精品解析：黑龙江省鸡西市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

鸡西市2024－2025年度第二学期第二次质量监测八年级数学试题 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开方开不尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 2. 将一次函数写成的形式，则k与b的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】去括号化简,然后对应系数即可． 【详解】解:． 所以． 故选C 【点睛】此题考查的是将一次函数的解析式化为一般形式,掌握一次函数的一般形式是解决此题的关键． 3. 习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”，某企业扶贫小组准备为贫困户送温暖活动，该企业对扶贫对象的年龄结构进行了随机抽样调查，调查所得的一组数据的方差公式是，则这组数据的平均数和样本容量分别是（ ） A. 50，45 B. 50，28 C. 45，50 D. 45，36 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平均数和样本容量的定义及方差，熟练掌握平均数和样本容量的定义及方差是解题的关键． 根据平均数的概念和样本容量指的是一个样本中所包含的单位数及方差公式的意义可直接进行求解． 【详解】解：∵一组数据的方差公式是 ∴这组数据的平均数为45，样本容量为50． 故选C． 4. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意； D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意； 故选C． 5. 如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象得当时，． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的解集． 6. 如图，在中，，的角平分线交于点E，连接，若恰好垂直于，则的值为（ ） A. 64 B. 36 C. 20 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题．根据直角三角形的性质可知，然后根据平行四边形的性质及角平分线的定义，即可得到，进一步推理可得，，从而可得，再用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：， ，， 的角平分线交于点E， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ． 故选A． 7. 如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了函数图像的有关性质，理解题意明白自变量与因变量之间的关系是解题的关键． 分析铁块的运动轨迹，分为三段，完全在水里、一部分在水里、完全在水面三段，即可求解． 【详解】解：根据题意，在实验中有3个阶段， ①铁块在液面以下，液面的高度不变； ②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低； ③铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变； 分析可得，B符合描述； 故选：B． 8. 如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题. 【详解】 连接AF、EC． ∵BC＝4CF，S△ABC＝12， ∴S△ACF＝×12＝4， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥AC， ∴S△DEB＝S△DEC， ∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC， ∵EF∥AC， ∴S△AEC＝S△ACF＝4， ∴S阴＝4． 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 9. 如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连结EF，若AB＝6，BC＝4，则FD的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，∵ED=EG，EF=EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中，，解得x=4．故选B． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题． 10. 如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由翻折的性质及全等三角形的性质可判断①；根据正方形的性质及角的和差关系可判断③；根据三角形的周长公式可判断④；当是的中点时，可得，再判断②的正确性． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴，，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴， 故③正确； ∵的周长，， ∴的周长， 是定值，故④正确， ∵当是的中点时，可得，故②错误， ∴正确的结论有①③④． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 把化简为最简二次根式，结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题的关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量x的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 13. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件______，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，可使平行四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一）． 14. 将直线向右平移m（）个单位长度后，经过点，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移． 先求出平移后的函数解析式，在根据其经过点计算即可． 【详解】解：将直线向右平移m（）个单位长度得到， ∵将直线向右平移m（）个单位长度后，经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 16. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F是的中点，连接．若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据已知条件可知是的中位线，进而求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴ ∵点F是的中点，点E为边的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：3． 17. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中勾股定理的应用，明确题意，表示出直角三角形中三边长度，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设绳索的长为尺，根据题意表示出、长度，根据勾股定理可列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：（尺），（尺），（尺）， （尺）， 设绳索尺，尺， 在中， 即， 解得． 答：绳索的长为尺． 故答案为：． 18. 菱形的对角线分别为12和16， 分别为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为 ______ ． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、轴对称求最短路径； 作点N关于的对称点E，连接交于点F，连接，可得（当P在上时等号成立），即的最小值是的长，然后根据菱形的性质求出菱形的边长，证明四边形是平行四边形，得到，进而得解． 【详解】解：作点N关于的对称点E，连接交于点F，连接，如图，则， ∵四边形是菱形，为中点， ∴点E在上，E为中点， ∴（当P在上时等号成立），即的最小值是的长； ∵菱形的两条对角线长分别为12和16， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即的最小值是10； 故答案为：10． 19. 以正方形中为斜边，构造等腰，，，连接，，则线段的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形性质和正方形的性质，勾股定理等相关知识，解题的关键是学会用转化的思想和分类讨论思考问题． 当在正方形外时，在中可证． 当在正方形内时，在中可证． 【详解】解：如图1，当在正方形外时，过点作垂直延长线交于点， ∵正方形中为斜边，构造等腰， ∴ ， ∴ 等腰直角三角形， ∵ ， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵为等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 在中， ， ∴ ； 如图2，当在正方形内时，过点作垂直交于点， ∵正方形中为斜边，构造等腰， ∴ ， ∴ 等腰直角三角形， ∵ ， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵为等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 在中， ， ∴ ； 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 20. 已知，如图，点为x轴上一点，它的坐标为，过点作x轴的垂线与直线交于点，以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形；延长交直线OM于点，再以线段为边作正方形…．依此类推，的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，正方形的性质，点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键；先求出，得出规律后即可求解． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线与直线交于点， ∴， ∵线段为边作正方形， ∴， 同理可得，……， 由此得到， ∴的坐标为． 故答案为： 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值： （1）先根据二次根式的乘除运算化简，再和并，即可求解； （2）先根据平方差公式，完全平方公式化简，再计算，即可求解； （3）先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解： 当时，原式． 22. 在人工智能技术飞速发展的时代，某校为了解学生对人工智能知识的熟悉程度，组织了一场知识测试，随机抽取名学生参加测试，对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析，将测试成绩划分为四个等级，并制作出不完整的统计图如下： 等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：_____，_____； （2）抽取的名学生中，等级成绩的中位数是_____分，众数是_____分； （3）该校共有1800名学生，若全部参加这次考核，请你估计成绩能达到等级的学生人数． 【答案】（1），， 补全条形图如下： （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数和用样本估计总体， （1）根据等级的人数和所占的百分比即可求出的值，再求出等级的人数即可补全条形图，根据总人数和等级的人数即可求出的值； （2）根据中位数和众数的定义即可得出答案； （3）用乘以等级所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：， 故等级的人数为， ∵， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 B等级成绩从小到大排列处在中间位置的两个数是和，因此中位数是=83.5， 成绩出现次数最多的是，因此众数是， 故答案为：，； 【小问3详解】 （人）， 答：估计成绩能达到等级的学生人数有人 23. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b的值； （2）试着把化成一个完全平方式； 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干中的方法应用完全平方公式展开，对应相等即可得出结果； （2）将7拆分，然后利用完全平方公式即可求解． 【小问1详解】 解：（1）∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式书写二次根式，理解题意，掌握完全平方公式是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为菱形对角线的交点，E为边的中点，连接，于点F，交于点G． （1）若，求线段所在直线的函数解析式． （2）若，求和的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得，由，得， ，得，可求出线段所在直线的函数解析式为； （2）由菱形性质得，，由中点性质得， ，根据， ，得，根据三角形中位线性质得，由，得四边形为平行四边形，得，即得． 【小问1详解】 解：∵点O为菱形对角线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 把、代入， 得， 解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵菱形中，， ∴， ∵，且E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵O为中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的菱形．熟练菱形性质，点的坐标，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形判定和性质，三角形中位线性质，是解题的关键． 25. 在两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶的时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是________千米/时； （2）求图象中线段所在直线的函数解析式； （3）请直接写出乙车行驶多长时间，两车之间的距离为240千米． 【答案】（1）70 （2） （3）小时或6小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键； （1）根据函数图象，结合路程、速度与时间的关系，即可求解； （2）先求出点F的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）先得出的关系式，再分：当乙车到达C地之前与乙车从C地到达A地前两种情况，根据两车之间的距离为240千米建立方程求解 【小问1详解】 解：由函数图象可知：甲车的速度是千米/时； 故答案为：70； 【小问2详解】 解：由图象可知：乙车的速度是千米/时； ∴乙车从C地到达A地所用的时间为小时， ∴乙车从B地到达A地所用的时间为小时， ∴点F的坐标是， 设线段所在直线的函数解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由题意可得：， ， 若两车之间的距离为240千米， 则当乙车到达C地之前时，，即， 解得：（不合题意，舍去） 当乙车从C地到达A地前，，即， 解得：或， 答：乙车行驶小时或6小时时，两车之间的距离为240千米． 26. 进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 （1）求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资； （2）如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数w和m的关系式． 【答案】（1）甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据3辆甲种货车与2辆乙种货车分别装满共运输24吨物资，2辆甲种货车与5辆乙种货车分别装满共运输38吨物资，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种货车每次装满分别能运输多少吨物资； （2）甲种货车m辆，则乙种货车辆，即可可以写出w与m之间的函数关系式． 【小问1详解】 解：设甲种货车每次装满能运输x吨物资，乙种货车每次装满能运输y吨物资， 依题意得， 解得，， 答：甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资； 【小问2详解】 解：甲种货车m辆，则乙种货车辆， ， 即w与m之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和一次函数关系式． 27. 综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠： 问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求折痕的长． 【答案】（1）； （2） ①四边形为菱形，理由如下： 如图所示，连接， 由折叠性质可得：，，， 又∵四边形为矩形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为菱形； ② 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，，设，，在中，，由此即可求解； （2）①根据折叠的性质可得，，，，根据矩形的性质可得，，根据菱形的判定方法即可求解；②连接，根据矩形的性质，运用勾股定理可求出的值，由（1）的证明方法可得的长，运用菱形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵沿对角线折叠， ∴，，且（对顶角相等）， ∴， ∴，设， ∴， 在中，，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：①略 ②如图所示，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 设，则， 由折叠性质可得：，， ∵， ∴在中，， ∴，解得，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠的知识，全等三角形的判定和性质，菱形的证明方法，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鸡西市2024－2025年度第二学期第二次质量监测八年级数学试题 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 将一次函数写成的形式，则k与b的值分别为（ ） A. B. C. D. 3. 习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”，某企业扶贫小组准备为贫困户送温暖活动，该企业对扶贫对象的年龄结构进行了随机抽样调查，调查所得的一组数据的方差公式是，则这组数据的平均数和样本容量分别是（ ） A. 50，45 B. 50，28 C. 45，50 D. 45，36 4. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 5. 如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，的角平分线交于点E，连接，若恰好垂直于，则的值为（ ） A. 64 B. 36 C. 20 D. 16 7. 如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连结EF，若AB＝6，BC＝4，则FD的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 2 10. 如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 把化简为最简二次根式，结果是________． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是_______． 13. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件______，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 14. 将直线向右平移m（）个单位长度后，经过点，则m的值为________． 15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 16. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F是的中点，连接．若，则________． 17. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是______尺． 18. 菱形的对角线分别为12和16， 分别为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为 ______ ． 19. 以正方形中为斜边，构造等腰，，，连接，，则线段的长度为______． 20. 已知，如图，点为x轴上一点，它的坐标为，过点作x轴的垂线与直线交于点，以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形；延长交直线OM于点，再以线段为边作正方形…．依此类推，的坐标为________． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）化简，再求值：，其中． 22. 在人工智能技术飞速发展的时代，某校为了解学生对人工智能知识的熟悉程度，组织了一场知识测试，随机抽取名学生参加测试，对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析，将测试成绩划分为四个等级，并制作出不完整的统计图如下： 等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：_____，_____； （2）抽取的名学生中，等级成绩的中位数是_____分，众数是_____分； （3）该校共有1800名学生，若全部参加这次考核，请你估计成绩能达到等级的学生人数． 23. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b的值； （2）试着把化成一个完全平方式； 24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为菱形对角线的交点，E为边的中点，连接，于点F，交于点G． （1）若，求线段所在直线的函数解析式． （2）若，求和的长． 25. 在两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶的时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是________千米/时； （2）求图象中线段所在直线的函数解析式； （3）请直接写出乙车行驶多长时间，两车之间的距离为240千米． 26. 进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 （1）求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资； （2）如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数w和m的关系式． 27. 综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠： 问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $