生对食堂的满意度评分的全体是总体 C．该校每名学生对食堂的满意度评分是个体 D．样本容量是200名学生 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【解答】解：A、被抽取的200名学生对食堂的满意度评分是总体的一个样本，说法正确，故A不符合题意； B、该校1800名学生对食堂的满意度评分的全体是总体，说法正确，故B不符合题意； C、该校每名学生对食堂的满意度评分是个体，说法正确，故C不符合题意； D、样本容量是200，原说法错误，故D符合题意； 故选：D． 2．（2026春•新城区校级期中）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下： A：，分子分母有公因式x+1，可约分，不是最简分式； B：，分子分母有公因式2，可约分，不是最简分式； C：的分子1和分母x+1没有公因式，不能约分，是最简分式； D：，分子分母有公因式a，可约分，不是最简分式． 故选：C． 3．（2026•鲁山县二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A．AC⊥BD B．OA＝OB C．AB＝BC D．∠ABD＝∠DBC 【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD，即AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠BDC＝∠DBC， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意， 故选：B． 4．（2026•蓬莱区二模）下列因式分解中，正确的是（　　） A．a2﹣4＝（a﹣2）2 B．﹣a2+2a＝a（a﹣2） C．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1 D．a2﹣4a+4＝（a﹣2）2 【分析】根据因式分解法的方法对各选项逐一判断即可． 【解答】解：A、a2﹣4＝（a﹣2）（a+2）≠（a﹣2）2，原计算错误，不符合题意； B、﹣a2+2a＝﹣a（a﹣2）≠a（a﹣2），原计算错误，不符合题意； C、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，a（a﹣2）+1是加法，不是因式分解，原计算错误，不符合题意； D、a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，正确，符合题意． 故选：D． 5．（2026春•福田区校级期中）“深圳湾公园”、“西湾红树林公园”、“前海石公园”、“福田中心公园”是深圳市比较适合骑行的四个公园，若小圳从这四个公园中随机选择一个公园骑行，则“福田中心公园”被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵一共有4个公园，随机选择时每个公园被选中的可能性相等，选中“福田中心公园”的情况只有1种， ∴． 故选：C． 6．（2026春•西城区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则和算术平方根的性质逐一判断即可． 【解答】解：根据二次根式的运算法则和算术平方根的性质逐项分析判断如下： 对选项A：，不符合题意； 对选项B：与不是同类二次根式，无法合并，不符合题意； 对选项C：，计算符合二次根式除法法则，符合题意； 对选项D：，算术平方根的结果为非负数，不符合题意． 故选：C． 7．（2026春•邳州市期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，下列四个结论中： ①∠BAD＝∠CDA； ②AO＝CO； ③∠ACB＝∠ACD； ④△ABO≌△DCO． 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等腰梯形的性质判断①；根据等腰梯形的概念判断②；根据平行线的性质、等腰三角形的性质判断③；证明全等三角形的判定和性质判断④． 【解答】解：①根据等腰梯形的两底角相等可知：∠BAD＝∠CDA，故本小题结论正确； ②∵AD∥BC， ∴当AO＝CO时，AD＝BC，不符合题意，故本小题结论错误； ③∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC， 当AD＝DC时，∠DAC＝∠ACD，才能得出∠ACB＝∠ACD故本小题结论错误； ④在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠BAC＝∠CDB， ∴△ABO≌△DCO（AAS），故本小题结论正确； 故选：B． 8．（2026春•杭州月考）如图，正方形ABCD和正方形AEFG叠放再一起，点E在边AB上，点G在边AD上，M是BE的中点．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（　　） A．EM•EB B．EM•AE C．AE•AM D．AM•EM 【分析】延长EF交CD于点N，设AE＝a，EM＝BM＝b，则EB＝2b，BC＝CD＝AB＝a+2b，证明四边形EBCN是矩形得EN＝BC＝a+2b，NC＝EB＝2b，由此得FN＝2b，继而得S△EMC＝S矩形EBCN﹣S△EFM﹣S△BMC﹣S△FNC＝a（a+b），然后根据AM＝a+b，EM＝b得S△EMC＝AM•EM，据此可得出答案． 【解答】解：延长EF交CD于点N，如图所示： 设AE＝a， ∵四边形AEFG是正方形， ∴AE＝EF＝a，∠A＝∠AEF＝90°， ∴∠NFB＝180°﹣∠AEF＝90°， ∵点M是BE的中点， ∴设EM＝BM＝b，则EB＝2b， ∴AB＝AE+EB＝a+2b， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝a+2b，∠B＝∠BCD＝90°， ∴∠NFB＝∠B＝∠BCD＝90°， ∴四边形EBCN是矩形， ∴EN＝BC＝a+2b，NC＝EB＝2b，∠FNC＝90°， ∴FN＝EN﹣EF＝2b， ∴S矩形EBCN＝2b（a+2b）＝2ab+2b2， ∵S△EFMab，S△BMCb（a+2b），S△FNC2b×2b＝2b2， ∴S△EMC＝S矩形EBCN﹣S△EFM﹣S△BMC﹣S△FNC ＝2ab+2b22abb（a+2b）﹣2b2 ＝ab+b2 ＝a（a+b）， 又∴AM＝AE+EM＝a+b，EM＝b， ∴AM•EM＝a（a+b）， ∴S△EMC＝AM•EM， ∵已知图中阴影部分的面积，一定能求出AM•EM的值． 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（2026•福州模拟）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是　0.2　 （用小数表示）． 【分析】先根据各组频数之和等于数据总数求出第5组的频数，再利用频率＝频数÷数据总数计算第5组的频率． 【解答】解：第5组的频数为： 50﹣（12+9+11+8） ＝10， 第5组的频率为：10÷50＝0.2． 故答案为：0.2． 10．（2026•高青县二模）分解因式：9a3﹣a＝a（3a+1）（3a﹣1）　 ． 【分析】先提取公因式a再利用公式法即可得到答案． 【解答】解：9a3﹣a＝a（9a2﹣1）＝a（3a+1）（3a﹣1）， 故答案为：a（3a+1）（3a﹣1）． 11．（2026•长沙模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是　　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别确定被开方数与分母的取值要求得到x的取值范围即可． 【解答】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12．（2026春•碑林区校级月考）若分式的值为0，则x的值为x＝﹣3　 ． 【分析】根据分式的值为零的条件解答即可． 【解答】解：由题意可得|x|﹣3＝0且2x﹣6≠0， 解得x＝﹣3． 故答案为：x＝﹣3． 13．（2026•宁夏模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB＝4，∠ABC＝45°，BC在x轴上，点D在y轴上，则点A的坐标为　（﹣4，2）　 ． 【分析】由菱形的性质推出CD＝AD＝AB＝4，AB∥CD，AD∥BC，判定△DCO是等腰直角三角形，求出DODC＝2，即可得到点A的坐标． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝AB＝4，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠DCO＝∠ABC＝45°， ∵BC⊥y轴， ∴AD⊥y轴， ∵∠DCO＝45°，∠DOC＝90°， ∴△DCO是等腰直角三角形， ∴DODC＝2， ∴点A的坐标为（﹣4，2）． 故答案为：（﹣4，2）． 14．（2026•东兴区校级二模）若a，b为实数，且b11，则a+b的立方根为 　﹣2　 ． 【分析】二次根式的被开方数是非负数，据此可得a的值，进而得出b的值，再根据立方根的定义可得答案． 【解答】解：∵和都有意义， ∴， 解得：a＝3， 则b＝﹣11， 故a+b＝﹣8的立方根为：﹣2． 故答案为：﹣2． 15．（2026春•武侯区校级期中）如图，长、宽分别为a，b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为　96　 ． 【分析】根据题意得出a+b＝8，ab＝12，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可． 【解答】解：由条件可知a+b＝8，ab＝12， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝12×8 ＝96， 故答案为：96． 16．（2026春•碑林区校级期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC﹣AD＝8，梯形的高DE＝4，则∠A的度数是　135°　 ． 【分析】过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，证明四边形AFED是矩形得AD＝EF，AF＝DE＝4，由BC﹣AD＝8得BC﹣EF＝BF+CE＝8，证明Rt△ABF和Rt△DCE全等得BF＝CE＝4，进而得AF＝BF＝4，由此得△ABF是等腰直角三角形得∠FAB＝∠B＝45°，据此可得∠BAD的度数． 【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，如图所示： ∴∠AFE＝∠AFB＝∠DEF＝∠DEC＝90°， ∴△ABF和△DCE都是直角三角形， ∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC， ∴AB＝DC，AF⊥AD，DE⊥AD， ∴∠FAD＝∠EDA＝90°， ∴∠AFE＝∠DEF＝∠FAD＝∠EDA＝90°， ∴四边形AFED是矩形， ∴AD＝EF，AF＝DE＝4， ∴BC﹣AD＝8， ∴BC﹣EF＝8， ∴BC﹣EF＝BF+CE＝8， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）， ∴BF＝CE， 又∵BF+CE＝8， ∴BF＝CE＝4， ∴AF＝BF＝4， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴∠FAB＝∠B＝45°， ∴∠BAD＝∠FAB+∠FAD＝45°+90°＝135°． 故答案为：135°． 17．（2026•绵阳二模）已知关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是m＞5　 ． 【分析】先求解分式方程，得到含m的解的表达式，再根据分式方程的解为负数，且分母不为零，列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围． 【解答】解：原方程变形为， 方程两边同乘（x﹣1）去分母得m+2（x﹣1）＝3， 去括号得m+2x﹣2＝3， 移项合并同类项得2x＝5﹣m， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴x＜0，且x﹣1≠0， 即，且， 解得m＞5， 解得m≠3， ∵m＞5已经满足m≠3， ∴m的取值范围是m＞5． 故答案为：m＞5． 18．（2026春•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边在△ABC外作▱ABDE，对角线AD，BE交于点F，连接CF．若AE＝3，AB＝5，则CF的最大值为　4　 ． 【分析】取AB的中点G，连接CG、FG，由平行四边形的性质可得点F是BE的中点，从而判断FG是△ABE的中位线，则．由直角三角形的性质可得，结合CF≤CG+FG，从而求出CF的最大值． 【解答】解：取AB的中点G，连接CG、FG，如图， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点G为斜边AB的中点，AB＝5， ∴， ∵四边形ABDE是平行四边形，AE＝3， ∴点F是BE的中点， ∴FG是△ABE的中位线， ∴， ∵CF≤CG+FG＝4， ∴当C、G、F三点共线时，CF取得最大值4． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2026春•温江区校级期中）分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（3x﹣2）+（2﹣3x）． 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先将式子变形，然后提取公因式，最后利用平方差公式继续分解． 【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2 ＝3（a2﹣2ab+b2） ＝3（a﹣b）2． （2）x2（3x﹣2）+（2﹣3x） ＝x2（3x﹣2）﹣（3x﹣2） ＝（x2﹣1）（3x﹣2） ＝（3x﹣2）（x+1）（x﹣1）． 20．（2026春•东城区校级期末）计算 （1）； （2）． 【分析】（1）先化简，计算乘除法，然后计算减法即可； （2）根据平方差公式计算，化简二次根式，然后计算减法即可． 【解答】解：（1） ＝3 ＝3 ＝32 ； （2） ＝12﹣1﹣2 ＝9． 21．（2024•连云区二模）先化简，再求值：，其中． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式 • ， 当a时， 原式 22．（2026•临沭县二模）随着“教育数字化战略行动”的推进，线上线下融合学习已成为中小学常态化教学的重要补充．某校为了解学生对多样化线上学习资源的使用需求，随机对本校部分学生进行了“你对哪类线上学习方式最感兴趣”的调查，形成调查报告如下： 调查目的 1．了解学生最感兴趣的线上学习方式； 2．优化学校线上学习资源配置，助力“双减”背景下的个性化学习． 调查方式 调查对象 部分学生 调查内容 你对哪类线上学习方式最感兴趣？ A．同步在线阅读 B．名师在线听课 C．互动在线答疑 D．小组在线讨论 E．拓展类资源学习 调查结果 建议 … 请结合以上信息回答下列问题： （1）本次调查方式属于　抽样　 调查（填“普查”或“抽样”）； （2）求本次被调查的总人数，并补全条形统计图； （3）若该校共有1600名学生，请你估计该校喜欢互动在线答疑的有多少名学生？ （4）请你根据调查结果，给学校优化线上学习资源配置提出一条合理的建议． 【分析】（1）根据调查对象为“部分学生”，判断调查方式为抽样调查； （2）用已知的E类人数和占比求出总人数，再依次算出A、D类人数，补全条形统计图； （3）用样本中选择在线答疑的学生人数占比，乘以全校总人数，估计出该校喜欢在线答疑的学生人数； （4）根据调查数据中最受欢迎的学习方式，提出合理的课程设置建议． 【解答】解：（1）调查方式为抽样调查． 故答案为：抽样； （2）对E类学习方式感兴趣的人数为60，占比15%， 故被调查的总人数为（人）， 对A类学习方式感兴趣的人数为400×25%＝100（人）， 则对D类学习方式感兴趣的人数为400﹣100﹣72﹣80﹣60＝88（人）， 补全条形图如下： （3）选择在线答疑的学生人数为80， 故该校喜欢在线答疑的学生人数为1600（名）． （4）根据调查数据可知，在所有在线学习方式中，学生对在线阅读最感兴趣，故该校应该设置在线阅读课程． 23．（2026春•深圳校级期中）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共30个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 65 96 b 295 484 600 摸到白球的频率 a 0.64 0.61 0.59 0.605 0.6 （1）求出表中a＝　0.65　 ，b＝　122　 ； （2）当n很大时，摸到白球的频率将会接近　0.6　 （精确到0.1）；估计此口袋里白球有　18　 个； （3）若从口袋里拿出x个白球后，再从剩下的口袋里任意摸出一球是白球的概率为，请估计x的值为多少？ 【分析】（1）根据频率和频数的定义求解即可； （2）随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6，即可求解； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：0.65，122； （2）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 此口袋里白球有30×0.6＝18个， 故答案为：0.6，18； （3）由题意可得， 解得：x＝12， 答：估计x的值为12． 24．（2026•长安区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠DAB，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝10，BD＝16，求DE的长． 【分析】（1）由平行四边形的对边平行和角平分线的定义可证明∠BCA＝∠BAC，则AB＝BC，据此可证明结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出OA的长，进而求出AC的长，再求出菱形的面积即可求出DE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）得四边形ABCD是菱形， ∴， ∴， ∴AC＝12， ∴； ∵DE⊥AB， ∴S菱形ABCD＝AB•DE＝96， ∵AB＝10， ∴DE＝9.6． 25．（2026春•双城区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简和． （2）化简：． 【分析】（1）对于，先把化简，然后把分子分母都乘以，然后根据二次根式的性质计算；对于，把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）； ； （2）原式... ． 26．（2026•绵阳二模）一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个． （1）求甲、乙两种笔记本的单价； （2）在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共20本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少． 【分析】（1）设乙笔记本单价为未知数，根据销量差的关系列分式方程求解，检验后得到单价； （2）设购买乙笔记本的数量，根据费用限制列不等式组，得到未知数的整数解从而得到方案数，再根据总费用随乙购买数量的变化规律得到最少花费的方案． 【解答】解：（1）设乙笔记本的单价为x元，则甲笔记本的单价为1.25x元， ∵当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个， ∴， 解得x＝12， 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意， ∴1.25x＝1.25×12＝15， ∴甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元； （2）设购买乙笔记本m本，则购买甲笔记本（20﹣m）本， 根据题意得：， 解得6m≤10， ∵m为非负整数， ∴m可取7，8，9，10，共4种取值，即共有4种购买方案； 设总费用为W元，则W＝12m+15（20﹣m）＝300﹣3m， ∵﹣3＜0， ∴W随m的增大而减小，当m＝10时，W取得最小值，此时20﹣m＝10， ∴共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总的花费最少． 27．（2026春•市中区校级期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似的，多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平放式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方项，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 原式＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣1﹣3）＝2（x2+2x+1﹣4）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． （1）用配方法因式分解：a2+2a﹣8； （2）已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣8c+41＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）当x为何值时，代数式﹣2x2﹣8x+5有最大值，并求出这个最大值． 【分析】（1）先将a2+2a﹣8配方成（a+1）2﹣9，再用平方差公式分解为（a+4）（a﹣2）； （2）将原式分组配方，得到（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣4）2＝0，根据平方非负性求出a＝3、b＝4、c＝4，判断为等腰三角形； （3）提取﹣2后配方，得到﹣2（x+2）2+13，根据平方非负性，当x＝﹣2时，最大值为13． 【解答】解：（1）a2+2a﹣8 ＝a2+2a+1﹣1﹣8 ＝（a+1）2﹣9 ＝（a+1+3）（a+1﹣3） ＝（a+4）（a﹣2）； （2）因为a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣8c+41＝0， 所以a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣8c+16＝0， 即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣4）2＝0， 因为平方数非负， 所以（a﹣3）2＝0，（b﹣4）2＝0，（c﹣4）2＝0， 所以a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣4＝0， 解得a＝3，b＝4，c＝4， 所以b＝c， 因为a、b、c分别是△ABC的三边， 故△ABC是等腰三角形； （3）﹣2x2﹣8x+5 ＝﹣2x2﹣8x﹣8+8+5 ＝﹣2（x2+4x+4）+13 ＝﹣2（x+2）2+13， 因为﹣2（x+2）2≤0， 当x＝﹣2时，﹣2（x+2）2＝0， 代数式最大值为13． 28．（2026春•潍坊期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（7，4），C（0，4）． （1）若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； （2）若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 【分析】（1）先求出OP＝2t，BQ＝t，AO＝3，BC＝7，再分类讨论：①若点P在点A的左侧，②若点P在点A的右侧，逐项分析求解即可； （2）先求出，再分类讨论：①以AC为边，四边形ACMN是菱形，②以AC为边，四边形ACNM是菱形，③以AC为边，四边形ACNM是菱形，④以AC为对角线，四边形ACNM是菱形，逐项分析求解即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（7，4），C（0，4）． 由题意，得OP＝2t，BQ＝t，AO＝3，BC＝7， ①若点P在点A的左侧，如图 ∴AP＝OA﹣OP＝3﹣2t， 由题意可得：PA＝QB， ∴3﹣2t＝t， 解得t＝1， ②若点P在点A的右侧，如图 ∴AP＝OP﹣OA＝2t﹣3， 由题意可得：PA＝QB， ∴2t﹣3＝t， 解得t＝3， 综上所述，t＝1或3时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形； （2）点N的坐标为（0，﹣4）或（5，4）或（﹣5，4）或．理由如下： ∵点A（3，0），C（0，4）， ∴AO＝3，OC＝4， ∴， ①如图，以AC为边，四边形ACMN是菱形， ∵C（0，4）， ∴N（0，﹣4）； ②如图，以AC为边，四边形ACNM是菱形， ∵CN＝AC＝5，CN∥AM， ∴N（5，4）； ③如图，以AC为边，四边形ACNM是菱形， ∵CN＝AC＝5，CN∥AM， ∴N（﹣5，4）； ④如图，以AC为对角线，四边形ACNM是菱形， 设CM＝AM＝CN＝x， ∴OM＝x﹣3， ∵OC2+OM2＝CM2， ∴42+（x﹣3）2＝x2， ∴， ∴， ∴； 综上所述，以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，点N的坐标为（0，﹣4）或（5，4）或（﹣5，4）或． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $