专题2.1 代数式（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题2.1 代数式 教学目标 1.在具体情境中，了解代数式，进一步理解字母表示数的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。 2.了解单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的关系。 3.能分析具体问题中的数量关系，并会用代数式表示。 4.会用代入法求代数式的值。 教学重难点 教学重点：夯实基础概念与运算规范。 教学难点：克服抽象性认知障碍及细节错误。 知识点01 用字母表示数 1.用字母表示运算律：如加法交换律a+b=b+a，乘法结合律(ab)c=a(bc)等，用字母表示运算律简洁明了，便于记忆和运用。 2.用字母表示公式：可以表示几何图形的周长、面积、体积公式等。例如长方形周长C=2(a+b)（a为长，b为宽），正方体体积V=a³（a为棱长）。 【即学即练】1．用字母表示运算律：如果用a、b、c分别表示有理数，那么加法交换律可以表示成： ；加法结合律可以表成： ；乘法交换律可以表示成： ；乘法结合律可以表成： ；乘法对加法的分配律可以表示成： ． 【答案】 2．一个长为5cm的长方形的周长为2(5＋b)cm，则字母b表示的是 ． 【答案】宽 【知识点】用字母表示数 【分析】根据长方形的周长等于（长+宽）×2解答即可． 【详解】解：∵长方形的长为5，周长为2(5＋b)， ∴b表示长方形的宽， 故答案为：宽． 【点睛】本题考查长方形的周长、用字母表示数，熟记长方形的周长公式是解答的关键． 知识点02 代数式的概念及书写规范 1.代数式的概念 代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 2.代数式的书写要求 ① 数与字母、字母与字母相乘时省略乘号，数与字母相乘时数字在前； ② 出现多个字母时，字母按照26个字母顺序排列； ③ 相同字母相乘时应写成幂的形式； ④ 1或-1与字母相乘时，1通常省略不写； ⑤ 式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写，带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数. 【即学即练】1．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）下列各式中，不是代数式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式的概念 【分析】把数与表示数的字母用运算符号连结而成的式子叫做代数式，根据此定义可作出判断． 【详解】解：是不等式，不是代数式． 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式的识别，掌握代数式的概念是关键． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）下列式子符合书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】根据代数式的书写格式的要求，一一判断可得答案. 本题主要考查代数式的书写规则：两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时, 乘号都可以省去不写；带分数和字母相乘时要化成假分数；代数式中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式. 【详解】解: A. 应该写出，故选项错误，不符合题意; B．应该写成，故选项错误，不符合题意； C．应该写成，故选项错误，不符合题意； D．符合书写要求，故选项正确，符合题意． 故选：D． 知识点03 列代数式 1.列代数式：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式。 2.列代数式的常用方法：理解和找出问题中的数量关系，同时要掌握一些常见的数量关系，如行程问题（路程 = 速度 × 时间）、工程问题（工作总量 = 工作效率 × 工作时间）等，还要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方等。 【即学即练】（24-25七年级上·安徽黄山·期中）用代数式表示“x的5倍与y的平方的差”正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，根据“x的5倍与y的平方的差”可列出代数式． 【详解】解：根据题意得；． 故选：B． 知识点04 代数式的意义 1.定义：代数式可以从运算关系和运算结果两种情况理解。 从运算关系看，它表示了数与字母、字母与字母之间通过各种运算符号连接的过程； 从运算结果看，它是一个用数、字母和运算符号组成的数学表达式的结果形式。 2.一般是根据代数式中的运算符号和字母所代表的含义来描述。可以结合实际生活情境来赋予代数式意义。 【即学即练】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）买一个排球需要元，买一个篮球需要元，则表示（    ） A．买个篮球和个排球共需多少元 B．买个篮球和个排球共需多少元 C．买个篮球比个排球多花多少元 D．买个篮球比个排球多花多少元 【答案】B 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可知买个排球和个篮球需要元，即可解答． 【详解】解：∵买一个排球需要元，买一个篮球需要元， ∴买个排球需要元，买个篮球需要元， ∴买个排球和个篮球需要元， 故选：B． 知识点05 单项式、多项式、整式 1.单项式 （1）单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 2.多项式 （1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． （2）多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （3）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 3.整式 单项式与多项式统称为整式． 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． 分母中含有字母的式子一定不是整式． 【即学即练】1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义分析即可． 【详解】解：，，0是单项式； 是多项式； ，既不是单项式，也不是多项式． 故选D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列关于单项式的说法中，正确的是（    ） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是4 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的系数、次数确定方法是解题关键．直接利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，数字因数是系数即可得出答案． 【详解】解：单项式的次数为：4，系数是． 故选：C． 3．下列各式中，，是多项式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】多项式的判断 【分析】根据多项式的定义（由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式）逐个判断即可得． 【详解】解：是多项式， 是单项式， 是一个常数，是单项式， 不是整式， 综上，多项式有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式，熟记多项式的定义是解题关键． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）多项式的次数和常数项分别是（    ） A．3，1 B．，1 C．2，1 D．6，1 【答案】A 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式的次数和常数项的定义，多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项，熟练掌握定义是解题关键． 根据多项式的次数的定义及多项式中常数项即可求解． 【详解】解：∵多项式中，次数最高的项的次数是3， ∴这个多项式的次数是3， ∵多项式中，项1不含字母， ∴常数项是1， ∴多项式的次数和常数项分别是3和1． 故选：A 5.在代数式，，，，，中，整式的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的定义，根据整式的定义进行判断即可，正确理解单项式和多项式统称为整式是解题的关键． 【详解】解：代数式，，，，，中是整式为，，，，，共个， 故选：． 知识点06 代数式的值 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫作代数式的值。当字母取不同数值时，代数式的值一般也不同。 2.求代数式值的方法与步骤 一是代入，二是计算．求代数式的值时，一要弄清楚运算符号二要注意运算顺序．在计算时，要注意按代数式指明的运算进行． 【即学即练】当x分别取2和-2时，多项式x6+3x2-5的值（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．无法比较大小 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】将x=2和x=-2代入多项式，然后利用有理数乘方的运算法则进行分析比较． 【详解】解：当x=2时，原式=26+3×22-5， 当x=-2时，原式=（-2）6+3×（-2）2-5=26+3×22-5， ∴当x分别取2和-2时，多项式x6+3x2-5的值相等， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，理解a2=（-a）2是解题关键． 题型01 用含字母的式子表示数 【例1-1】如果用表示自然数，那么偶数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用字母表示数 【分析】根据偶数是2的倍数的特点表示即可. 【详解】解：表示自然数，则偶数可以表示为， 故选B 【点睛】本题考查的是列代数式，理解奇数与偶数的表示方法是解本题的关键. 【变式1-2】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用字母表示数 【分析】根据两位数的表示方法：十位数字个位数字，即可解答． 【详解】解：∵一个两位数，它的十位数是，个位数字是， ∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：． 故选： 【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键． 【变式1-3】夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁． A． B．21 C． D．6 【答案】B 【知识点】用字母表示数 【分析】本题题考查的是用字母表示数，熟练掌握用字母表示数及数量关系是解题的关键． 根据夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，分别用含有字母的式子表示出爸爸今年的岁数、夏明6年后的岁数、爸爸6年后的岁数，用减法即可计算出爸爸6年后比夏明大的岁数．本题还可以根据“年龄差不变”直接得出答案． 【详解】爸爸今年：岁； 6年后，夏明岁； 爸爸：岁； 爸爸比夏明大： （岁）； 故答案为：B 【变式1-4】用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， (5) (6) 【知识点】用字母表示数、列代数式、代数式书写方法 【分析】（）根据加法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （）用长方形的长除以计算出长方形的宽，再根据长方形的周长和面积公式即可解答； （）根据题意，可以用相应的代数式表示它的周长； （）先求出平行四边形的高，然后利用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：加法结合律：， 故答案为：； （2）解：乘法结合律：， 故答案为：； （3）解：乘法对加法的分配律：， 故答案为：； （4）解：长方形的宽是：， 周长是：， 面积是：， 故答案为：，； （5）解：梯形的面积为：， 故答案为：； （6）解：该边上的高是， 则这个平行四边形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用字母表示运算定律，长方形周长和面积公式，列代数式，平行四边形的面积公式，解题的关键是熟练掌握相关内容． 【变式1-1】若表示一个两位数，也表示一个两位数，小明想用、来组成一个四位数，且把放在的左边，你认为下列表达式中哪一个是正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用字母表示数、列代数式 【分析】根据题意，可知新的四位数中扩大了100倍，而没有变，从而可以用含、的代数式表示出这个四位数． 【详解】解：由题意可得新的四位数中扩大了100倍，而没有变，所以这个四位数是：， 故选C． 【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【变式1-2】已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用字母表示数 【分析】本题考查了用字母表示数，设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人，现在总人数是人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数． 【详解】解：设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人， 则完成工作所需的天数为， 故选：D． 【变式1-3】如果，则的值可表示为 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【知识点】有理数乘法运算律、用字母表示数 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律，代数式，利用有理数乘法的分配律把原式转化为，再展开整体代入即可得到答案，掌握有理数乘法的运算律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型02 用字母表示数的变化规律 【例2-1】（表示图形的规律）（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，根据已知图形找出变化规律，利用规律列代数式即可． 【详解】解：摆1个正方形，需要4根火柴，可以写成； 摆2个正方形，需要7根火柴，可以写成； 摆3个正方形，需要10根火柴，可以写成； …… 以此类推，图n要用火柴棒的根数为． 故选C． 【例2-2】（表示数字中的规律）（24-25七年级上·安徽池州·期末）下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______个数，第n行共有______个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是______，最后一个数是______． 【答案】(1)64，8，15， (2)， 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，发现每行的变化规律是解答此题的关键． （1）根据图中的数据，总结规律求解即可； （2）根据图中的数据，总结规律求解即可． 【详解】（1）第1行的最后一个数是，它是自然数1的平方，第1行共有个数； 第2行的最后一个数是，它是自然数2的平方，第2行共有个数； 第3行的最后一个数是，它是自然数3的平方，第3行共有个数； 第4行的最后一个数是16=42，它是自然数4的平方，第4行共有个数； …； ∴第8行的最后一个数是，它是自然数8的平方，第8行共有个数； 第n行共有个数； 故答案为：64，8，15，； （2）第1行的第一个数是，最后一个数是； 第2行的第一个数是，最后一个数是； 第3行的第一个数是，最后一个数是； 第4行的第一个数是，最后一个数是； …； ∴第n行的第一个数是，最后一个数是； 故答案为：，． 【例2-3】（表示算式中的规律）（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律． （1）根据提供的等式写出第5个等式即可； （2）观察前4个等式，找出规律即可得到第n个等式． 【详解】（1）解：第5个等式：． 故答案为：． （2）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 第n个等式：， 猜想第n个等式为． 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（   ） A．133 B．132 C．131 D．130 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，代数式求值，通过观察所给的数的排列，得到每行数的个数规律是解题的关键． 根据每行的最后一个数是这个行的行数a的平方，第a行的数字个数是个，由此规律可进行求解m和n的值，代入求值即可． 【详解】解：第一行1个数， 第二行3个数， 第三行5个数，……， 第a行个数， ∴前a行共有个数， ∵，， ∴第45行共有89个数，最后一个数是2025， ∴2024在第45行第88个数， ∵自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数， ∴，， ∴． 故答案为：133． 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽淮南·期中）根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（   ） A． B． C．252 D．254 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查图形中的数字规律问题．先找到三角形每个位置上的数字规律，确定第⑨个图中的数字，再进行计算即可． 【详解】解：设三角形左上位置的数字为：，右上位置上的数字为：，下方位置上的数字为：， 观察三角形左上位置的数字：，，，，，， 下方位置上的数字：，，，，，， 右上位置上的数字：，，，，，， ∴，，； ∴； 故选：D． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽池州·期末）苯是一种石油化工基本原料，其产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一，如图，小明用9根相同的木棒搭建的第1个图形就是类似于苯的结构简式，他继续用相同的木棒搭建与苯有关联的各个图形，按此规律，用搭建第n（n为正整数）个图形所需木棒 根（含n的式子表示）． 【答案】/ 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型—图形类规律与探究，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解题的关键．根据前3个图形总结规律，即可得到第n个图形所需木棒的根数． 【详解】解：第1个图形有：， 第2个图形有：， 第3个图形有：，…… 第n个图形有：根． 故答案为：． 【变式2-4】（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… (1)写出第4个等式是： ； (2)请根据上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类找规律，有理数的运算；此类规律题要分别找到等式左右两边的规律，寻找不变的量和变化的量是解题的关键． （1）根据题目规律可发现，，把代入即可得出答案； （2）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案． 【详解】（1）解：由题可知：第个等式可为， ∴第四个等式为：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 【变式2-5】（24-25七年级上·安徽·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式． (2)结合（1）观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式． (3)通过猜想，写出（2）中与第个点阵相对应的等式______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类和图形类，解答此类问题的关键是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． （1）根据题中所给出的规律求解即可； （2）根据题中所给出的规律求解即可； （3）根据（1）（2）中所给出的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据题中所给出的规律可知：， 故答案为：； （2）解：由图示可知点的总数是，所以， 故答案为：； （3）解：由（1）（2）可知， 故答案为：． 题型03 程序运算题 【例3】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，先把代入中，计算出结果，若结果小于，则把结果作为新数输入，重复上述过程，若大于，则输出，据此求解即可． 【详解】解：当输入2时，， 当输入时，， ∴输出的结果为， 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查代数式求值、有理数的混合运算，理解程序的运行过程并掌握代数式的求值方法、有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据运算程序列出关于x的代数式，将x代入并计算代数式的值，若结果小于2，则直接输出；否则，将结果作为x的值重复前面的计算即可． 【详解】解：当时， ， ； 当时， ， ∵， ∴输出的结果y是． 故选：A． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）有一个数值转换器，原理如图，若开始输入的值是，则第一次输出的结果是，第二次输出的结果是，…请你探索第次输出的结果是 ． 【答案】3 【知识点】程序流程图与代数式求值、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算与流程图的计算，理解流程图的计算方法，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据流程图的计算方法得到每六次一循环，由此得到第次的结果为，即可求解． 【详解】解：第一次，，则； 第二次，； 第三次，； 第四次，； 第五次，； 第六次，； 第七次，； ∴每六次一循环， ∴， ∴第次的结果为， 故答案为： ． 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽淮南·期中）[程序计算题]按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查求代数式求值，把的值代入程序流程中计算，使其结果大于，输出即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：把代入程序流程得：， 把代入程序流程得：， 则最后输出的结果是． 故答案为：． 题型04 利用整体代入法求代数式的值 【例4-1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若，，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先把所求式子变形为，再把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 【例4-2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）当时，，则当时， ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．将代入求出，即，将代入即可得到答案． 【详解】解：将代入，， ， ， 将代入． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】9 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 将变形，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：9． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽黄山·期末）若整式的值为，则 ； 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查整式的代数求值，熟练掌握代数求值是解题的关键．根据题意得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了求代数式的值．把原式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【变式4-4】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的化简求值，把代入代数式得到即有，再由时，代入代数式为，然后代入求值即可，灵活运用整体思想是解题的关键． 【详解】解：将代入代数式，得， ∴， 当时，代入代数式， 则有， 故答案为：． 题型05 与单项式相关的规律题 【例5】观察下列单项式：，，，，，，，则第个单项式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式中的规律探究，先看符号，奇正偶负，再看系数，系数为，最后看指数为，即可得出结果． 【详解】解：观察可知，第个单项式为； 故选D． 【变式5-1】按照一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式的规律探究，根据分子和分母分别寻找规律：分子的底数都是，而指数是从开始的偶数；分母是底数从开始的自然数的平方，从而得出结论，观察式子找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ， ∴第个式子是， 故选：． 【变式5-2】观察以下一系列单项式的特点：，，，，…，写出第6个单项式，并指出它的系数和次数． 【答案】第6个单项式，系数是，次数是8． 【知识点】单项式的系数、次数、单项式规律题 【分析】本题考查了整式的规律探索题、单项式的系数及次数，准确找出规律是解题的关键．根据整式的规律、单项式的系数及次数进行求解即可． 【详解】解：按此规律得第6个单项式，系数是，次数是8． 【变式5-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【知识点】单项式的系数、次数、写出满足某些特征的单项式、单项式规律题 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 题型06 与多项式相关的探究性问题 【例6】以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式排列中的规律．根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可． 【详解】解：将排列的多项式：，，，，，…，拆成两组单项式为： 第个单项式为和 第个多项式是． 故选：B． 【变式6-1】一组按规律排列的多项式：，，，，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式规律探究，理解题意，认真分析，找到规律是解决本题的关键．根据所给的多项式的项数，次数，即可找到规律，根据规律即可求解． 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，a的指数为从3开始的连续奇数，b的指数为从4开始的连续偶数，其中当n为奇数时a的系数为正，b的系数为负，当n为偶数时，a的系数为负，b的系数为正， ∴第个多项式中的第一项为，第二项为， ∴第个多项式是， 故选：C． 【变式6-2】有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是 ；第项是 ． 【答案】 ； 【知识点】多项式的项、项数或次数、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律变化，由多项式得，符号的规律为：为奇数时，项的符号为负号，为偶数时，项的符号为正号；系数的绝对值的规律为：第个对应的系数的绝对值是；指数的规律为：第个对应的指数是，据此解答即可求解，找到项的变化规律是解题的关键． 【详解】解：有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是；第项是， 故答案为：，． 【变式6-3】按一定规律排列的多项式：…，则第n个多项式是 （用含a、b、n的式子表示）． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数、数字类规律探索 【分析】本题考查了多项式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由，，，，，，可得第个多项式是． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个多项式是， 故答案为：． 题型07 根据实际问题求代数式的值 【例7-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）新学期，合肥市行知实验中学对六楼“劳动教育基地”进行了重新规划，计划在这块长方形土地上铺设一条宽为的等宽度的T形石板路（图中阴影部分），左右两侧种植蔬菜，且两侧种植面积相等．经测量这条石板路的总铺设面积为．设的长度为． (1)的长度为 ，的长度为 （均用含x的代数式表示）．（直接写出答案） (2)当时，求种植蔬菜的面积． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出EF，BE的长度是解题的关键． （1）利用，可用含x的代数式表示出的长度；利用这条石板路的总铺设面积，可用含x的代数式表示出的长度； （2）将代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：； ∴． （2）解：当时， ， ∴当时，种植蔬菜的面积为． 【例7-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）某社区生活超市销售一种扫地机器人和智能垃圾桶，扫地机器人每台定价800元，智能垃圾桶每个定价200元．国庆期间超市决定开展促销活动，向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台扫地机器人送一个智能垃圾桶； 方案二：扫地机器人和智能垃圾桶都按定价的付款． 现某客户要到该社区生活超市购买扫地机器人10台，智能垃圾桶个． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元，若该客户按方案二购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按以上两种方案中的哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)， (2)按方案一购买较为合算 (3)先按方案一先买10台扫地机器人，送10个智能垃圾桶，再按方案二购买20个智能垃圾桶，需付款元． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查列代数式的应用、代数式求值等知识点，理解题意、弄清题目中的数量关系是解题的关键． （1）根据题意，分别按方案一和方案二列代数式化简即可解答； （2）将代入（1）中的两个代数式求值并比较即可解答； （3）按方案一先买10台扫地机器人，送10个智能垃圾桶，再按方案二购买20支智能垃圾桶即可． 【详解】（1）解：按方案一购买，需付款：元， 按方案二购买，需付款：元． 故答案为：，． （2）解：当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴此时按方案一购买较为合算． （3）解：先按方案一先买10台扫地机器人，送10个智能垃圾桶，再按方案二购买20个智能垃圾桶， （元）． 答：需付款元． 【变式7-1】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划通过互联网平台购进，两种型号的新能源汽车，其中型新能源汽车的进货单价为万元；型新能源汽车的进货单价为万元．现经销商共购进型汽车辆，型汽车辆，且享受团购优惠型汽车折，型汽车折，则购进这些汽车共需花费多少万元？当，时，共需花费多少万元？ 【答案】购进这些汽车共需花费万元；当，时，共需花费万元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，根据单价乘以数量乘以折扣分别计算，两种型号的新能源汽车的费用，再求和；然后将，代入进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，购进这些汽车共需花费万元， 当，时，万元， 答：购进这些汽车共需花费万元；当，时，共需花费万元． 【变式7-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知某长方形窗户上的装饰物（阴影部分）如图所示（单位：米），它是由半径均为b米的两个四分之一圆组成． (1)这个长方形窗户的面积可表示为______平方米，窗户上的装饰物所占面积可表示为______平方米；（用含π、a、b的式子来表示） (2)当，时，求这个窗户上能射进阳光部分（空白部分）的面积．（取3.14，结果精确到0.01） 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式的实际应用，根据长方形和圆形的面积公式正确列出代数式是解题的关键． （1）利用长方形和圆形的面积公式即可求解； （2）窗户的面积减去装饰物的面积即为这个窗户上能射进阳光部分的面积，将，代入求解即可． 【详解】（1）解：观察图形可知，这个长方形窗户的面积可表示为：， 装饰物所占的面积可表示为：， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴这个窗户上能射进阳光部分的面积为： ． 【变式7-3】（24-25七年级上·安徽淮南·期中）如图，学校有一块长方形空地，长为，宽为．为了美化环境，分别以长方形的两宽为直径向内作半圆形，然后在该区域种植花卉，其余部分（阴影部分）铺设草坪．（取3） (1)用含，的式子表示草坪的面积； (2)若，，求草坪的面积． 【答案】(1) (2)草坪的面积是 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键熟练掌握长方形面积公式和圆的面积公式． （1）用长方形的面积减去圆的面积即可； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）解：草坪的面积为：； （2）解：当，时，， 所以草坪的面积是． 一．选择题 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此即可求解． 【详解】解：单项式的系数为，次数是5． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（   ） A．代数式不是整式 B．单项式y的系数为0 C．单项式的次数6 D．多项式的次数为6 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数、整式的判断 【分析】本题考查了整式的有关概念：①单项式和多项式统称整式；②单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数；③多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数．根据整式的定义，单项式的次数和系数定义，多项式的次数定义逐个判断即可． 【详解】解：A．代数式是整式，故本选项不符合题意； B．单项式y的系数是1，故本选项不符合题意； C．单项式的次数是，故本选项不符合题意； D．多项式的次数是6，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（） A．单项式的系数和次数分别是和6 B．单项式a的系数是0 C．是五次三项式 D．单项式的系数和次数分别是和2 【答案】A 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了单项式系数和次数的定义，多项式次数的定义，理解定义是解题的关键．单项式中数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；据此进行逐一判断即可． 【详解】A．单项式的系数和次数分别是和6，原说法正确，符合题意； B．单项式a的系数是1，原说法错误，不符合题意； C．是二次三项式，原说法错误，不符合题意； D．单项式的系数和次数分别是和2，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“微信、支付宝、银行卡、云闪付”等移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中非常普遍的支付方式．小明妈妈11月移动支付账单为元，12月领取了政府发放的100元购物消费券，实际支出比上月支出的2倍还多10元，那么12月的支出可表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据小明妈妈11月移动支付账单为元，12月领取了政府发放的100元购物消费券，实际支出比上月支出的2倍还多10元，列出代数式即可． 【详解】解：由题意得，本月的支出可表示为元， 故选：B． 5．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．将代入可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵当时，代数式的值为2026， ∴， ∴， ∴当时， ， 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）定义新运算“@”与“”：，．则的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据，．可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）三个连续奇数，最大的一个是，则最小的一个可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查列代数式，正确理解文字语言中的关键词、找到其中的数量关系是解题的关键． 根据连续的奇数相差是2，据此列出代数式即可解答． 【详解】解：∵三个连续奇数，最大的一个是，， ∴另外两个奇数为：， ∴最小的一个可以表示为． 故选：B． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“的数字规律（n为正整数）”的问题，当时，记，表示两位数，表示三位数，则下列用含n的代数式表示b、c正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，根据题意，分类讨论，进行判断即可． 【详解】解：∵，且n为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，用含n的代数式表示b、c正确的是D， 故选：D． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是2025个由1和组成的数，且满足，则的值为（　　） A．2025 B．4000 C．4025 D．4050 【答案】B 【知识点】乘方的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，根据题意，可知1的个数比的个数多25个，进而得到-1的个数为1000个，进而得到的值为1000个，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：1的个数比的个数多25个， 的个数为， ， ． 故选B． 10．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，下列四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列出代数式．根据图形列出代数式即可解答． 【详解】解：由题可知：阴影部分面积为： 或或 阴影部分不能用表示． 故选：C． 二．填空题 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）关于，的单项式的次数为5，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题考查了单项式的次数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，据此进行解答即可． 【详解】∵关于，的单项式的次数为5， ∴， 故答案为：3 12．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）若，则代数式的值是 ． 【答案】2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，掌握已知式子的值求代数式的值的方法是解题关键． 根据题意可得，，将代数式变形为，代入已知即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴原式， 故答案为：2025 ． 13．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34……实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n个数记为，则与斐波那契数列中的第 个数相同． 【答案】2026 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，数学常识，准确找出数字变化的规律是解题的关键．由于斐波那契数列中的前两个数均为1，故数列中的1可记作，这样，，…，依次化简，结论可得． 【详解】解：∵斐波那契数列中， ∴， ∴ …… 故答案为：2026． 14．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知一列数（为正整数）满足，请通过计算推算： （1） ； （2） （用含的代数式表示）． 【答案】 /0.4 / 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题中公式求解，找到变化规律是解答的关键． （1）根据题中公式，分别求得、、即可求解； （2）根据、、、、中分子、分母与序号n的关系即可得到变化规律，进而可得． 【详解】解：（1）由题意，， ， ， 故答案为：； （2）由， ， ， ， ， ……， 以此类推，， 故答案为：． 三．解答题 15．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 【答案】(1)1 (2)且 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式，理解多项式的相关定义是解答的关键． （1）利用多项式的定义，得出的次数进而得出答案； （2）利用多项式的定义，得出的次数与系数进而得出答案． 【详解】（1）解：时，原多项式变为， ∵该多项式是关于的三次三项式， ∴，解得，即的值为1； （2）解：由题意得：且，即且． 16．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）用字母表示数，可以简洁明了地表达数量之间的关系，从而更有利于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①与的差的平方； ②与两数平方和与，两数积的2倍的差． (2)当，时，求第（1）题中①②所列的代数式的值． (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？ (4)利用你发现的结论：求的值． 【答案】(1)①；② (2)； (3) (4) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、用字母表示数 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值： （1）根据a、b的关系分别列式即可； （2）把a、b的值代入代数式进行计算即可得解； （3）根据计算结果相等写出等式； （4）利用（3）的等式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①依题意得：； ②依题意得：． （2）当时， ； ． （3）． （4） 17．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）铜钱纹因外形像古代的铜钱而得名，铜钱纹象征着财源广进，也奇托了古代人民对自己和家人能够平平安安的美好愿望．铜钱纹在中国古代的一些建筑、生活物品中都随处可见．如图1，图2．图3是把铜钱纹抽象成几何图形的样子，设正方形的边长为． (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积的值（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握正方形，圆，扇形的面积公式是解题的关键． （1）利用直径为的圆的面积减去中间空白部分的面积； （2）将a的值代入（1）中的代数式运算即可． 【详解】（1）解： （2）解：当时， 18．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）科技实验馆开展火箭模型制作比赛，如图为小军同学制作的火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用、的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． (3)火箭实物模型的上面是圆锥，中间是圆柱，这两部分填充火箭的燃烧需要的燃料，当，时，求上面和中间这两部分的体积之和（圆锥的体积公式，计算结果保留） 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值、列代数式． （1）由三角形面积+长方形面积+梯形面积，表示出S即可； （2）把a与b的值代入（1）所得代数式计算即可求出值． （3）根据体积公式进行计算，然后将a与b的值代入即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）将， ，代入得： 这个截面的面积 （3） 将，，代入得： 19．（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知，，，…，按照这个规律完成下列问题： (1) ______． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)328600，见解析 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键． （1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到的结果； （2）根据上面的四个算式总结得到规律； （3）转化为后利用总结的规律即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ； （2）解：猜想：； （3）解： ； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 代数式 教学目标 1.在具体情境中，了解代数式，进一步理解字母表示数的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。 2.了解单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的关系。 3.能分析具体问题中的数量关系，并会用代数式表示。 4.会用代入法求代数式的值。 教学重难点 教学重点：夯实基础概念与运算规范。 教学难点：克服抽象性认知障碍及细节错误。 知识点01 用字母表示数 1.用字母表示运算律：如加法交换律a+b=b+a，乘法结合律(ab)c=a(bc)等，用字母表示运算律简洁明了，便于记忆和运用。 2.用字母表示公式：可以表示几何图形的周长、面积、体积公式等。例如长方形周长C=2(a+b)（a为长，b为宽），正方体体积V=a³（a为棱长）。 【即学即练】1．用字母表示运算律：如果用a、b、c分别表示有理数，那么加法交换律可以表示成： ；加法结合律可以表成： ；乘法交换律可以表示成： ；乘法结合律可以表成： ；乘法对加法的分配律可以表示成： ． 2．一个长为5cm的长方形的周长为2(5＋b)cm，则字母b表示的是 ． 知识点02 代数式的概念及书写规范 1.代数式的概念 代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 2.代数式的书写要求 ① 数与字母、字母与字母相乘时省略乘号，数与字母相乘时数字在前； ② 出现多个字母时，字母按照26个字母顺序排列； ③ 相同字母相乘时应写成幂的形式； ④ 1或-1与字母相乘时，1通常省略不写； ⑤ 式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写，带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数. 【即学即练】1．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）下列各式中，不是代数式的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）下列式子符合书写要求的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 列代数式 1.列代数式：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式。 2.列代数式的常用方法：理解和找出问题中的数量关系，同时要掌握一些常见的数量关系，如行程问题（路程 = 速度 × 时间）、工程问题（工作总量 = 工作效率 × 工作时间）等，还要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方等。 【即学即练】（24-25七年级上·安徽黄山·期中）用代数式表示“x的5倍与y的平方的差”正确的是（  ） A． B． C． D． 知识点04 代数式的意义 1.定义：代数式可以从运算关系和运算结果两种情况理解。 从运算关系看，它表示了数与字母、字母与字母之间通过各种运算符号连接的过程； 从运算结果看，它是一个用数、字母和运算符号组成的数学表达式的结果形式。 2.一般是根据代数式中的运算符号和字母所代表的含义来描述。可以结合实际生活情境来赋予代数式意义。 【即学即练】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）买一个排球需要元，买一个篮球需要元，则表示（    ） A．买个篮球和个排球共需多少元 B．买个篮球和个排球共需多少元 C．买个篮球比个排球多花多少元 D．买个篮球比个排球多花多少元 知识点05 单项式、多项式、整式 1.单项式 （1）单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 2.多项式 （1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． （2）多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （3）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 3.整式 单项式与多项式统称为整式． 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． 分母中含有字母的式子一定不是整式． 【即学即练】1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列关于单项式的说法中，正确的是（    ） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是4 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 3．下列各式中，，是多项式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）多项式的次数和常数项分别是（    ） A．3，1 B．，1 C．2，1 D．6，1 5.在代数式，，，，，中，整式的个数为（   ） A． B． C． D． 知识点06 代数式的值 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫作代数式的值。当字母取不同数值时，代数式的值一般也不同。 2.求代数式值的方法与步骤 一是代入，二是计算．求代数式的值时，一要弄清楚运算符号二要注意运算顺序．在计算时，要注意按代数式指明的运算进行． 【即学即练】当x分别取2和-2时，多项式x6+3x2-5的值（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．无法比较大小 题型01 用含字母的式子表示数 【例1-1】如果用表示自然数，那么偶数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁． A． B．21 C． D．6 【变式1-4】用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 【变式1-1】若表示一个两位数，也表示一个两位数，小明想用、来组成一个四位数，且把放在的左边，你认为下列表达式中哪一个是正确的（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【变式1-3】如果，则的值可表示为 （用含的式子表示）． 题型02 用字母表示数的变化规律 【例2-1】（表示图形的规律）（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（表示数字中的规律）（24-25七年级上·安徽池州·期末）下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______个数，第n行共有______个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是______，最后一个数是______． 【例2-3】（表示算式中的规律）（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)． 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（   ） A．133 B．132 C．131 D．130 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽淮南·期中）根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（   ） A． B． C．252 D．254 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽池州·期末）苯是一种石油化工基本原料，其产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一，如图，小明用9根相同的木棒搭建的第1个图形就是类似于苯的结构简式，他继续用相同的木棒搭建与苯有关联的各个图形，按此规律，用搭建第n（n为正整数）个图形所需木棒 根（含n的式子表示）． 【变式2-4】（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… (1)写出第4个等式是： ； (2)请根据上面的规律计算：． 【变式2-5】（24-25七年级上·安徽·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式． (2)结合（1）观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式． (3)通过猜想，写出（2）中与第个点阵相对应的等式______． 题型03 程序运算题 【例3】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）有一个数值转换器，原理如图，若开始输入的值是，则第一次输出的结果是，第二次输出的结果是，…请你探索第次输出的结果是 ． 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽淮南·期中）[程序计算题]按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ． 题型04 利用整体代入法求代数式的值 【例4-1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若，，则代数式的值为 ． 【例4-2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）当时，，则当时， ． 【变式4-1】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）若，则代数式的值为 ． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽黄山·期末）若整式的值为，则 ； 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，则 ． 【变式4-4】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为 ． 题型05 与单项式相关的规律题 【例5】观察下列单项式：，，，，，，，则第个单项式为（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】按照一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】观察以下一系列单项式的特点：，，，，…，写出第6个单项式，并指出它的系数和次数． 【变式5-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 题型06 与多项式相关的探究性问题 【例6】以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】一组按规律排列的多项式：，，，，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是 ；第项是 ． 【变式6-3】按一定规律排列的多项式：…，则第n个多项式是 （用含a、b、n的式子表示）． 题型07 根据实际问题求代数式的值 【例7-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）新学期，合肥市行知实验中学对六楼“劳动教育基地”进行了重新规划，计划在这块长方形土地上铺设一条宽为的等宽度的T形石板路（图中阴影部分），左右两侧种植蔬菜，且两侧种植面积相等．经测量这条石板路的总铺设面积为．设的长度为． (1)的长度为 ，的长度为 （均用含x的代数式表示）．（直接写出答案） (2)当时，求种植蔬菜的面积． 【例7-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）某社区生活超市销售一种扫地机器人和智能垃圾桶，扫地机器人每台定价800元，智能垃圾桶每个定价200元．国庆期间超市决定开展促销活动，向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台扫地机器人送一个智能垃圾桶； 方案二：扫地机器人和智能垃圾桶都按定价的付款． 现某客户要到该社区生活超市购买扫地机器人10台，智能垃圾桶个． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元，若该客户按方案二购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按以上两种方案中的哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【变式7-1】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划通过互联网平台购进，两种型号的新能源汽车，其中型新能源汽车的进货单价为万元；型新能源汽车的进货单价为万元．现经销商共购进型汽车辆，型汽车辆，且享受团购优惠型汽车折，型汽车折，则购进这些汽车共需花费多少万元？当，时，共需花费多少万元？ 【变式7-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知某长方形窗户上的装饰物（阴影部分）如图所示（单位：米），它是由半径均为b米的两个四分之一圆组成． (1)这个长方形窗户的面积可表示为______平方米，窗户上的装饰物所占面积可表示为______平方米；（用含π、a、b的式子来表示） (2)当，时，求这个窗户上能射进阳光部分（空白部分）的面积．（取3.14，结果精确到0.01） 【变式7-3】（24-25七年级上·安徽淮南·期中）如图，学校有一块长方形空地，长为，宽为．为了美化环境，分别以长方形的两宽为直径向内作半圆形，然后在该区域种植花卉，其余部分（阴影部分）铺设草坪．（取3） (1)用含，的式子表示草坪的面积； (2)若，，求草坪的面积． 一．选择题 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（   ） A．代数式不是整式 B．单项式y的系数为0 C．单项式的次数6 D．多项式的次数为6 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（） A．单项式的系数和次数分别是和6 B．单项式a的系数是0 C．是五次三项式 D．单项式的系数和次数分别是和2 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“微信、支付宝、银行卡、云闪付”等移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中非常普遍的支付方式．小明妈妈11月移动支付账单为元，12月领取了政府发放的100元购物消费券，实际支出比上月支出的2倍还多10元，那么12月的支出可表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）定义新运算“@”与“”：，．则的值是（   ） A． B． C． D．1 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）三个连续奇数，最大的一个是，则最小的一个可以表示为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“的数字规律（n为正整数）”的问题，当时，记，表示两位数，表示三位数，则下列用含n的代数式表示b、c正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是2025个由1和组成的数，且满足，则的值为（　　） A．2025 B．4000 C．4025 D．4050 10．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，下列四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 二．填空题 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）关于，的单项式的次数为5，则的值为 ． 12．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）若，则代数式的值是 ． 13．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34……实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n个数记为，则与斐波那契数列中的第 个数相同． 14．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知一列数（为正整数）满足，请通过计算推算： （1） ； （2） （用含的代数式表示）． 三．解答题 15．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 16．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）用字母表示数，可以简洁明了地表达数量之间的关系，从而更有利于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①与的差的平方； ②与两数平方和与，两数积的2倍的差． (2)当，时，求第（1）题中①②所列的代数式的值． (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？ (4)利用你发现的结论：求的值． 17．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）铜钱纹因外形像古代的铜钱而得名，铜钱纹象征着财源广进，也奇托了古代人民对自己和家人能够平平安安的美好愿望．铜钱纹在中国古代的一些建筑、生活物品中都随处可见．如图1，图2．图3是把铜钱纹抽象成几何图形的样子，设正方形的边长为． (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积的值（结果保留）． 18．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）科技实验馆开展火箭模型制作比赛，如图为小军同学制作的火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用、的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． (3)火箭实物模型的上面是圆锥，中间是圆柱，这两部分填充火箭的燃烧需要的燃料，当，时，求上面和中间这两部分的体积之和（圆锥的体积公式，计算结果保留） 19．（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知，，，…，按照这个规律完成下列问题： (1) ______． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$