第二十一讲：用提公因式法分解因式（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级上册数学（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十一讲：用提公因式法分解因式 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：因式分解 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 2. 整式乘法与因式分解的关系 知识点02：公因式 1. 定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式. 2. 确定公因式的步骤 (1)定系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数 (2)定字母(或多项式)：取各项中的相同字母因式(或相同多项式因式) (3)定指数：确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数，取其中指数最低的 (4)写结果 知识点03：用提公因式法分解因式 1. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 考点1：判断是否是因式分解 【典型例题】 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 根据因式分解的定义，对每个选项进行分析判断． 【详解】A．中等号右边不是积的形式，不符合题意； B．，不符合题意； C．符合因式分解的定义，符合题意； D．中等号右边不是积的形式，不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】 下列自左向右两个变形中， 甲：；乙： 说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义． 根据因式分解的定义，判断甲、乙是否为将多项式分解为整式乘积的形式即可． 【详解】解：甲：，因式分解的对象应为多项式，而是单项式，不符合因式分解的条件，因此甲不是因式分解； 乙：，右边为与的和，并非整式的乘积形式，因此乙也不是因式分解； 综上，甲、乙均不是因式分解， 故选B． 【变式训练2】 下列等式由左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义及公式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、右边为，包含减法运算，不是乘积形式，故不是因式分解，不符合题意； 、左边为乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法，而非因式分解，不符合题意； 、左边为单项式，分解为两个单项式的乘积，但因式分解对象应为多项式，不符合题意； 、左边为二次三项式，右边为，即两个相同二项式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：． 考点2：已知因式分解的结果求参数 【典型例题】 已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知因式分解结果求参数，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．根据题意将展开，即可得到k的值． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 故选：C． 【变式训练1】 若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解未知系数，根据多项式乘法展开后的对应系数关系，建立方程求解即可. 【详解】解：多项式 因式分解为 ，展开右边得： ， ∴，， 解得：，， 故选：A． 【变式训练2】 若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，求出参数的值即可． 【详解】解：， ∵多项式因式分解后的结果是， ∴，， ∴， 故选：C． 考点3：公因式 【典型例题】 多项式的公因式是（　　） A． B． C．ma D．mb 【答案】A 【分析】本题考查了提取公共因式． 直接提取公共因式即可． 【详解】解：、均存在因式， 故选：A． 【变式训练1】 将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 【变式训练2】 多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 考点4：提取公因式因式分解 【典型例题】 将多项式因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，通过提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 故选D． 【变式训练1】 分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式训练2】 已知，，则的值为（   ） A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是正确进行因式分解并计算．先对进行提公因式，在代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 一、单选题 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的识别，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：选项A：，这是整式乘法运算的展开过程，而非因式分解，排除． 选项B：，右边含有分式，不符合整式的要求，排除． 选项C：，左边为多项式，右边通过提取公因式转化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 选项D：，右边未完全分解为积的形式，仍存在加法运算，排除． 故选C． 2．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解．设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应求解即可． 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∴， ∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是， ∴， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选：D 3．已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法是关键． 通过提取公因式将原式分解因式，再对比系数确定参数值即可得． 【详解】解： 由题意可得，， ∴，. ∴． 故选：B． 4．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式．根据提公因式法，找出各项的公因式即可． 【详解】解：， 应提取的公因式为， 故选：B． 5．下列多项式中，能分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义求解即可，利用因式分解的意义是解题的关键． 【详解】解：A、 是平方和，无法分解，不符合题意； B、，无法分解，不符合题意； C、，无法分解，不符合题意； D、，符合平方差公式，分解为，符合题意； 故选：D． 6．对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（   ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断甲、乙变形是否符合将多项式分解为整式乘积的形式即可解答． 【详解】解：甲：中，因式分解的对象应为多项式，而是单项式，不符合因式分解的条件，因此甲不是因式分解； 乙：中，虽然左边是多项式，但右边括号中的是分式，导致整体结果不是整式的乘积，因此乙也不是因式分解； 综上，甲、乙均不是因式分解， 故选：B． 7．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用公因式法进行因式分解，确定多项式的公因式需提取各项系数的最大公约数和共有字母的最低次幂，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ∴将多项式分解因式时，应提取的公因式是 故选：C 8．一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据长方形周长和面积计算公式可得，，再把所求式子分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵一个长方形的长、宽分别为m、n，且这个长方形的周长为18，面积为15， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式即可． 【详解】解： 故答案为： 10．与的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式的公因式，把两个多项式分解因式后即可得解． 【详解】解：，，则公因式为； 故答案为：． 11．多项式的一个因式为，则m的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．设分解后的另一个因式为，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得，则可推出，进而得到，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 13．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先提公因式，进而将已知代数式的值代入即可求解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：由， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 14．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：， 故多项式各项的公因式是． 故答案为：． 15．若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解和整式乘法的关系． 先将展开，再根据二次三项式可分解为，可得﹣，即可求出m的值． 【详解】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴， 解得， 故答案为：1． 16．若多项式有一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出a和b的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∵， ∴， ， 解得：． 故答案为：3 三、解答题 17．把下列各式分解因式： (1)    ； (2)； (3)； (4)    ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意（4）式要先对后两项提取负号，出现公因式之后，在进行分解因式． （1）利用提公因式法解答，即可求解； （2）利用提公因式法解答，即可求解； （3）利用提公因式法解答，即可求解； （4）利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 18．先因式分解，再计算求值．，其中． 【答案】40 【分析】本题主要考查因式分解，代入求值，掌握提取公因式法因式分解是关键，根据题意，先提取公因式化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．已知实数与互为倒数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，因式分解，已知式子的值求代数式的值，先由倒数的定义得，再整理，然后把代入计算，即可作答． 【详解】解：与互为倒数， ． 则， ∵ . 20．先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_____，共应用了_______次； (2)若分解因式，则需应用上述方法_____次，结果是________； (3)分解因式：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式法，2 (2)2025， (3) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，同底数幂的乘法，熟练的掌握提公因式法以及多次使用提公因式的方法是解本题的关键． （1）观察分解因式的过程可得答案； （2）逐步提取公因式，从而可得答案； （3）逐步提取公因式，从而可得答案． 【详解】（1）解：观察可知，上述分解因式的方法是提公因式法；第一、二步各用了一次提公因式法，共应用了2次； 故答案为：提公因式法，2． （2）解： …… ， 需应用上述方法2025次，结果是． 故答案为：2025，． （3）解： …… 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十一讲：用提公因式法分解因式 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：因式分解 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 2. 整式乘法与因式分解的关系 知识点02：公因式 1. 定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式. 2. 确定公因式的步骤 (1)定系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数 (2)定字母(或多项式)：取各项中的相同字母因式(或相同多项式因式) (3)定指数：确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数，取其中指数最低的 (4)写结果 知识点03：用提公因式法分解因式 1. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 考点1：判断是否是因式分解 【典型例题】 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列自左向右两个变形中， 甲：；乙： 说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【变式训练2】 下列等式由左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 考点2：已知因式分解的结果求参数 【典型例题】 已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式训练1】 若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 考点3：公因式 【典型例题】 多项式的公因式是（　　） A． B． C．ma D．mb 【变式训练1】 将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 考点4：提取公因式因式分解 【典型例题】 将多项式因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 已知，，则的值为（   ） A．5 B．12 C． D． 一、单选题 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 3．已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 4．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 5．下列多项式中，能分解因式的是（   ） A． B． C． D． 6．对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（   ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 7．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 8．一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 二、填空题 9．分解因式： ． 10．与的公因式是 ． 11．多项式的一个因式为，则m的值为 ． 12．若，则 ． 13．若，，则 ． 14．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是 ． 15．若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 16．若多项式有一个因式为，则的值为 ． 三、解答题 17．把下列各式分解因式： (1)    ； (2)； (3)； (4)    ． 18．先因式分解，再计算求值．，其中． 19．已知实数与互为倒数，且，求的值． 20．先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_____，共应用了_______次； (2)若分解因式，则需应用上述方法_____次，结果是________； (3)分解因式：（为正整数）． 学科网（北京）股份有限公司 $$