精品解析：江苏省/苏州市苏州工业园区2023-2024学年八年级下学期期末调研数学试卷 A

2023-2024学年江苏省苏州市工业园区八年级（下）期末数学试卷（A卷） 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 手势密码是在手机触屏九宫格上设置一笔连成的图案，登录时画出设定的图形后手机即可解锁，下列手势密码中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国 4. 优选法是以数学原理为指导，合理安排试验，以尽可能少的试验次数尽快找到生产和科学实验中最优方案的方法，著名数学家华罗庚为普及优选法做出了重要贡献，优选法中单因素方法有平分法、法、分数法、分批试验法等，下列各数中最接近的是（　　） A. B. C. D. 5. 为掌握每年来太湖某湿地过冬的国家二级重点保护野生动物灰鹤的数量变化趋势，鸟类保护协会进行了如下调查统计： ①从折线统计图中分析每年来太湖过冬的灰鹤数量的变化趋势； ②从太湖湿地管理部门收集每年来太湖过冬的灰鹤数量； ③根据统计表的数据绘制折线统计图； ④整理每年来太湖过冬的灰鹤数量并制作统计表． 统计步骤正确的是（　　） A ②④③① B. ①②④③ C. ②③①④ D. ③④①② 6. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点E、F、G、H得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知下列线段的长度，能得到瓦里尼翁平行四边形周长的是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 如图，四边形纸片中，．过点A作，垂足为点E．若，则该纸片的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 已知，则__________________ ． 10. 当时，分式无意义，则_______ ． 11. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 12. 计算：（）2=__________． 13. 色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表： 抽取的体检表数n 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数m 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者频率m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）． 14. 若关于x的分式方程有增根，则_______ ． 15. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若，，则与的面积之和等于______________________． 16. 如图，平行四边形的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B、C、D都在反比例函数的图象上，且边经过原点O．若平行四边形的面积为24，则_____ ． 三、解答题：本大题共11小题，共68分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级部分学生进行调查（每人必选且只能选一类课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图； （2）“木工”劳动课程对应的扇形圆心角是 °； （3）若该校八年级共有800名学生，估计该校八年级学生选择“编织”劳动课程的人数． 21. 2024金鸡湖万人健步走活动于5月1日燃情而至，近万名参与者齐聚金鸡湖畔，环绕美丽的金鸡湖传递健康生活方式，用脚步丈量园区三十载的岁月变迁与蓬勃发展．健步走活动分为“环湖走”和“健步走”两个项目，甲、乙、丙三人随机参加其中一个项目． （1）甲参加“健步走”的概率是 ； （2）求甲、乙、丙三人都参加“环湖走”的概率． 22. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点B、C的对应点分别是点D、E，且点C在上．若，，求的度数． 23. 2024金鸡湖万人健步走活动赛道是堪称苏州Citywalk“天花板”的金鸡湖沿岸，参与者可以身临其境地欣赏沿途美景，享受运动的喜悦与美好，甲、乙两人参加全程为的“环湖走”活动，并安全完赛，运动手环显示甲的平均速度是乙的平均速度的倍．甲所用时间比乙所用时间少．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点． （1）求m、k的值； （2）点D是的图像上一点，且，求点D的坐标． 25. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 26. 塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 27. 已知在矩形纸片中，，点P在边上，连接．将该纸片沿折叠，使点B落在点E的位置，设与与直线的交点为Q． （1）如图①，当点P与点A重合时，连接． ①求的长； ②求长； （2）如图②，当点P与点A不重合时，连接．若为等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江苏省苏州市工业园区八年级（下）期末数学试卷（A卷） 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，故不最简二次根式； C、，故不是最简二次根式； D、，故不是最简二次根式； 故选：A． 2. 手势密码是在手机触屏九宫格上设置的一笔连成的图案，登录时画出设定的图形后手机即可解锁，下列手势密码中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解决问题． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A 不符合题意； B．“大漠孤烟直”随机事件，因此选项B不符合题意； C．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C 符合题意； D．“红豆生南国”是必然事件，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件意义是正确判断的前提． 4. 优选法是以数学原理为指导，合理安排试验，以尽可能少的试验次数尽快找到生产和科学实验中最优方案的方法，著名数学家华罗庚为普及优选法做出了重要贡献，优选法中单因素方法有平分法、法、分数法、分批试验法等，下列各数中最接近的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小．根据算术平方根的定义估算无理数，，，的大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴最接近的是， 故选：B． 5. 为掌握每年来太湖某湿地过冬的国家二级重点保护野生动物灰鹤的数量变化趋势，鸟类保护协会进行了如下调查统计： ①从折线统计图中分析每年来太湖过冬的灰鹤数量的变化趋势； ②从太湖湿地管理部门收集每年来太湖过冬的灰鹤数量； ③根据统计表的数据绘制折线统计图； ④整理每年来太湖过冬的灰鹤数量并制作统计表． 统计步骤正确的是（　　） A. ②④③① B. ①②④③ C. ②③①④ D. ③④①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折线统计图．根据数据的收集、整理、制作折线统计图及根据统计图分析结果的步骤可得答案． 【详解】解：统计步骤应为： ②从太湖湿地管理部门收集每年来太湖过冬的灰鹤数量； ④整理每年来太湖过冬的灰鹤数量并制作统计表； ③根据统计表的数据绘制折线统计图； ①从折线统计图中分析每年来太湖过冬的灰鹤数量的变化趋势， 则统计步骤正确的是②④③①． 故选：A． 6. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出，所在的象限即可得到答案． 【详解】∵反比例函数的图象在一、三象限，而， ∴点在第三象限反比例函数的图象上， 在第一象限反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 7. 如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点E、F、G、H得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知下列线段的长度，能得到瓦里尼翁平行四边形周长的是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到，，，，再根据四边形的周长公式判断即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴，，，， ∵四边形的周长， ∴已知线段和的长度，能得到四边形的周长， 故选：C． 8. 如图，四边形纸片中，．过点A作，垂足为点E．若，则该纸片的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，角度关系以及直角三角形的面积计算等知识，通过构造辅助线和利用全等三角形的性质是解题的关键．过点作，交延长线于，连接，由可证，可得，，由可证得，可得，，可求的长，由面积关系可求解． 【详解】解：过点作，交延长线于，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 该纸片的面积． 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 已知，则__________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，设，，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 当时，分式无意义，则_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义时，分母等于零求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 11 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 计算：（）2=__________． 【答案】5–2 【解析】 【分析】利用完全平方公式及二次根式的乘法法则计算即可. 【详解】（）2=. 故答案为5–2． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练运用完全平方公式是解决问题的关键. 13. 色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表： 抽取的体检表数n 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数m 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）． 【答案】0.07 【解析】 【分析】随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率． 【详解】解： 观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右， 故男性中，男性患色盲的概率为0.07 故答案为：0.07． 【点睛】本题考查利用频率估计概率． 14. 若关于x的分式方程有增根，则_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的根的情况求参数．方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，解出这个方程的解，根据分式方程有增根，所以，从而求出a的值． 【详解】解：方程两边同时乘得：， 解得：， ∵方程有增根， ∴当时，， ∴， ∴． 故答案为： 15. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若，，则与的面积之和等于______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，根据勾股定理得，再结合全等三角形的性质得到，然后证明，求得，根据三角形面积公式列式计算，即可得到结论． 【详解】解：四边形、、均为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ， ， 则， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴解得， ∴， ∴． 故答案为： 16. 如图，平行四边形的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B、C、D都在反比例函数的图象上，且边经过原点O．若平行四边形的面积为24，则_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】依据题意，设，，可得，连接，又平行四边形的面积为24，从而，结合，进而可得，最后由平行四边形的对角线与互相平分，可得①，且②，从而计算可以得解． 【详解】解：由题意，设，， ∴． 连接， 又平行四边形的面积为24， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． 又平行四边形的对角线与互相平分， ∴①，且②． 由②得，． 将③代入①得，④． 把④代入③得，， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 三、解答题：本大题共11小题，共68分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】x=﹣3 【解析】 【分析】通过去分母，把分式方程化成整式方程，求解整式方程，再把解代入最简公分母检验即可． 【详解】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得： 解这个方程得：x=﹣3 检验：当x=﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0 ∴x=﹣3是原方程的解 ∴原方程的解是：x=﹣3． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 19 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 20. 某校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级部分学生进行调查（每人必选且只能选一类课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图； （2）“木工”劳动课程对应的扇形圆心角是 °； （3）若该校八年级共有800名学生，估计该校八年级学生选择“编织”劳动课程的人数． 【答案】（1）60，见解析 （2）36 （3）该校七年级800名学生中选择“编织”劳动课程的大约有160人 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图与条形统计图，理解数量关系和列举所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． （1）从两个统计图中可得，选择“园艺”的有18人，占调查人数的，可求出调查人数；求出选择“编织”的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以“木工”人数所占比例； （3）样本中，选择“编织”的占，因此估计总体800人的是选择“编织”的人数． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：60； （人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校七年级800名学生中选择“编织”劳动课程的大约有160人． 21. 2024金鸡湖万人健步走活动于5月1日燃情而至，近万名参与者齐聚金鸡湖畔，环绕美丽的金鸡湖传递健康生活方式，用脚步丈量园区三十载的岁月变迁与蓬勃发展．健步走活动分为“环湖走”和“健步走”两个项目，甲、乙、丙三人随机参加其中一个项目． （1）甲参加“健步走”的概率是 ； （2）求甲、乙、丙三人都参加“环湖走”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）将“环湖走”和“健步走”两个项目分别记作A、B，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数． 【小问1详解】 解：甲参加“健步走”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将“环湖走”和“健步走”两个项目分别记作A、B，画树状图如下： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三人都参加“环湖走”的只有1种结果， 所以甲、乙、丙三人都参加“环湖走”的概率为． 22. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点B、C的对应点分别是点D、E，且点C在上．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 由旋转得到，进而得到，平行线的性质，得到，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 2024金鸡湖万人健步走活动赛道是堪称苏州Citywalk“天花板”的金鸡湖沿岸，参与者可以身临其境地欣赏沿途美景，享受运动的喜悦与美好，甲、乙两人参加全程为的“环湖走”活动，并安全完赛，运动手环显示甲的平均速度是乙的平均速度的倍．甲所用时间比乙所用时间少．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙的平均速度是，则甲的平均速度为，根据甲所用时间比乙所用时间少．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：提出问题：乙的平均速度是多少？ 设乙的平均速度是，则甲的平均速度为， 由题意得：， 解得：x， 经检验，x是原方程的解，且符合题意， 答：乙的平均速度是． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点． （1）求m、k的值； （2）点D是的图像上一点，且，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入一次函数，求得，再将点代入一次函数，得到，将代入反比例函数，即可求出的值； （2）利用，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与y轴交于点， ∴， ∵一次函数的图像过点， ∴，解得， ∴， ∵反比例函数的图像过点， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知，，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵点D是的图像上一点， ∴当时，；当时，， ∴或． 25. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明； （2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意可知， ，， ， 四边形地平行四边形； 【小问2详解】 如图，在中，，，， ，， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 26. 塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 【答案】探索活动：北寺塔的高度为；解决问题：①见解析；②塔刹的高度为 【解析】 【分析】本题考查了图形的相似和尺规作图，解题的关键在于读懂题意，正确作图． [探索活动]由题意知，，，可知∽，进而求解； [解决问题]①根据题意作图即可； ②根据题意可知，∽，利用相似求解． 【详解】解：[探索活动]由题意知，，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 故北寺塔的高度为； [解决问题]①如图， ②由[探索活动]同理得，， ∴， 解得， ， 故塔刹的高度为． 27. 已知在矩形纸片中，，点P在边上，连接．将该纸片沿折叠，使点B落在点E的位置，设与与直线的交点为Q． （1）如图①，当点P与点A重合时，连接． ①求的长； ②求的长； （2）如图②，当点P与点A不重合时，连接．若为等腰三角形，求的长． 【答案】（1）①5；②； （2）或或4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①由折叠的性质可得，利用矩形的性质求出，，则可证明 ，得到，在中利用勾股定理建立方程求解即可；②过点E作于H，由折叠的性质可得，求出，利用等面积法得到，再求出，得到，则； （2）分，，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，过点E作于H， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 在中，由勾股定理得， ∴； 当时，由折叠的性质可得，， ∴， ∴； 当时，在中， ∴； 综上所述，的长为或或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $