第二十讲：乘法公式（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十八讲：乘法公式 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平方差公式 1. 平方差公式的推导 (1)代数运算证明法：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝ a2－b2 . (2)几何图形证明法：图①中阴影部分的面积为a2－b2，把它分割并拼接成图② 中的长方形，长为(a＋b)，宽为(a－b)，故阴影部分的面积为(a＋b)(a－b). 故(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2. 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 知识点02：完全平方公式 1. 完全平方公式的推导： (1)代数运算证明法 (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2； (a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2 . (2)几何图形证明法(数形结合思想) 图①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab； 图②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 2. 完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍. 口诀记忆： 首平方，尾平方， 二倍乘积在中央， 中央符号看前方. 知识点03：添括号 1.添括号：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 . 即：用字母表示为a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝a－(－b－c)； a－b－c＝a－(b＋c)＝a＋(－b－c). 2.添括号的应用：添括号在利用乘法公式计算中应用广泛，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算. 考点1：用平方差公式进行运算 【典型例题】 下列算式中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特征是解题的关键； 根据平方差公式的结构特征，逐一分析各选项是否符合两数和与两数差的乘积形式． 【详解】A．第二个括号可提取负号，得，不符合平方差公式，故不符合题意； B．第一个括号可写为，第二个括号为，原式，不符合平方差公式，故不符合题意； C．第二个括号可写为，原式变为，即，符合平方差公式结构，结果为，符合条件，故符合题意； D．直接为，不符合平方差公式，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 运用乘法公式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的乘法运算，利用平方差公式计算即可求解，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式训练2】 如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，运用平方根解方程．通过观察方程结构，利用平方差公式将原方程转化为关于的方程，结合非负性确定最终解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 考点2：平方差公式与几何图形 【典型例题】 如图，大正方形与小正方形面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，由题意得出，表示出，即可得出答案，采用数形结合的思想，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故选B． 【变式训练1】 如图，边长的正方形纸片，剪去一个边长为m的正方形之后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形宽为2，则长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形与平方差公式的应用，先求出剩余部分的面积，而拼成的长方形宽为2，利用长方形的面积公式即可求出长，即可作答． 【详解】解：依题意得，剩余部分面积为：， 而拼成的长方形宽为2， 则长是， 故选：C． 【变式训练2】 某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边增加，另一组对边减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，设正方形原来的边长为，分别表示出改造前后图形的面积即可得到答案． 【详解】解：设正方形原来的边长为， 由题意得，改造前的图形面积为，改造后的图形面积为， ∴改造以后的图形面积与原来的面积相比减少， 故选：B． 考点3：用完全平方公式进行运算 【典型例题】 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握这些公式的运算规则． 依次对每个选项运用完全平方公式和平方差公式进行展开，判断其正确性． 【详解】解：A、根据完全平方公式，而不是，所以该选项运算错误； B、根据平方差公式，所以该选项运算正确； C、根据完全平方公式，而不是，所以该选项运算错误； D、将变形为，而不是，所以该选项运算错误． 故选：B． 【变式训练1】 已知，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式展开代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 【变式训练2】 下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式一验证即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 考点4：通过完全平方公式的变式求值 【典型例题】 若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键， 利用完全平方公式展开已知等式，联立相加直接求解． 【详解】∴ 和 ， ∴，， 将两式相加：， ， 两边同时除以2，得： 故选：B． 【变式训练1】 已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式，换元法是解题的关键． 通过变量代换，将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，利用代数运算求解目标表达式的值． 【详解】解：设，则， 原方程变为： 展开并整理： ∴． 故选：C． 【变式训练2】 已知关于x的式子，则（　　） A．9 B．10 C．11 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 一、单选题 1．在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，其结构特征是两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，需逐一验证各选项是否符合该结构． 【详解】解：A、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； B、，可以用平方差公式计算，本选项符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； D、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； 故选：B． 2．已知，则代数式的值是（   ） A．20 B．8 C．16 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，代入求值，将所求代数式根据整式的混合运算展开，合并，再把已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故选：A ． 3．若，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式和合并同类项，先根据运算法则进行化简，然后整体代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ． 故选B． 4．关于题目“用简便方法计算：．”嘉嘉和淇淇两位同学计算的方式如下： 嘉嘉： ． 淇淇： ． 其中过程和结果都正确的是（   ） A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法公式的应用，运用乘法公式可计算出两位同学的计算结果，再进行判断即可． 【详解】解：嘉嘉的解法： ． 过程正确，结果正确； 淇淇的解法： ． 故过程错误，结果也错误； 故选：A． 5．若是完全平方式，则m的值是（    ） A．11 B．7或 C．11或 D．7或 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．完全平方公式：，这里首末两项是和8这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和8积的2倍，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴在中，， 解得：或． 故选：C． 6．如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示与之间的关系，则这个关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积可表示为其边长×边长或4个全等长方形的面积+中间小正方形的面积求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故选∶A． 7．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键，利用平方差公式逐步化简原式，观察规律得出结果． 【详解】解：前两项相乘： 再乘以第三项： 继续乘以第四项： ∴每乘一项，结果变为． 重复此过程，直到最后一项： 原式化简后为： 故选：C． 8．如图，在图（1）所示的边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形，在将其裁剪后拼成图（2）所示的平行四边形，通过计算两个图形阴影部分的闻积，可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 图甲中阴影的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，即，图乙中平行四边形底边为，高为，即面积，两面积相等所以等式成立． 【详解】解：∵两个图中的阴影部分的面积相等，甲的面积，乙的面积， ∴． 故选D． 二、填空题 9．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，利用整体思想解题是关键．根据完全平方公式将变形为，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为： 10．已知多项式是一个完全平方式，则实数m的值是 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是明确完全平方公式的形式． 根据完全平方公式的形式，确定出一次项系数与常数项的关系，进而求出的值． 【详解】∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即， 解得：或， 故答案为：7或． 11．定义一种新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，完全平方公式，解题的关键是理解新定义运算．根据新定义运算法则和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 12．若是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟知完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方．据此可得，解方程即可求出a的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴，解得， 故答案为：． 13．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式． 逆用平方差公式进行运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．已知，代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，利用整体代入思想是解答本题的关键．首先利用完全平方公式展开，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的展开与比较，以及对应项系数的比较，熟练掌握代数式的展开和对应项系数的比较方法是解题的关键．这道题是一个代数式等式问题，需要找到的值，使得等于，可以通过展开，比较两边的对应项来找到的值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较的系数，得到 ， 故答案为：． 16．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，先根据完全平方公式将所求式子变形，再整体代入计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键．根据单项式乘以多项式以及平方差公式进行计算，再将，代入，即可求解． 【详解】解：原式. 当，时，原式=0. 18．若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点解答即可求解，掌握完全平方式的特点是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即的值为． 19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式： ； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2矩形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将写为，利用平方差公式即可求解； （3）原式变形为，连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： 图1中阴影部分的面积为，图1中阴影部分的面积为， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 20．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料． 阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求 ， ； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的值； (3)若，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式． （1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解； （2）先配凑完全平方公式求出，值，再根据三角形三边关系求出第三边； （3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：， ， ， ，解得， 是的三边长， ， ， 是正整数， ； （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ． 21．把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1； (2)． 【分析】本题考查了完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意可知当时，取最小值0，当时，取最小值0，代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：，1； （2）解： ， ∴，， ∵当时，取最小值0，当时，取最小值0， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十八讲：乘法公式 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平方差公式 1. 平方差公式的推导 (1)代数运算证明法：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝ a2－b2 . (2)几何图形证明法：图①中阴影部分的面积为a2－b2，把它分割并拼接成图② 中的长方形，长为(a＋b)，宽为(a－b)，故阴影部分的面积为(a＋b)(a－b). 故(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2. 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 知识点02：完全平方公式 1. 完全平方公式的推导： (1)代数运算证明法 (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2； (a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2 . (2)几何图形证明法(数形结合思想) 图①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab； 图②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 2. 完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍. 口诀记忆： 首平方，尾平方， 二倍乘积在中央， 中央符号看前方. 知识点03：添括号 1.添括号：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 . 即：用字母表示为a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝a－(－b－c)； a－b－c＝a－(b＋c)＝a＋(－b－c). 2.添括号的应用：添括号在利用乘法公式计算中应用广泛，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算. 考点1：用平方差公式进行运算 【典型例题】 下列算式中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特征是解题的关键； 根据平方差公式的结构特征，逐一分析各选项是否符合两数和与两数差的乘积形式． 【详解】A．第二个括号可提取负号，得，不符合平方差公式，故不符合题意； B．第一个括号可写为，第二个括号为，原式，不符合平方差公式，故不符合题意； C．第二个括号可写为，原式变为，即，符合平方差公式结构，结果为，符合条件，故符合题意； D．直接为，不符合平方差公式，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 运用乘法公式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的乘法运算，利用平方差公式计算即可求解，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式训练2】 如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，运用平方根解方程．通过观察方程结构，利用平方差公式将原方程转化为关于的方程，结合非负性确定最终解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 考点2：平方差公式与几何图形 【典型例题】 如图，大正方形与小正方形面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，由题意得出，表示出，即可得出答案，采用数形结合的思想，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故选B． 【变式训练1】 如图，边长的正方形纸片，剪去一个边长为m的正方形之后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形宽为2，则长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形与平方差公式的应用，先求出剩余部分的面积，而拼成的长方形宽为2，利用长方形的面积公式即可求出长，即可作答． 【详解】解：依题意得，剩余部分面积为：， 而拼成的长方形宽为2， 则长是， 故选：C． 【变式训练2】 某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边增加，另一组对边减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，设正方形原来的边长为，分别表示出改造前后图形的面积即可得到答案． 【详解】解：设正方形原来的边长为， 由题意得，改造前的图形面积为，改造后的图形面积为， ∴改造以后的图形面积与原来的面积相比减少， 故选：B． 考点3：用完全平方公式进行运算 【典型例题】 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握这些公式的运算规则． 依次对每个选项运用完全平方公式和平方差公式进行展开，判断其正确性． 【详解】解：A、根据完全平方公式，而不是，所以该选项运算错误； B、根据平方差公式，所以该选项运算正确； C、根据完全平方公式，而不是，所以该选项运算错误； D、将变形为，而不是，所以该选项运算错误． 故选：B． 【变式训练1】 已知，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式展开代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 【变式训练2】 下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式一验证即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 考点4：通过完全平方公式的变式求值 【典型例题】 若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键， 利用完全平方公式展开已知等式，联立相加直接求解． 【详解】∴ 和 ， ∴，， 将两式相加：， ， 两边同时除以2，得： 故选：B． 【变式训练1】 已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式，换元法是解题的关键． 通过变量代换，将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，利用代数运算求解目标表达式的值． 【详解】解：设，则， 原方程变为： 展开并整理： ∴． 故选：C． 【变式训练2】 已知关于x的式子，则（　　） A．9 B．10 C．11 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 一、单选题 1．在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值是（   ） A．20 B．8 C．16 D．10 3．若，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．5 D．10 4．关于题目“用简便方法计算：．”嘉嘉和淇淇两位同学计算的方式如下： 嘉嘉： ． 淇淇： ． 其中过程和结果都正确的是（   ） A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都对 D．两人都不对 5．若是完全平方式，则m的值是（    ） A．11 B．7或 C．11或 D．7或 6．如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示与之间的关系，则这个关系是（    ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在图（1）所示的边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形，在将其裁剪后拼成图（2）所示的平行四边形，通过计算两个图形阴影部分的闻积，可以得到（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若，则的值为 ． 10．已知多项式是一个完全平方式，则实数m的值是 ． 11．定义一种新运算：，则 ． 12．若是完全平方式，则 ． 13．已知，，则 ． 14．已知，代数式 ． 15．若，则 ． 16．已知，则的值为 ． 三、解答题 17．先化简，再求值：，其中，． 18．若多项式是一个完全平方式，求的值． 19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式： ； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 20．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料． 阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求 ， ； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的值； (3)若，试比较与的大小关系，并说明理由． 21．把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$