精品解析：山西省晋中市左权县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024—2025学年第二学期期末学业水平质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A B. C. D. 4. 若，则下列结论不一定正确的是（ ） A B. C. D. 5. 若是一个最简分式，则可以是（ ） A x B. C. 4 D. 6. 如图，的对角线，交于点O．若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 天龙山公路，高低落差较大，全长，被誉为“云端上的公路”．爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度．设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于原点对称，则m，n的值分别为__________． 12. 若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值___（填变大，变小，不变） 13. 如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻值R（单位：Ω）满足．若R的电阻值是1Ω，的电阻值是3Ω，则的电阻值是__________Ω． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则的长为__________． 15. 如图，在中，M，N是，上的点，连接交对角线于点E，且E是的中点，连接，．下列结论：①；②若，，则；③若，则．其中正确的是__________．（填序号） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）解不等式组：． 17. 下面是彬彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第___________步是进行分式的通分，通分的依据是___________；②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 18. 利用因式分解说明能被33整除． 19. 已知：如图，及射线上的一点． （1）求作：等腰，使线段为等腰的底边，点在内部，且点到两边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，则______． 20. 依据最新出台的山西初中体育与健康学业水平考试方案，2025年山西中考体育成绩将以60分计入总成绩中，必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、立定跳远、三大球任选一项等．选考项目包括一分钟跳绳、一分钟仰卧起坐等．为适应学生体育课学习、日常参与体育锻炼，左权县某中学购买A，B两种型号的跳绳共110根，且购买A型号跳绳与B型号跳绳的费用都是1500元，已知A型号跳绳的单价是B型号跳绳单价的倍． （1）求：A，B两种型号跳绳的单价各是多少？ （2）若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求：A型号跳绳最多可购买多少根？ 21. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，，求的长． 22. 阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务． 关于同一种正多边形平面密铺 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案． 学习任务： （1）填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）图3中角1的度数是______． （3）除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______． （4）图6是图5中一个基本图形，其中，，并且．求证． 23. 综合与实践 【问题情境】 综合与实践课上，老师让同学们以“两个含角的完全相同的直角三角形和直角三角形（）拼摆”为主题开展教学活动． 【操作思考】 （1）“明辨”小组先将两个三角形如图①所示重叠放置，然后将其中一个绕点C顺时针旋转得到，旋转角为α（），当恰好经过点B时得到图②，求此时旋转角α的度数； （2）“善思”小组将两个三角形较长的直角边靠在一起，拼成了图③所示的三角形，然后将以点C为旋转中心，逆时针旋转α（），如图④所示，与相交于点O，连接．试判断与的关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图⑤，“博学”小组在图②的基础上，剪出一个与完全一样的三角形纸片，与其重叠放置，并将其沿直线平移，平移后，点B，C，的对应点分别为点D，E，F．若，当是以为顶角的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期末学业水平质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．轴对称图形：将图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形是轴对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式有意义， ，解得， 故选：B． 3. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、右边出现分式，不符合整式乘积的要求，故A不符合题意； B、右边为，是乘积后减1，未完全分解为积的形式，故B不符合题意； C、左边可写成，符合整式平方的积的形式，属于因式分解，故C符合题意； D、右边为，是乘积后加1，未完全分解为积的形式，故D不符合题意． 故答案为：C． 4. 若，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了不等式的性质，绝对值，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立，找出存在反例的选项． 【分析】解：A、两边同时减2，不等式方向不变，故，故选项A一定正确，不符合题意； B、，两边乘得，再加1得，故选项B一定正确，不符合题意； C、，移项得，故选项C一定正确，不符合题意； D、当时，，此时不成立；当时，，不等式成立，因此D不一定正确，故选项D符合题意． 故选：D． 5. 若是一个最简分式，则可以是（ ） A. x B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分母一定含有字母，且最简分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，中必须有字母，且分子分母不能还有公因式， 选项B、C中没有字母，代入后表达式不是分式，故排除； 选项D代入后，分式为，分子分母有公因式4，不是最简分式，故排除． 只有选项A满足题意． 故选A． 6. 如图，的对角线，交于点O．若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键，先利用平行四边形的性质得出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，继而得出，从而根据得解． 【详解】解：根据平移的性质可得：， 则 又，， ； 故选：C 8. 天龙山公路，高低落差较大，全长，被誉为“云端上的公路”．爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度．设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，设马老师去时的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据返程比去时多用了，列出方程即可． 【详解】解：设马老师去时的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据题意得： ， 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，根据函数图象得出当时，，当时，，然后进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交点坐标为， ∴根据函数图象可得：当时，，当时，，故C正确． 故选：C． 10. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于原点对称，则m，n的值分别为__________． 【答案】2， 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号是解题的关键．本题直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，据此即可得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 故答案为：，． 12. 若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值___（填变大，变小，不变） 【答案】不变 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：分式的x、y同时扩大10倍，可得 ，与原分式相同， 故答案为不变． 【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 13. 如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻值R（单位：Ω）满足．若R的电阻值是1Ω，的电阻值是3Ω，则的电阻值是__________Ω． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，关键是掌握分式方程化简的方法和步骤． 根据题意，将，代入，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， 将，代入上式，得， 解得， 经验证，符合． 故答案为：． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握旋转性质． 先由旋转性质得，，，再由勾股定理得，则． 【详解】解：由旋转性质得，，， 中，， ， 点，，在同一条直线上， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，M，N是，上的点，连接交对角线于点E，且E是的中点，连接，．下列结论：①；②若，，则；③若，则．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质等知识，证明，得，所以，可判断①正确；当，时，因为，，所以，则，可证明四边形是平行四边形，则，所以垂直平分，进而可判断②正确；由，且，，得，所以，因为，所以，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 如图，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故②正确； ∵，且，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握提取公因式，平方差公式，完全平方公式和求不等式公共解集的方法． （1）先提公因式，再用平方差公式求解即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式求解即可； （3）求出每个不等式解集，再求公共解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）， 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 17. 下面是彬彬同学进行分式化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第___________步是进行分式的通分，通分的依据是___________；②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：三，分式的基本性质，五，括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号；任务三：先将分式约分，再通分，这样可以减少计算量 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，解题关键是掌握异分母分式的加减的法则． 任务一：根据异分母分式的加减法则是对解题过程逐一分析，再作出判断； 任务二：根据异分母分式的加减法则计算； 任务三：谈谈异分母分式的加减学习需要注意的地方． 【详解】任务一：解：以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号， 故答案为：三，分式的基本性质，五，括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号； 任务二： ； 任务三：先将分式约分，再通分，这样可以减少计算量． 18. 利用因式分解说明能被33整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，先运用提公因式法进行因式分解，再根据约数的概念进行分析即可． 【详解】解： ． 因为， 所以能被33整除． 19. 已知：如图，及射线上的一点． （1）求作：等腰，使线段为等腰的底边，点在内部，且点到两边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，则______． 【答案】（1）见解析 （2）60° 【解析】 【分析】（1）作∠ABC的平分线BK，线段BD的垂直平分线MN，射线BK与直线MN的交点E即为所求； （2）根据垂直的定义，角平分线的定义与线段垂直平分线的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：点E是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图点E即为所求． 【小问2详解】 ∵DE⊥AB， ∴∠ABC＋∠BDE＝90°， ∵点E是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点， ∴∠ABE＝∠DBE＝∠BDE， ∴∠ABE＝∠DBE＝∠BDE＝30°， ∴∠ABC＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题主要考查作图−复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 20. 依据最新出台的山西初中体育与健康学业水平考试方案，2025年山西中考体育成绩将以60分计入总成绩中，必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、立定跳远、三大球任选一项等．选考项目包括一分钟跳绳、一分钟仰卧起坐等．为适应学生体育课学习、日常参与体育锻炼，左权县某中学购买A，B两种型号的跳绳共110根，且购买A型号跳绳与B型号跳绳的费用都是1500元，已知A型号跳绳的单价是B型号跳绳单价的倍． （1）求：A，B两种型号跳绳的单价各是多少？ （2）若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求：A型号跳绳最多可购买多少根？ 【答案】（1）A型号跳绳的单价是30元，B型号跳绳的单价是25元 （2）100根 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式、分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的关系式，难度不大． （1）设B型号跳绳的单价是x元，则A型号跳绳的单价是元，根据购买A型号跳绳与B型号跳绳的费用都是1500元，共110根，列出分式方程，求解即可； （2）设A型号跳绳购买a根，则B型号跳绳购买根．根据题意列不等式，即可得到结论． 小问1详解】 解：设B型号跳绳的单价是x元，则A型号跳绳的单价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的根． 则（元）． 答：A型号跳绳的单价是30元，B型号跳绳的单价是25元． 【小问2详解】 解：设A型号跳绳购买a根，则B型号跳绳购买根． 根据题意，得． 解得． 所以a可取的最大整数为100． 答：A型号跳绳最多可购买100根． 21. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）平行四边形；理由见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，即，再证明得到，根据平行四边形的判定定理可得结论； （2）先利用平行四边形的性质得到，再由线段垂直平分线的性质得到，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形． 理由如下：因为四边形是平行四边形， 所以，即， 所以． 因为E是的中点， 所以， 在和中，，，， 所以， 所以． 又因为， 所以四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：因为四边形，四边形都是平行四边形， 所以． 因为， 所以， 所以是的中垂线． 所以． 因为，， 所以． 所以． 22. 阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务． 关于同一种正多边形的平面密铺 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案． 学习任务： （1）填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）图3中角1的度数是______． （3）除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______． （4）图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证． 【答案】（1）B （2） （3）正六边形 （4）见解析 【解析】 【分析】题主要考查了平面镶嵌，正多边形的内角和与外角；全等三角形的性质与判定； （1）根据题意将多边形转化为三角形解决问题，体现的是转化思想，据此，即可求解； （2）根据正五边形的三个内角的和与周角的差即可求解； （3）根据平面镶嵌的正多边形的内角能被整除，即可求解； （4）先证明是等边三角形，进而证明，根据平行线间的距离相等可得，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 根据题意，对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，可得体现的数学思想主要是转化思想， 故选：B． 【小问2详解】 解：， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵正六边形的每个内角为，依题意，一种可以进行密铺的正多边形：正六边形， 故答案为：正六边形． 【小问4详解】 如图所示，连接，分别过点作垂足分别， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 综合与实践 【问题情境】 综合与实践课上，老师让同学们以“两个含角的完全相同的直角三角形和直角三角形（）拼摆”为主题开展教学活动． 【操作思考】 （1）“明辨”小组先将两个三角形如图①所示重叠放置，然后将其中一个绕点C顺时针旋转得到，旋转角为α（），当恰好经过点B时得到图②，求此时旋转角α的度数； （2）“善思”小组将两个三角形较长的直角边靠在一起，拼成了图③所示的三角形，然后将以点C为旋转中心，逆时针旋转α（），如图④所示，与相交于点O，连接．试判断与的关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图⑤，“博学”小组在图②的基础上，剪出一个与完全一样的三角形纸片，与其重叠放置，并将其沿直线平移，平移后，点B，C，的对应点分别为点D，E，F．若，当是以为顶角的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）；（2）垂直平分，理由见解析；（3）平移的距离为或． 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，特殊直角三角形的性质，等腰三角形的定义，平行的性质，旋转、平移的性质等知识，综合性较强，熟练掌握旋转、平移的性质是解题的关键． （1）如图2，由绕点C顺时针旋转得到，得到，求得，根据等边三角形的性质得到； （2）根据旋转的性质得到，求得，得到，于是得到垂直平分； （3）①如图4，延长，作于点，连接，得到， ，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到 根据平移的性质得到，求得，根据勾股定理得到，求得，②如图5，连接并延长交于点，连接，，由①得，，，根据勾股定理得到，求得B． 【详解】解：（1）如图2，绕点顺时针旋转得到， ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即； （2）垂直平分，理由如下： 绕点逆时针旋转到如图的位置， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分； （3）①如图4，延长，作于点，连接， ∵， ，， ∵，且是等边三角形， ， ，， ， 在中，， 沿射线的方向平移得到， ， ， ， ，， 是以为顶角的等腰三角形时， ， 在中，， ， ②如图5，连接并延长交于点，连接， 由①得，，， 是以为顶角的等腰三角形时， ， 在中，， ， 综上所述，当是以为顶角的等腰三角形时，平移的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $