精品解析：湖北省武汉市江岸区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

七年级数学 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数的相反数为（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数的性质，根据相反数的定义，直接求解即可． 【详解】解：实数的相反数只需在其前面添加负号，即为． 故选B． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. （3，1） B. （3，-1） C. （-3，1） D. （-3，-1） 【答案】C 【解析】 【分析】由第二象限中坐标特点为，横坐标为负，纵坐标为正，由此即可判断. 【详解】A. （3，1）位于第一象限； B. （3，-1）位于第四象限； C. （-3，1）位于第二象限； D. （-3，-1）位于第三象限； 故选C. 【点睛】此题主要考查直角坐标系的各象限坐标特点. 3. 以下调查中，适合进行抽样调查的是（　　） A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 B. 了解全班同学的身高情况 C. 乘坐飞机前，对乘客进行安全检查 D. 公司招聘，对应聘人员进行面试 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查调查方式的判断，抽样调查适用于调查对象数量多、范围广或具有破坏性的情况，而全面调查适用于数据要求精确或对象数量较少的情况，据此进行判断即可． 【详解】A、调查草莓农药残留是否超标．草莓数量庞大，且检测农药残留需破坏样本，全面检测成本高、不现实，适合抽样调查． B、了解全班同学身高．全班人数有限，全面调查简单且结果更准确，无需抽样． C、飞机安检．涉及安全问题，必须对每位乘客严格检查，属于全面调查． D、公司招聘面试．需逐一评估应聘者，确保公平性，需全面调查． 故选A． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集如图： 故选C． 5. 已知是关于x，y的方程，x＋ky＝3的一个解，则k的值为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：∵是关于x、y的方程x+ky＝3的一个解， ∴把代入到原方程，得1+2k＝3， 解得k＝1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键． 6. 若，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】A． 由，两边同时加2，得，故A错误； B． 由，两边同时乘正数4，得，故B正确； C． 由，两边同时除以正数2，得，故C错误； D． 由，两边同时乘负数，不等号方向改变，得，再两边减4，得，故D错误． 故选B． 7. 如图，点在延长线上，下列条件不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，内错角相等，两直线平行，能得到，不符合题意； B、，同旁内角互补，两直线平行，能得到，不符合题意； C、，内错角相等，两直线平行，能得到，不符合题意； D、，内错角相等，两直线平行，能得到，不能得到，符合题意； 故选D． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛；问：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组若设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，则列方程组是 ， 故选：B． 9. 为了估计池塘中有多少条鱼．先从池塘中捕捞m条鱼作记号，然后放回池塘里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后再捕捞，第二次捕鱼共p条，有n条带记号，则估计整个池塘有鱼（　　）条 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用样本估计总体，根据标记重捕法的原理，假设池塘中鱼的总数为N，第一次标记m条鱼，第二次捕捞p条中有n条带标记．标记比例应相同，即，解方程即可得到N的估计值． 【详解】解：设池塘中鱼的总数为．第一次标记了条鱼，第二次捕捞了条，其中有条带标记．根据标记比例相等的原理，标记鱼在池塘中的比例应等于第二次捕捞中标记鱼的比例，即：解得：， 因此，池塘中鱼的总数估计为条， 故选D． 10. 通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据交点坐标，得到方程组的解为：，通过对方程组进行变量替换，将原方程的解转换为新方程的解． 【详解】解：由题意，方程组的解为：， ∵， ∴， ∴的解为：， ∴； 故选B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 8的立方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 8的立方根是2． 故答案为：2． 12. 在画频数分布直方图时，一组数据的最小值为150，最大值为173，若确定组距为3，则分成的组数是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图相关知识，用最大值减去最小值，求出极差，再除以组距即为所求． 【详解】解：， 即分成的组数为组， 故答案为：8． 13. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是___________． 【答案】##16度 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，解题关键是掌握两直线平行内错角相等． 由题意，直接利用两直线平行内错角相等求解即可． 【详解】解：由题意两条直线平行， ∴， 又， ∴． 故答案为． 14. 已知关于的方程组，若方程组的解满足，则a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，求出是解答本题的关键．先解方程组求出的值，再根据列不等式求解即可． 详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 16. 已知非零实数，且，则关于x的不等式组．下列结论： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组的解集为； ③该不等式组可能无解； ④该不等式组的整数解只有三个且和为负数，则，其中正确的结论是___________．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键．根据各小题的条件求出不等式组的解集即可． 【详解】解：①当时， 原不等式组为， 解不等式得， 解不等式得， ∵， ∴该不等式组的解集为，故①正确； ②当时， ∵， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∵， ∴该不等式组的解集为，故②正确； 由①②知当时，当时，该不等式组有解， 当时，， ∵， ∴该不等式组的解集为，该不等式组有解， 综上，该不等式组有解，故③错误； 由③知，当时，该不等式组解集为， ∵该不等式组的整数解只有三个且和为负数， ∴该不等式组的整数解为， ∴， ∴， ∴， 解得：，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算、解二元一次方程组． （1）根据实数运算法则结合乘法分配律计算即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ①②得：，解得， 将代入①得，解得， 则方程组的解为． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解为． 19. 1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”．今年4月初某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：h），整理所得数据绘制成如下不完整的统计图表． 平均每周的课外阅读时间频数分布表 组别 平均每周课外阅读时间t/h 人数 A 16 B a C b D 8 根据以上图表信息，解答下列问题． （1）这次被调查的同学共有________人，________． （2）B组所在扇形的圆心角的大小是________°． （3）该校共1200名学生，请你估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数． 【答案】（1）80、24 （2） （3）估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于的人数约为480名． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、统计表，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键． （1）由组人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以组人数所占百分比即可； （2）用乘以组人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本、组人数之和所占比例即可． 【小问1详解】 解：这次被调查的同学共有（人)，， 故答案：80、24； 【小问2详解】 解：组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（名)， 答：估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于的人数约为480名． 20. 完成下面推理过程． 如图，于，于，，求证：． 证明：（已知）， （垂直的定义）， （___________）， （___________）． （已知）， 又， （同角的补角相等）． ___________（等式的基本事实）， （___________）． 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义）        ∴（同位角相等，两直线平行） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∵（已知） 又∵（平角的定义） ∴ （同角的补角相等） ∴（等式的基本事实） ∴（内错角相等，两直线平行）． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的三个顶点都是格点，点A的坐标是，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，并回答下列问题． （1）点B的坐标是___________；点C的坐标是___________； （2）将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点的对应点分别是点，请在图中画出三角形； （3）在（2）条件下，连，则四边形的面积为___________； （4）在线段上画点P，使． 【答案】（1） （2）见解析 （3）28 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换、涉及平移性质、三角形的面积公式、平行线的判定与性质，掌握平移性质是解答的关键． （1）根据直角坐标系中点的位置即可解答； （2）根据点坐标平移的规律作图即可； （3）连接，利用割补法求解即可； （4）利用格点的特征过点O作的平行线，交于点P即可． 【小问1详解】 解：根据图形得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，三角形为所求， 【小问3详解】 解：四边形的面积为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图所示，点为所求， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的m倍（m为大于1的整数），制作三种产品共计需要25小时．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．（展板、宣传册和横幅的数量均为正整数） 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 0.2 0.5 制作一件产品所获利润（元） 60 3 20 （1）当时，设展板的数量为x个，横幅的数量为y个． ①请直接写出y与x的关系式___________；（用含x的式子表示） ②若三种产品的数量总数不低于66个，且三种产品全部售完所获利润不低于945元，求一共有几种制作方案． （2）若制作三种产品所获利润为950元，请直接写出m的值． 【答案】（1）①，②4种 （2）或6 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程以及一元一次不等式的实际应用，根据数量关系，列出方程以及不等式组是解题的关键． （1）①由宣传册的数量是展板数量的m倍，可得宣传册的数量是，根据制作三种产品共计需要25小时，即可得出关系式；②结合①中结论，根据三种产品的数量总数不低于66个，且三种产品全部售完所获利润不低于945元，建立一元一次不等式组求解即可； （2）设展板数量为a，横幅数量为b，则宣传册数量为，同理（1）得：，根据制作三种产品所获利润为950元，建立关于二元一次方程，结合a，m取正整数，即可解答． 【小问1详解】 解：①设展板的数量为x个，横幅的数量为y个，则宣传册的数量是， 根据题意得：， 则； ②由①知， 根据题意得：， 解得：， ∵是正整数， ∴的值为， 则一共有种制作方案； 【小问2详解】 解：设展板数量为a，横幅数量为b，则宣传册数量为， 同理（1）得：； 根据题意：，即， ∴， ∵是正整数，且， ∴或， ∴m的值为或． 23. 如图1，是直线上两点（F在E的左侧），点P是直线上一点． （1）如图1，点Q为线段上一点，求证：； （2）如图2，点Q为延长线上一点，过点P作，作和的角平分线交于点G，若，求的度数（用含的式子表示）； （3）如图3，点Q为延长线上一点，，点M在射线上，以点Q为端点作射线的角平分线交射线l于点，若，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线． （1）过点Q作，运用平行线的性质得到，，然后根据线段的和差解答即可； （2）连接，根据平行线的性质得到，，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，，然后解答即可； （3）分三种情况作图，然后过点Q作，过点N作，根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可． 【小问1详解】 证明：过点Q作， 则， ， ， ， 又， ； 【小问2详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 平分， ， 又 由（1）得，； 【小问3详解】 ①如图，过点Q作，过点N作， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ②如图，过点Q作，过点N作， 根据①可得， ∴， ∴， 又∵平分， ∴； ③如图，过点Q作，过点N作， 根据①可得， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， 综上所述，的度数为，或． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，长方形的边轴．已知，且满足． （1）直接写出的值； （2）如图2，点P为x轴上一点．连接和．若三角形的面积等于长方形的面积，求出点P的坐标； （3）如图3，将向下平移m个单位得到．射线交线段于点交y轴于点K，若，求出m的取值范围．（用表示三角形的面积） 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题属于三角形的面积，非负数的性质，平移的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用非负数的性质即可解答； （2）根据题意先求出，设，分，，三种情况讨论即可； （3）根据题意，设，过M作交延长线于F ，则，根据，求出，由，求出，，根据，求出，结合M在线段 上 ，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∴， ∵轴，四边形是长方形， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积等于长方形的面积， ∴， 设， 当时， 若在点A下方时，如图，延长分别交轴于点， 则， ∴，， ∴， ∴， 解得：，不符合题意； 若在点A上方时，如图， ∴， ∴， 解得：，符合题意， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， 解得：，符合题意， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， 解得： ，不符合题意； 综上，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点在上，， ∴直线是一，三象限的角平分线， 设过M作交延长线于F ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵M在线段 上 ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数的相反数为（　　） A. 5 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. （3，1） B. （3，-1） C. （-3，1） D. （-3，-1） 3. 以下调查中，适合进行抽样调查的是（　　） A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 B. 了解全班同学的身高情况 C. 乘坐飞机前，对乘客进行安全检查 D. 公司招聘，对应聘人员进行面试 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 5. 已知是关于x，y的方程，x＋ky＝3的一个解，则k的值为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点在延长线上，下列条件不能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛；问：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ） A B. C. D. 9. 为了估计池塘中有多少条鱼．先从池塘中捕捞m条鱼作记号，然后放回池塘里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后再捕捞，第二次捕鱼共p条，有n条带记号，则估计整个池塘有鱼（　　）条 A. B. C. D. 10. 通过课本数学活动--二元一次方程“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 8立方根是______． 12. 在画频数分布直方图时，一组数据的最小值为150，最大值为173，若确定组距为3，则分成的组数是___________． 13. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是___________． 14. 已知关于的方程组，若方程组的解满足，则a的取值范围为___________． 15. 把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 16. 已知非零实数，且，则关于x的不等式组．下列结论： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组的解集为； ③该不等式组可能无解； ④该不等式组的整数解只有三个且和为负数，则，其中正确的结论是___________．（填写序号） 三、解答题（共8小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解方程组 18. 解不等式组 19. 1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”．今年4月初某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：h），整理所得数据绘制成如下不完整的统计图表． 平均每周课外阅读时间频数分布表 组别 平均每周课外阅读时间t/h 人数 A 16 B a C b D 8 根据以上图表信息，解答下列问题． （1）这次被调查的同学共有________人，________． （2）B组所在扇形的圆心角的大小是________°． （3）该校共1200名学生，请你估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数． 20. 完成下面推理过程． 如图，于，于，，求证：． 证明：（已知）， （垂直的定义）， （___________）， （___________）． （已知）， 又， （同角的补角相等）． ___________（等式的基本事实）， （___________）． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的三个顶点都是格点，点A的坐标是，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，并回答下列问题． （1）点B的坐标是___________；点C的坐标是___________； （2）将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点的对应点分别是点，请在图中画出三角形； （3）在（2）的条件下，连，则四边形的面积为___________； （4）在线段上画点P，使． 22. 一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的m倍（m为大于1的整数），制作三种产品共计需要25小时．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．（展板、宣传册和横幅的数量均为正整数） 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 0.2 0.5 制作一件产品所获利润（元） 60 3 20 （1）当时，设展板的数量为x个，横幅的数量为y个． ①请直接写出y与x的关系式___________；（用含x的式子表示） ②若三种产品的数量总数不低于66个，且三种产品全部售完所获利润不低于945元，求一共有几种制作方案． （2）若制作三种产品所获利润为950元，请直接写出m的值． 23. 如图1，是直线上两点（F在E左侧），点P是直线上一点． （1）如图1，点Q为线段上一点，求证：； （2）如图2，点Q为延长线上一点，过点P作，作和的角平分线交于点G，若，求的度数（用含的式子表示）； （3）如图3，点Q为延长线上一点，，点M在射线上，以点Q为端点作射线的角平分线交射线l于点，若，直接写出的度数． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，长方形的边轴．已知，且满足． （1）直接写出的值； （2）如图2，点P为x轴上一点．连接和．若三角形的面积等于长方形的面积，求出点P的坐标； （3）如图3，将向下平移m个单位得到．射线交线段于点交y轴于点K，若，求出m的取值范围．（用表示三角形的面积） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$