黑龙江省绥化市明水县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（五四学制）

黑龙江省绥化市明水县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于x的方程是一元二次方程的为(    ) A. B. C. D. 2.函数中自变量x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则x为(    ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 4.下列说法中正确的是(    ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 5.有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为(    ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6.把抛物线有的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 7.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是(    ) A. B. C. D. 8.以和为根的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 9.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，于点E，则AE的长是(    ) A. B. C. D. 10.抛物线如图所示，现有下列四个结论：①；②；③；④其中错误的结论有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.一元二次方程的解是         . 12.甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______. 13.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为______. 14.如果关于x的一元二次方程的两个跟同号，那么a的取值范围是______. 15.如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是______. 16.如图所示，DE为的中位线，点F在DE上，且BF平分，，若，，则EF的长为______. 17.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______. 18.直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，则直线AB的解析式为______. 19.如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则______. 20.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点M，N分别是边AB，BC上的点，已知点，点，，连接MN，则的周长为______. 三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题8分 解方程： ； 22.本小题7分 某校学生的上学方式分为A步行、B骑车、C乘公共交通工具、D乘私家车、E其它，该校数学兴趣小组成员在全校随机抽取了若干名学生进行抽样调查，并整理样本数据，得到如下两幅不完整的统计图： 求本次抽样调查的人数，并补全条形统计图； 写出这5组频数的中位数； 若该校共2000名学生，请估计该校选择B骑车上学的人数. 23.本小题6分 如图，在等边中，点D是AC的中点，AF是BC边上的中线，连接BD，以BD为边作等边，连接 求证：四边形AEBF为矩形； 若，求四边形AEBF的面积. 24.本小题7分 已知关于x的方程有两个实数根， 求实数k的取值范围； 若，满足，求实数k的值． 25.本小题10分 “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某自行车专卖店的自行车销售量自2014年底起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆. 若该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，则该自行车专卖店4月份卖出______辆自行车. 若该自行车专卖店，A型车的进价为500元/辆，B型车进价为1000元/辆.如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 12辆 8辆 18800元 第二周 20辆 10辆 27000元 ①A型号的自行车的销售单价为______，B型号的自行车的销售单价为______； ②考虑到自行车需求不断增加，该自行车专卖店准备用不超过25万的金额再进购一批两种规格的自行车共300辆，求B型号最多能购多少辆. 26.本小题10分 甲、乙两地相距480km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地两车速度均保持不变如图，折线ABCD表示轿车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系，线段OE表示货车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题： 线段BC表示轿车在途中停留了______小时，______； 求线段CD对应的函数解析式； 轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车？ 请你直接写出两车何时相距30千米两车均在行驶？答：______. 27.本小题12分 综合与探究 已知抛物线与直线BC交于，两点，与x轴的另一个交点为 求抛物线的解析式. 若N为抛物线顶点，则线段CN的长为______. 如图1，点M是直线BC上方抛物线的一动点，过点M作轴，交BC于点连接CM，BM，求的面积的最大值. 如图2，在抛物线上是否存在点Q，使得是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、是分式方程，故A错误； B、是一元三次方程，故B错误； C、时是一元一次方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确． 故选： 根据一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握此定义是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：由题意得，， 解得 故选： 根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 3.【答案】C  【解析】解：一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4， ， 故选： 根据众数的概念，确定x的值． 本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义． 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【解答】 解：对角线相等的平行四边形是矩形， 不正确； 对角线互相垂直的矩形是正方形， 不正确； 平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， 不正确； 矩形的对角线互相平分且相等， 正确； 故选 5.【答案】B  【解析】解：根据题意得：， 解得：或舍去， 则x的值为 故选： 根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解决本题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：抛物线的顶点坐标为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是 所得抛物线解析式是 故选： 求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标间，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便． 7.【答案】C  【解析】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选： 根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质． 8.【答案】D  【解析】解：根据题意得：， 整理得： 故选： 根据已知两根求出之和与之积，表示出方程即可． 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，，， ， ， ， ， 10.【答案】B  【解析】解：抛物线开口向上，因此， 对称轴为，因此a、b异号，所以， 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，因此， 所以， 因此①是正确的； 由于对称轴为，即， 所以， 因此③不正确； 设抛物线与x轴两个交点坐标为 由图象可知，而对称轴为，根据对称性可知，， 所以当时，，又， 所以， 即， 因此②是正确； 当时，，即， 所以④不正确； 综上所述，正确的结论有①②，错误的结论有③④， 故选： 根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标，结合等式、不等式的性质逐项进行判断即可． 本题考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标与系数的关系是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了解一元二次方程-直接开平方法，属于基础题． 解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【解答】 解：移项得， 故答案： 12.【答案】丙  【解析】解：，，， ， 成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 本题考查方差，解题的关键是掌握方差的意义． 13.【答案】  【解析】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故答案为： 可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据题意得，，解得且， 设方程两根分别为，， 关于x的一元二次方程的两个根同号， ， ， 的取值范围为 故答案为： 根据根的判别式的意义得到，，解得且，设方程两根分别为，，由题意，于是可得到a的取值范围． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． 15.【答案】  【解析】解：当时，， 即不等式的解集为 故答案为： 观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以关于x的不等式的解集为 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 16.【答案】  【解析】解：延长AF交BC于G， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是AG的中点， 是的中位线， 是AC的中点， 是的中位线， 故答案为： 延长AF交BC于G，由三角形内角和定理得到，推出，求出，由等腰三角形的性质推出F是AC的中点，判定EF是的中位线，得到 本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，关键是判定EF是的中位线． 17.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，画出函数图象是解题的关键． 根据题意画出函数图象解直观解答． 【解答】 解：如图： 故答案为 18.【答案】或  【解析】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ，， ， ， 解得， 一次函数解析式为或 故答案为：或 根据待定系数法求出一次函数解析式即可． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 19.【答案】2  【解析】解：如图， 由题意得，，，， 设，则， 在中，， ， 整理得，， 解得，不符合题意，舍去， ， 故答案为： 根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出x的值，求出AD的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 本题考查了勾股定理的证明、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：延长NC到L使，作轴于K， 四边形ABCO是正方形， ，， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ≌， ， ， ， 的周长， 的坐标是， ，， ， 的周长是 故答案为： 延长NC到L使，作轴于K，由正方形的性质推出≌，得到，，由，得到，得到，即可证明≌，得到，即可得到的周长，由勾股定理即可求出OA的长． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形，证明的周长 21.【答案】解：， ， ， ， ， 所以，； ， 或， 所以，  【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； 利用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 22.【答案】150人，补全条形统计图见解答；   30人；   680人．  【解析】本次抽样调查的人数为人， D方式人数为：人， 补全图形如下： 这5组频数按从小到大排序为：9，15，30，45，51， 则这5组频数的中位数为30人； 该校选择B骑车上学的人数约是人 根据C的人数除占的百分比得到抽样调查的总人数，再乘求出D的人数，补全条形统计图即可； 将5组频数按照从小到大顺序排列，找出最中间的数即为中位数； 根据B在样本中占的百分比乘2000即可得到结果． 此题考查了频数率分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，以及中位数，弄清题中的数据是解本题的关键． 23.【答案】证明见解析；    【解析】证明：是等边三角形， ， 点D是AC的中点，AF是BC边的中线， ，，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 四边形AEBF是平行四边形， 又， 平行四边形AEBF是矩形； 解：，是等边三角形， ， 是BC边的中线， ， 在中，由勾股定理得：， 又四边形AEBF是矩形， 先证明四边形AEBF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论； 分别求出AF，BF，再根据矩形面积计算公式列式计算即可． 本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 24.【答案】解：关于x的方程有两个实数根，， ， 解得：， 实数k的取值范围为 关于x的方程有两个实数根，， ， ， ，即， 解得：或不符合题意，舍去 实数k的值为  【解析】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系以及根的判别式. 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出实数k的取值范围； 由根与系数的关系可得、，将其代入中，解之即可得出k的值． 25.【答案】125；   ①700，1300； ②200辆．  【解析】设该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 辆， 该自行车专卖店4月份卖出125辆自行车． 故答案为：125； ①设A型号的自行车的销售单价为a元，B型号的自行车的销售单价为b元， 根据题意得：， 解得：， 型号的自行车的销售单价为700元，B型号的自行车的销售单价为1300元． 故答案为：700，1300； ②设购进B型号的自行车m辆，则购进A型号的自行车辆， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为 答：B型号的自行车最多能购进200辆． 设该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率为x，利用该商城3月份销售自行车的数量=该商城1月份销售自行车的数量该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论； ①设A型号的自行车的销售单价为a元，B型号的自行车的销售单价为b元，利用销售总价=销售单价销售数量，结合近两周的销售情况，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； ②设购进B型号的自行车m辆，则购进A型号的自行车辆，利用进货总价=进货单价购进数量，结合进货总价不超过25万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 26.【答案】   或  【解析】解：轿车在途中停留的时间是：小时，轿车的速度是千米/小时， 轿车到达乙地的时间：小时， ， 故答案是：，； 设线段CD的解析式是， ，， ， 解得：， 则线段CD对应的函数解析式是：； 设OE的解析式是：， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：， 根据题意得：， 解得： 小时， 答：轿车从甲地出发后经过小时追上货车； 两车均在行驶时相距30千米， 设AB的解析式是， 根据题意得：， 解得：， 则AB的解析式是：， 当时， ，解得：，不合题意； 当时， ，解得：，不合题意； 当时， ，解得：； 当时， ，解得： 故答案为：或 根据函数的图象即可直接得出线段BC表示轿车在途中停留了小时，轿车的速度是120千米/小时，求出轿车到达乙地的时间即可得a的值； 利用待定系数法即可求解 求得线段OE的解析式，求得交点坐标，即可求得轿车追上货车的时间； 先求出AB的解析式，分段求出两车相距30千米的时间． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 27.【答案】；  ；   8；   存在，点Q的坐标为，，理由见解析．  【解析】解：将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； ， ， ， ； 故答案为：； 设直线BC的解析式为， 将，代入，得： ， 解得， 直线BC的解析式为； ，， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为8； 存在，点Q的坐标为，，理由如下： 设点Q的坐标为， ，， ，，， 当中，当时，， ， 化简得， 解得或， 当时，点Q与点C重合，不合题意，舍去， 当时，， 点Q的坐标为； 同理，当时，， ， 化简得， 解得或， 当时，点Q与点B重合，不合题意，舍去， 当时，， 点Q的坐标为； 综上可知，点Q的坐标为， 利用待定系数法求解； 根据勾股定理求解； 设M的横坐标为m，则，，根据列出关于m的二次函数关系式，化为顶点式即可求出最大值； 设点Q的坐标为，根据勾股定理表示出，，，当时，，当时，，列方程求解即可． 本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，利用二次函数求最值，勾股定理，直角三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用数形结合及分类讨论思想． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$