1.2 二次根式的性质 暑假题型专练 2024—2025学年浙教版数学八年级下册

浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质 暑假题型专练 一、利用二次根式的性质进行简单计算 1.下列式子：①()2＝19；②()2＝－19；③()2＝a－b；④a＝－()2(a≤0)．其中正确的个数为(        ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列各式正确的是(       ) A.－(－)2＝5 B.()2－＝2 C.(－)2－＝11 D.＋(－)2＝5 3.下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 4.当时，二次根式的值是        5.已知， ，且ab<0，则=           . 6.先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中； 7.计算：． 二、利用二次根式的性质化简、求值 1.若实数x，y满足x﹣y+1=0且1＜y＜2，化简得（ ） A.7 B.2x+2y﹣7 C.11 D.9﹣4y 2.当1＜a＜2时，代数式＋|1－a|的值是(     ) A.－1 B.1 C.2a－3 D.3－2a 3.若，则化简的结果是（   ） A. B.1 C. D. 4.-1的最小值是      ． 5.如果a≤3, 那么a＋＝         ． 6.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 7.计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 三、数轴与二次根式的化简的综合 1.已知在数轴上的位置如图，化简：（    ）    A. B. C. D. 2.实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A. B. C.a D. 3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A. B. C. D.0 4.如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =           ． 5.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：      ． 6.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 7.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 四、积的算术平方根与商的算术平方根的性质 1.化简（a＞0）的结果是（      ） A. B. C. D. 2.化简的结果是(      ) A. B. C. D. 3.化简的结果是(      ) A.－ B.－ C. D. 4.化简：          ． 5.若是整数，则正整数n的最小值为      ． 6.观察下列各式：①，②；③，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　； （2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　； （3）请证明（2）中的结论． 7.如图，△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动．求经过多少秒后，△BPQ的面积为35 cm2 ，此时P，Q两点间的距离是多少厘米． 五、最简二次根式的识别 1.在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2.下列各式 ①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 4.二次根式因为不符合最简二次根式的条件：                           ，所以它不是最简二次根式． 5.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=       6.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 7.判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ；；． 六、已知最简二次根式求字母的值 1.最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A. B. C. D. 2.若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A.0， B.，0 C.1， D.0，0 3.若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A.1 B.2 C.3 D.6 4.已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为      ． 5.若是最简二次根式，则        ；        ． 6.已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值. 7.已知A＝2，B＝，C＝，其中A，B都是最简二次根式，且A＋B＝C，请求出a的值． 七、复合型二次根式化简以及规律探究 1.已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在 2.已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A. B. C.2 D.4 3.化简为（　　） A. B. C. D.1 4.已知：如图，在中，，，则          ． 5.化简：       ． 6.先阅读下列材料然后作答． 7.先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质 暑假题型专练（参考答案） 一、利用二次根式的性质进行简单计算 1.下列式子：①()2＝19；②()2＝－19；③()2＝a－b；④a＝－()2(a≤0)．其中正确的个数为(        ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】①()2＝19，正确； ②二次根式的被开方数不能是负数，故原式错误； ③()2，只有当a≥b时，式子()2＝a－b才成立，故③不一定正确； ④a＝－()2(a≤0)，正确， 所以正确的个数为2个， 故选B. 2.下列各式正确的是(       ) A.－(－)2＝5 B.()2－＝2 C.(－)2－＝11 D.＋(－)2＝5 【答案】B 【解析】A.－(－)2＝2-3=-1，故A选项错误； B. ()2－＝5-3=2，故B选项正确； C. (－)2－＝6-5=1，故C选项错误； D.＋(－)2＝7+2=9，故D选项错误， 故选B. 3.下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4.当时，二次根式的值是        【答案】2 【解析】∵a=-3 ∴， 故答案是：2． 5.已知， ，且ab<0，则=           . 【答案】±1 【解析】|a|=3， =2，且ab<0， a=3时b=−2，a=−3时b=2， a+b=3+(−2)=1， a+b=(−3)+2=−1， 故答案为：±1. 6.先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中； 【答案】解：小亮；； （2）原式， ∵， ∴原式． 7.计算：． 【答案】解： ． 二、利用二次根式的性质化简、求值 1.若实数x，y满足x﹣y+1=0且1＜y＜2，化简得（ ） A.7 B.2x+2y﹣7 C.11 D.9﹣4y 【答案】A 【解析】求出y=x+1，根据y的范围求出x的范围是0＜x＜1，把y=x+1代入得出+2，推出+2，根据二次根式的性质得出|2x+1|+2|x﹣3|，根据x的范围去掉绝对值符号求出即可． 解：∵x﹣y+1=0， ∴y=x+1， ∵1＜y＜2， ∴1＜x+1＜2， ∴0＜x＜1， ∴， =+2， =+2， =+2， =|2x+1|+2|x﹣3|， =2x+1+2（3﹣x）， =7， 故选A． 2.当1＜a＜2时，代数式＋|1－a|的值是(     ) A.－1 B.1 C.2a－3 D.3－2a 【答案】B 【解析】∵1＜a＜2， ∴=|a-2|=-（a-2），|1-a|=a-1， ∴+|1-a| =-（a-2）+（a-1） =2-1 =1． 故选B． 3.若，则化简的结果是（   ） A. B.1 C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了化简二次根式，先根据绝对值的规律判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简即可． ∵ ∴， 则 ∴ 故选：C． 4.-1的最小值是      ． 【答案】0 【解析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解． -1 =-1 ∵最小值为：1， ∴-1的最小值是0． 故答案为0． 5.如果a≤3, 那么a＋＝         ． 【答案】3 【解析】根据二次根式的性质可得=|a-3|，结合已知条件即可求得答案. ∵a≤3， ∴|a-3|=3-a， ∴a＋ =a+ =a+|a-3| =a+3-a =3， 故答案为3. 6.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【答案】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 7.计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 【答案】解：（1）， ， ，， ，， 解得：，， ， 的值为； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、数轴与二次根式的化简的综合 1.已知在数轴上的位置如图，化简：（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了利用数轴化简二次根式，先根据数轴可得，且，进而得到，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 解：由数轴可得，，且， ∴，， ∴原式 ， ， ， 故选：． 2.实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A. B. C.a D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 解：由数轴可得：，， ∴，， 则 ， 故选：B． 3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A. B. C. D.0 【答案】B 【解析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 解：由数轴知：， ∴， ∴ =， 故选：B． 4.如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =           ． 【答案】2 【解析】根据数轴可得： ，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可． 本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键． 由题意得，， ∴ ， 故答案为：2． 5.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：      ． 【答案】/ 【解析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，先判定，再化简二次根式即可． 解：由数轴可得：， ∴． 故答案为：． 6.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【答案】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 7.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】解：由实数，在数轴上的位置，得： ，，， 原式 ． 四、积的算术平方根与商的算术平方根的性质 1.化简（a＞0）的结果是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】= ，故选B. 2.化简的结果是(      ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先由式子得出a的取值为a0，再根据二次根式的性质可化简求解. ∵a0， ∴===，故选D. 3.化简的结果是(      ) A.－ B.－ C. D. 【答案】B 【解析】先由式子得出x的取值为x0，故可化简求解. ∵x0， ∴== -x，选B. 4.化简：          ． 【答案】 【解析】根据二次根式的性质进行化简即可． 解：； 故答案为：． 5.若是整数，则正整数n的最小值为      ． 【答案】5 【解析】根据n是正整数，则也是正整数，则20n一定是一个完全平方数，首先把20n分解因数，确定20n是完全平方数时，正整数n的最小值即可． ∵， ∴正整数n的最小值为5． 故答案为：5． 6.观察下列各式：①，②；③，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　； （2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　； （3）请证明（2）中的结论． 【答案】解：(1) (2) (3) 故答案为(1) 7.如图，△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动．求经过多少秒后，△BPQ的面积为35 cm2 ，此时P，Q两点间的距离是多少厘米． 【答案】解：设经过t秒后△BPQ的面积为35 cm2，则BP＝t cm，BQ＝2t cm， ∴S△BPQ=BPBQ=t·2t＝35， 解得t＝或t＝－ (负根舍去)． ∴PQ＝ (cm)． 故经过秒后，△BPQ的面积为35cm2，此时P，Q两点间的距离是cm. 五、最简二次根式的识别 1.在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、是三次根式；故本选项错误； B、被开方数-10＜0，不是二次根式；故本选项错误； C、被开方数a2+1≥0，符合二次根式的定义；故本选项正确； D、被开方数a＜0时，不是二次根式；故本选项错误； 故选C． 2.下列各式 ①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【解析】根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可． ①；②=；③=；④是最简二次根式；⑤是最简二次根式. 故选：C． 3.下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据最简二次根式的概念判断即可． A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4.二次根式因为不符合最简二次根式的条件：                           ，所以它不是最简二次根式． 【答案】被开方数中不含能开的尽方的因式 【解析】最简二次根式必须同时符合两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此解答即可． ∵， ∴二次根式因为不符合最简二次根式的条件：被开方数中不含能开的尽方的因式，所以它不是最简二次根式． 故答案为：被开方数中不含能开的尽方的因式． 5.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=       【答案】2 【解析】因为a为正整数，当a=1时, = 不是最简二次根式，当a=2时， = 是最简二次根式，所以二次根式是最简二次根式， 则最小的正整数a为2 故答案为：2． 6.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 【答案】解：（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式． （2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； （3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式； （4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式； （5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 7.判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ；；． 【答案】解：根据最简二次根式的定义分别进行判断即可． ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式． 六、已知最简二次根式求字母的值 1.最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． ∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 2.若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A.0， B.，0 C.1， D.0，0 【答案】A 【解析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． ∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 3.若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A.1 B.2 C.3 D.6 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 4.已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为      ． 【答案】68 【解析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． ∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 5.若是最简二次根式，则        ；        ． 【答案】 0 【解析】利用最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可得到结果． 解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：0；． 6.已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值. 【答案】解：∵，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式， ∴. ∴，则，，且. ∴，则. 故. 7.已知A＝2，B＝，C＝，其中A，B都是最简二次根式，且A＋B＝C，请求出a的值． 【答案】解：∵A＝2，B＝，A，B都是最简二次根式，且A＋B＝C， ∴a＋3＝3a－1， 解得a＝2 七、复合型二次根式化简以及规律探究 1.已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在 【答案】A 【解析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 解：解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 2.已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A. B. C.2 D.4 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 解：解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 3.化简为（　　） A. B. C. D.1 【答案】C 【解析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值 解：＝. 故选C. 4.已知：如图，在中，，，则          ． 【答案】 【解析】过点C作CD⊥AB于D，根据已知及三角形内角和定理求得，由直角三角形的性质求出，则可利用勾股定理求得AD，并由此求出BD，即可再根据勾股定理求出BC． 解：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵， ∴， ∵，， 则 ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 5.化简：       ． 【答案】 【解析】利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可． 解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6.先阅读下列材料然后作答． 【答案】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即 ，， ，， ，， ． 7.先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】解：（1）； （2）； （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$