精品解析：河南省信阳市息县2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题

河南息县初中八年级2024-2025学年度下期期末学业质量监测 数学学科试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场、座号和考号填写在试卷和答题卡上的相应位置． 2．本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，计算错误的是（　　） A. B. C. D. 2. 在中，的度数比值可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，斜边，则的值为（ ） A. 12 B. 22 C. 32 D. 无法计算 4. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ） A. 26 B. 13 C. 8.5 D. 6.5 5. 如图，在▱中，对角线和相交于点，点是的中点，若，则的长为（　　） A 5 B. 10 C. 12 D. 15 6. 如图，直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则关于的不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 7. 已知一组数据：2，3，6，x，7，这组数据的平均数是5，则众数是 （ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 8. 如图，在菱形中，和相交于点，直线分别交于点，则的长为（　　） A. 4 B. C. 10 D. 9. 下列表示一次函数与正比例函数（a，b为常数，且）的图象的是（　　） A. B. C. D. 10. 在中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使式子有意义，则的取值范围为________． 12. 从甲、乙两人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初试，他们的平均成绩都是85.5分，方差分别是，你认为更合适去参赛的是______． 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为________． 14. 在中，，点是边上的动点，连接．分别是和的中点，则的最小值是______． 15. 如图，在矩形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点．若，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为贯彻党中央决策部署，落实《健康中国行动（2019-2030年）》有关工作要求，倡导和推进文明健康生活方式，启动实施“体重管理年”活动．为了响应国家号召，某校进行了60秒跳绳比赛，每班参加比赛的人数都是25人，比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100个，90个，80个，70个，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理，并绘制如图所示的统计图．请你根据以上信息解答下列问题： （1）请将表格补充完整； 班级 平均数 中位数 众数 八（1）班 87.6 90 八（2）班 87.6 100 （2）学校建议跳绳成绩70个以下（含70个）的同学参加“健康体魄”计划，根据这50个同学跳绳成绩，估计该校2000名同学中有多少人需要参加此计划？ （3）在平均数相同的情况下，请你从中位数、众数、方差中，任选一个来判断这两个班哪个班成绩更好些？ 18. 随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区新建新能源汽车充电桩．为充电桩，和分别为两侧充电线伸出后的最长距离．已知在中，交于点．求证：是直角三角形． 19. 如图，在矩形中，对角线，相交于点垂直平分，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）设一次函数图象与轴交于点，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 21. 如图，中，，是边上的中点，分别过点，作和的平行线，两线交于点，且交于点，连接． （1）请判断四边形是什么特殊的平行四边形，并进行说明； （2）若，求四边形的面积． 22. 某学校实践活动小组进行了项目化学习． 【项目主题】电影票购买方案的选择 【项目背景】《哪吒之魔童闹海》自春节放映以来，热度居高不下．某校综合实践活动小组以探究“电影票的购买方案”为主题开展项目化学习． 【驱动任务】探究电影票的付款金额与购买量之间的函数关系． 【研究步骤】 ①收集区域内某影院销售电影票的信息； ②对收集的信息进行整理、描述； ③进行信息分析，形成结论． 【数据信息】 信息一：电影院普通票价45元/张，无论购买多少均不打折． 信息二：电影院为了促销，推出两种优惠卡信息如下： ①金卡售价600元/张，每次观影凭卡不再收费；②银卡售价300元/张，每次观影凭卡另收15元． 信息三：普通票正常销售，两种优惠卡使用时不限次数． 根据上述信息，回答以下问题： （1）请分别写出选择银卡、普通票消费时，与之间的函数关系式； （2）在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应函数图象如图所示，请求出点的坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算． 23. 在物理学中，测量是科学研究和日常生活中获取物理量信息的重要手段．数学与物理联系紧密，在数学社团课上，老师让同学们以测量的方式来研究“三角板的平移” （1）【操作探究】 操作一：将两个全等的等腰直角三角板的两条斜边重合，按如图①所示的方式放置； 操作二：将三角板沿方向平移至图②的位置．此时点与点不重合，且． 操作三：测量图②中与的长度． 根据以上操作，填空： 图②中与的数量关系是________．四边形的形状是_______． （2）【类比探究】 小安将两个等腰直角三角板换成两个直角三角板继续探究（如图③），已知三角板的直角边的长为，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图③，在平移过程中，四边形的形状是否能为菱形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的长． （3）【拓展探究】 在（2）探究过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南息县初中八年级2024-2025学年度下期期末学业质量监测 数学学科试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场、座号和考号填写在试卷和答题卡上的相应位置． 2．本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘法．根据二次根式的加减、乘法法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，计算正确，本选项不符合题意； B、，计算正确，本选项不符合题意； C、和不同类二次根式，不能直接相加，故原计算错误，本选项符合题意； D、，计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 在中，的度数比值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质进行判断即可． 【详解】解：在中，， 故的度数比值可能是， 故选D． 3. 在中，斜边，则的值为（ ） A. 12 B. 22 C. 32 D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 4. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ） A. 26 B. 13 C. 8.5 D. 6.5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵直角三角形中，两直角边分别是12和5， ∴斜边为：， ∴斜边上的中线长为×13＝6.5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 5. 如图，在▱中，对角线和相交于点，点是的中点，若，则的长为（　　） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定和性质，根据平行四边形的性质得到点是中点，结合题意得到是的中位线，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线和相交于点， ∴点是中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B ． 6. 如图，直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则关于的不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数与不等式．熟练掌握函数与x轴的交点是解题的关键． 根据直线与轴的交点坐标为，可得关于的不等式组的解集是． 【详解】∵直线与轴的交点坐标为， ∴关于的不等式组的解集是． 故选：B． 7. 已知一组数据：2，3，6，x，7，这组数据的平均数是5，则众数是 （ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求众数．先根据平均数求出的值，再根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：，解得， ∴这组数据为2，3，6，7，7，其中数据7出现次数最多， ∴众数7； 故选：D． 8. 如图，在菱形中，和相交于点，直线分别交于点，则的长为（　　） A. 4 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．利用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 下列表示一次函数与正比例函数（a，b为常数，且）的图象的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象．将a、b与0进行比较，然后分情况讨论其图象的位置即可． 【详解】解：∵正比例函数，∴经过原点，∴排除选项C和D， 若，， 则经过一、二、三象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、三、四象限，经过二、四象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过二、三、四象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、二、四象限，经过二、四象限，选项A符合题意； 故选：A． 10. 在中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义可得，进而可得，然后结合已知条件可得，于是可判断②；根据等边三角形的性质可得，然后根据即可证明，从而可判断①；由与等底（）等高（与间的距离相等）可得，而易得，于是可得，进而可判断④；若=，则根据等腰三角形的性质和平行线的性质易得，但题中未限定这一条件，从而可判断③不一定正确；于是可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形；故②正确； ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵与等底（）等高（与间的距离相等）， ∴， 又∵与同底等高， ∴， ∴；故④正确． 若，即， 即，即， 但题中未限定这一条件， ∴③不一定正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使式子有意义，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数成为解题的关键．根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：． 故答案为：． 12. 从甲、乙两人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初试，他们的平均成绩都是85.5分，方差分别是，你认为更合适去参赛的是______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解决本题的关键． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据甲、乙两人的方差大小由此来判断谁更适合参赛． 【详解】解：因为，即，这说明甲的成绩比乙的成绩更稳定， 在朗诵比赛中，成绩稳定是一个重要的考量因素，所以更合适去参赛的是甲． 故答案为：甲． 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 根据一次函数的交点作答即可． 【详解】解：由图可知，直线与直线相交于点， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 14. 在中，，点是边上的动点，连接．分别是和的中点，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线性质、含30度角的直角三角形的性质，先得出，根据当最小时，取最小值，求出值，进而求出结论． 【详解】解：分别是和的中点， ， 当最小时，取最小值， 点是边上的动点， 当时，最小，此时取最小值， 在中，， ， 当时，， ， ， ， 此时取最小值为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点．若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是矩形折叠问题及勾股定理的应用，由折叠得，证明，得出，设，则，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：在矩形中，， ， 是的中点，将沿直线折叠后得到， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）先计算二次根式乘法和除法，再合并即可得． （2）先根据平方差公式及完全平方公式计算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为贯彻党中央决策部署，落实《健康中国行动（2019-2030年）》有关工作要求，倡导和推进文明健康生活方式，启动实施“体重管理年”活动．为了响应国家号召，某校进行了60秒跳绳比赛，每班参加比赛的人数都是25人，比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100个，90个，80个，70个，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理，并绘制如图所示的统计图．请你根据以上信息解答下列问题： （1）请将表格补充完整； 班级 平均数 中位数 众数 八（1）班 87.6 90 八（2）班 87.6 100 （2）学校建议跳绳成绩70个以下（含70个）的同学参加“健康体魄”计划，根据这50个同学跳绳成绩，估计该校2000名同学中有多少人需要参加此计划？ （3）在平均数相同的情况下，请你从中位数、众数、方差中，任选一个来判断这两个班哪个班成绩更好些？ 【答案】（1）见解析 （2）360人 （3）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，折线统计图. （1）根据中位数和众数的定义作答即可； （2）用样本估计总体即可； （3）估计中位数、众数、方差的意义解答即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：由题意可知，（1）班众数为B即90个， （2）班中位数在第13个数上，为C即80个， 将表格补充完整如下； 班级 平均数 中位数 众数 八（1）班 87.6 90 90 八（2）班 87.6 80 100 【小问2详解】（人）， 答：该校有360人需要参与计划； 【小问3详解】 从中位数来看，（1）班是90个，（2）班是80个，因此（1）班成绩更好些．（答案不唯一）． 18. 随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区新建新能源汽车充电桩．为充电桩，和分别为两侧充电线伸出后的最长距离．已知在中，交于点．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理． 直接根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理可得出的长，根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】证明：∵ ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴． ∴， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 19. 如图，在矩形中，对角线，相交于点垂直平分，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质． 由矩形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）设一次函数的图象与轴交于点，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， （1）利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出b的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据三角形的面积公式求出面积即可； （3）根据A的坐标，结合图象即可求得． 【小问1详解】 解：把代入， ， ， ， 把代入， ， ； 【小问2详解】 解：一次函数，当时，， 解得：， ， ， ； 小问3详解】 解：一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， 不等式的解集为． 21. 如图，中，，是边上的中点，分别过点，作和的平行线，两线交于点，且交于点，连接． （1）请判断四边形是什么特殊的平行四边形，并进行说明； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形，说明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，含角的直角三角形的性质． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据菱形的判定定理证明； （2）根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据菱形的面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在中，D为边上的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 22. 某学校实践活动小组进行了项目化学习． 【项目主题】电影票购买方案的选择 【项目背景】《哪吒之魔童闹海》自春节放映以来，热度居高不下．某校综合实践活动小组以探究“电影票的购买方案”为主题开展项目化学习． 【驱动任务】探究电影票的付款金额与购买量之间的函数关系． 【研究步骤】 ①收集区域内某影院销售电影票的信息； ②对收集的信息进行整理、描述； ③进行信息分析，形成结论． 【数据信息】 信息一：电影院普通票价45元/张，无论购买多少均不打折． 信息二：电影院为了促销，推出两种优惠卡信息如下： ①金卡售价600元/张，每次观影凭卡不再收费；②银卡售价300元/张，每次观影凭卡另收15元． 信息三：普通票正常销售，两种优惠卡使用时不限次数． 根据上述信息，回答以下问题： （1）请分别写出选择银卡、普通票消费时，与之间的函数关系式； （2）在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点的坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算． 【答案】（1）， （2），， （3）当时，选择普通票消费合算；当时，选择银卡和普通票消费一样；当时，选择银卡消费合算；当时，选择金卡和银卡消费一样；当时，选择金卡消费合算 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别根据相关信息解答即可； （2）联立交点所在的两个函数，分别建立关于x和y的二元一次方程组并求解，从而求出点A、B、C的坐标即可； （3）根据图象比较三个函数的函数值即可． 【小问1详解】 解：选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为， 选择普通卡消费时，y与x之间的函数关系式为 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴， 与联立， 得， 解得， ∴， 对于，当时，得， 解得， ∴． 【小问3详解】 根据图象，当时，选择普通票消费合算； 当时，选择银卡和普通票消费一样； 当时，选择银卡消费合算； 当时，选择金卡和银卡消费一样； 当时，选择金卡消费合算． 23. 在物理学中，测量是科学研究和日常生活中获取物理量信息的重要手段．数学与物理联系紧密，在数学社团课上，老师让同学们以测量的方式来研究“三角板的平移” （1）【操作探究】 操作一：将两个全等的等腰直角三角板的两条斜边重合，按如图①所示的方式放置； 操作二：将三角板沿方向平移至图②的位置．此时点与点不重合，且． 操作三：测量图②中与的长度． 根据以上操作，填空： 图②中与的数量关系是________．四边形的形状是_______． （2）【类比探究】 小安将两个等腰直角三角板换成两个的直角三角板继续探究（如图③），已知三角板的直角边的长为，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图③，在平移过程中，四边形的形状是否能为菱形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的长． （3）【拓展探究】 在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1），平行四边形 （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，平移的性质，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． （1）由平移的性质可得，可得结论； （2）先证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将三角板沿方向平移， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，平行四边形； 【小问2详解】 能．连接， ∵， ∴， ∵将三角板沿方向平移， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是菱形， ∵， ∴此时是等边三角形． ∴， ∴； 【小问3详解】 当时，为等腰三角形，如图， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ， ， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形， 如图，过点B作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不合题意舍去， 综上所述：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$