第二章 分式与分式方程（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册

第二章 分式与分式方程（复习讲义） 1.了解分式的概念，知道分式的分母不能为零。 2.探索分式的基本性质，能用分式的基本性质进行约分、通分、并化简分式。 3.能对简单的分式进行加、减、乘、除四则运算并将结果化为最简分式，发展运算能力。 4.能解可化为一元一次方程的分式方程。 5.能运用分式方程解决一些简单的实际问题，发展应用意识，体会模型思想。 知识点 重点归纳 常见易错点 分式的概念 形如的式子叫做分式，其中A，B是两个整式，且B中含有字母 B中含有字母 分式有意义 分母不为零 忽略分母不为零 分式的值 分式值为零时要求分子为零且分母不为零 忽略分母不为零 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 忽略分子分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式 约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去 当分子，分母是多项式时，先因式分解，再约分 最简分式 分子和分母没有公因式 分子和分母仍有公因式 分式乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 结果应化为最简分式或整式 分子分母是多项式，应先进行因式分解 分式的乘方 分子分母分别乘方 忽略分子或分母乘方 分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 结果应化为最简分式或整式 通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称为最简公分母）作为它们的共同分母 分式方程 分母中含有未知数的方程 与整式方程混淆 解分式方程 先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化为整式方程，然后再解这个整式方程 解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了。如果所得的是原方程的增根，应当舍去。 增根 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 分式方程无解时，不知如何求参数的值 列分式方程解决实际问题 审、找、设、列、解、检、答 找不出等量关系 题型一 分式的概念 【例1】下列代数式中，①，②，③（x+1），④，⑤， 分式有 （填序号）。 【变式1-1】下列代数式中，，整式有 个，分式有 个。 题型二 分式有意义 【例2】已知分式，当x为何值时，分式有意义？ 【变式2-1】若式子无意义，则的值为(    ) A. B. C. D. 【变式2-2】（2025山东中考）写出使分式有意义的的一个值 ． 题型三 分式的值 【例3】当x=0，-2时，分别求分式的值。 【变式3-1】当x为 时，分式的值为0. 【变式3-2】当x为何值时，分式的值为正数。 题型四 分式的基本性质 【例4】下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 【变式4-1】如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    ) A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大倍 【变式4-2】下列各式从左到右的变形不正确的是(    ) A. B. C. D. 题型五 约分及最简分式 【例5】约分（1） （2） （3） 【变式5-1】判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式。 ① ② ③ ④ 题型六 分式的运算 【例6】计算（1） （2） （3） （4） （5） 【变式6-1】计算： 【变式6-2】计算： 【变式6-3】（2025东营中考）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数． 题型七 解分式方程 【例7】解分式方程：（1）．（2） 【变式7-1】解分式方程，去分母得(    ) A. B. C. D. 【变式7-2】将公式均不为，变形成求的式子，正确的是   ． A. B. C. D. 题型八 分式方程的解 【例8】若关于的分式方程有增根，则增根是(    ) A. B. C. D. 【变式8-1】已知是分式方程的解，那么实数的值为(    ) A. B. C. D. 【变式8-2】已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的所有个数为(    ) A. B. C. D. 题型九 与分式方程有关的实际问题 【例9】甲、乙两地相距千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了，而从甲地到乙地的时间缩短了小时．根据以上信息，你能求出原来的平均车速吗？ 【变式9-1】我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是(    ) A. B. C. D. 【变式9-2】某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进一批衬衫，上市后果然供不应求，该服装商又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的倍，但单价贵了元，则该服装商第一批进货的单价是          元 题型十 与分式方程有关的材料分析题 【例10】阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，第一步 所以第二步 回答下列问题． 第一步运用了              的基本性质 第二步的解题过程运用了              的方法，由得利用了                                    性质． 模仿材料解题： 已知，求的值． 【变式10-1】阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘，得，解得，． 经检验，，都是方程的解． 当时，，解得当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解．原分式方程的解为，． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： 若在方程中，设，则原方程可化为           若在方程中，设，则原方程可化为           模仿上述换元法解方程：． 基础巩固通关测 1.下列分式中，是最简分式的是(    ) A. B. C. D. 2.若式子有意义，则的值不能为(    ) A. B. C. D. 3.若分式的值为0，则x为(　　) A．x=2 B．x= –2 C．x=3 D．x=-3 4.若分式中的，的值同时扩大到原来的倍，则分式的值  (    ) A. 是原来的倍 B. 是原来的倍 C. 是原来的 D. 不变 5.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 6.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是( ) A. 只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁 7.如果，那么代数式的值为(    ) A. B. C. D. 8.解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是(    ) A. B. C. D. 9.对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为    ． A. B. C. D. 10.八年级学生去距学校的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 11.一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为________千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为___________千米/小时. 12..当x=1时，分式的值是________ 13.若关于的分式方程有增根，则的值为          ． 14.计算：（1） （2） （3） 15.（2025烟台中考）先化简，再求值：，其中 16.小明解方程的过程如下： 方程两边都乘，得：． 解这个方程，得． 所以是原方程的解． 你认为小明的解法对吗，并说明理由． 17.端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用元购进、两种粽子个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的倍． 求、两种粽子的单价各是多少？ 若计划用不超过元的资金再次购进、两种粽子共个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？ 18.阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知、、互不相等，求的值． 解：设，则，，， ，． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中，求的值． 能力提升进阶练 1.在下面的分式变形中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3.解分式方程时，去分母后得到的方程正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如果分式的值为零，那么等于(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.计算得  (    ) A. B. C. D. 6. （2024枣庄中考）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 7. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 8.定义，则的解为(    ) A. B. C. D. 9. 已知，则代数式值为 . 10.化简的结果是 。 11.已知关于的分式方程无解，则的值为          ． 12.某生态示范园计划种植一批蜂糖梨，原计划总产量达万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖梨品种，改良后平均每亩产量是原计划的倍，总产量比原计划增加了万千克，种植亩数减少了亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，根据题意列方程为          ． 13.已知则_____． 14.计算（1） （2） b-a)2 15.（2025广东中考）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 16.（2025山东中考）先化简，再求值：，其中． 17.（2025东营中考）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 18.在分式中，若，为整式，分母的次数为，分子的次数为当为常数时，，则称分式为次分式例如，为三次分式． 请写出一个只含有字母的二次分式                已知，其中，为常数． 若，，则，，，中，化简后是二次分式的为                若与的和化简后是一次分式，且分母的次数为，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 分式与分式方程（复习讲义） 1.了解分式的概念，知道分式的分母不能为零。 2.探索分式的基本性质，能用分式的基本性质进行约分、通分、并化简分式。 3.能对简单的分式进行加、减、乘、除四则运算并将结果化为最简分式，发展运算能力。 4.能解可化为一元一次方程的分式方程。 5.能运用分式方程解决一些简单的实际问题，发展应用意识，体会模型思想。 知识点 重点归纳 常见易错点 分式的概念 形如的式子叫做分式，其中A，B是两个整式，且B中含有字母 π不是字母 分式有意义 分母不为零 忽略分母不为零 分式的值 分式值为零时要求分子为零且分母不为零 忽略分母不为零 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 忽略分子分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式 约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去 当分子，分母是多项式时，先因式分解，再约分 最简分式 分子和分母没有公因式 分子和分母仍有公因式 分式乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 结果应化为最简分式或整式 分子分母是多项式，应先进行因式分解 分式的乘方 分子分母分别乘方 忽略分子或分母乘方 分式的加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 结果应化为最简分式或整式 通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称为最简公分母）作为它们的共同分母 分式方程 分母中含有未知数的方程 与整式方程混淆 解分式方程 先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化为整式方程，然后再解这个整式方程 解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了。如果所得的是原方程的增根，应当舍去。 增根 在方程变形中如果产生了不适合原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。 分式方程无解时，不知如何求参数的值 列分式方程解决实际问题 审、找、设、列、解、检、答 找不出等量关系 题型一 分式的概念 【例1】下列代数式中，①，②，③（x+1），④，⑤， 分式有 （填序号）。 【答案】②⑤ 【解析】分式的分母必须含有字母。①③分母不含有字母，④中分母的不是字母，⑤符合分式定义，所以答案为②⑤ 【变式1-1】下列代数式中，，整式有 个，分式有 个。 【答案】3，3 【解析】分式的分母必须含有字母。分母不含有字母是整式，所以整式有3个，中分母含有字母是分式，所以分式有3个。 题型二 分式有意义 【例2】已知分式，当x为何值时，分式有意义？ 【答案】x≠-2 【解析】分式有意义时，分式的分母不能为零。所以x+2≠0，即x≠-2 【变式2-1】若式子无意义，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：分式无意义的条件是分母为零，由x+1=0，得x=-1故选C． 【变式2-2】（2025山东中考）写出使分式有意义的的一个值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】解：分式有意义的条件是分母不为零，由2x-3≠0得≠1.5． 题型三 分式的值 【例3】当x=0，-2时，分别求分式的值。 【答案】当x=0时， 当x=-2时， 【解析】把x的值代入分式即可 【变式3-1】当x为 时，分式的值为0. 【答案】-1 【解析】分式的值为0，需要分子为零且分母不为零。 x2-1=0且x-1≠0，解得x=-1. 【变式3-2】当x为何值时，分式的值为正数。 【答案】3x+3＞0，解得x＞-1.即x＞-1时，分式的值为正数 【解析】分式的值为正数，已知分子为正数，只需分母为正数。 题型四 分式的基本性质 【例4】下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】利用分式的基本性质判定即可． 、，故A选项错误 B、，故B选项错误 C、，故C选错误 D、，故D选项正确． 所以选项是正确的． 【变式4-1】如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    ) A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大倍 【答案】B  【解析】把分式中的和都扩大倍后， 原式， 所以分式的值将扩大倍． 【变式4-2】下列各式从左到右的变形不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据分式的基本性质，即分式的符号、分母的符号、分子的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变．只改变其中的一个或同时改变其中的三个，分式的值变成原来的相反数. 同时改变分式的分子及分式的符号，其值不变，正确； B.同时改变分式的分子、分母的符号，其值不变，正确； C.同时改变分式的分母及分式的符号，其值不变，正确； D.分式的分子、分母及分式的符号，同时改变三个，其值变化，错误． 故选D． 题型五 约分及最简分式 【例5】约分（1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】约去分子，分母的公因式，把分式化成最简分式。当分子，分母是多项式时，通常先分解因式再约分 【变式5-1】判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式。 ① ② ③ ④ 【答案】①是最简分式； ②不是最简分式， ③不是最简分式， ④不是最简分式， 【解析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式， 题型六 分式的运算 【例6】计算（1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）原式． （2）原式， （3） （4） ． （5）原式． 【解析】两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。如果分子或分母是多项式，应先进行因式分解。 分式乘方，把分子分母分别乘方，再把所得的幂相除 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。注意结果化成最简分式。异分母的分式化为同分母的分式再加减。 【变式6-1】计算： 【答案】原式． 【解析】乘除混合运算统一为乘法运算。 【变式6-2】计算： 【答案】解： ．  【解析】先将括号内通分，再计算乘法． 【变式6-3】（2025东营中考）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数． 【答案】 ， 是使不等式成立的正整数， 且为正整数， ，2，3， 又，， ，3，， ， 当时，原式． 【解析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 题型七 解分式方程 【例7】解分式方程：（1）．（2） 【答案】（1）方程两边都乘以，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 所以原方程的解为．  （2）方程两边都乘以x-1，得-1=-（2-3x）， 解得：x=0.5， 检验：当x=0.5时，x-1=0， 所以x=0.5不是原方程的解， 原分式方程无解．  【解析】先把分式方程变成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可． 【变式7-1】解分式方程，去分母得(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】根据等式性质，方程两边分别乘以最简公分母，此时注意符号问题先把原方程根据分式性质化为：，再去分母即可． 【变式7-2】将公式均不为，变形成求的式子，正确的是   ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解决此题可以将与看作已知数，看作未知数，按解分式方程的步骤变形即可． ， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 故选A． 题型八 分式方程的解 【例8】若关于的分式方程有增根，则增根是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：方程的最简公分母为， 由分式方程有增根，得到，即， 则增根是， 故选：． 【变式8-1】已知是分式方程的解，那么实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：把代入分式方程得：， 解得：． 故选：． 【变式8-2】已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的所有个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】去分母，得：， 移项、合并，得：， 分式方程的解为非负数， 且， 解得：且， 正整数解有，，，共个， 故选B． 题型九 与分式方程有关的实际问题 【例9】甲、乙两地相距千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了，而从甲地到乙地的时间缩短了小时．根据以上信息，你能求出原来的平均车速吗？ 【答案】解：设原来每小时平均行驶千米，则开通后每小时行驶． 列方程得：． 解得：． 经检验：是原方程的解． 答：原来的平均车速为千米时．  【解析】列方程解决实际问题的关键时要善于分析其中的数量关系，找出等量关系，由等量关系列出方程 等量关系为：原来行驶时间开通后行驶时间． 【变式9-1】我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】根据单价总价数量，结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于的分式方程 【变式9-2】某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进一批衬衫，上市后果然供不应求，该服装商又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的倍，但单价贵了元，则该服装商第一批进货的单价是          元 【答案】  【解析】解：设第一批进货的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，故第一次进货的单价为元． 题型十 与分式方程有关的材料分析题 【例10】阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，第一步 所以第二步 回答下列问题． 第一步运用了              的基本性质 第二步的解题过程运用了              的方法，由得利用了                                    性质． 模仿材料解题： 已知，求的值． 【答案】解：等式 代入消元分式的基本 ， 设，，． ． 【解析】根据等式的基本性质、分式的基本性质即可判断； 【变式10-1】阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘，得，解得，． 经检验，，都是方程的解． 当时，，解得当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解．原分式方程的解为，． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： 若在方程中，设，则原方程可化为           若在方程中，设，则原方程可化为           模仿上述换元法解方程：． 【答案】解：  原方程可化为， 设， 则原方程可化为． 方程两边同时乘，得，解得，． 经检验，，都是方程的解． 当时，，该方程无解， 当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解． 原分式方程的解为． 基础巩固通关测 1.下列分式中，是最简分式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分． ．，不是最简分式，错误； B.，不是最简分式，错误； C.，不是最简分式，错误； D.，是最简分式，正确． 故选：． 2.若式子有意义，则的值不能为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：分式有意义的条件是分母不为零，由-1≠0得1，故选B． 3.若分式的值为0，则x为(　　) A．x=2 B．x= –2 C．x=3 D．x=-3 【答案】B 【解析】分式的值为零，要求分子为零且分母不为零x+2=0且x+3≠0，解得x=-2，所以选B 4.若分式中的，的值同时扩大到原来的倍，则分式的值  (    ) A. 是原来的倍 B. 是原来的倍 C. 是原来的 D. 不变 【答案】B  【解析】分式中的、的值同时扩大到原来的倍，得． 故选B． 5.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】利用分式的加减运算法则计算得出答案． 原式． 故选A． 6.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是( ) A. 只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁 【答案】D  【解析】甲把除法转化为乘法，正确。乙对1-x变形，应为-（x-1），乙错。丙因式分解对，丁约分错误。故选D． 7.如果，那么代数式的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】原式 由，得到． 则原式 故选：． 8.解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】最简公分母是，方程两边都乘以，把分式方程便可转化成一元一次方程． ， 故选C． 9.对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为    ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】因为，所以， 故有， 所以， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选A． 10.八年级学生去距学校的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】设骑车学生的速度为，则乘车学生的速度为，根据时间路程速度结合骑车的学生比乘车的学生多用即，即可得出关于的分式方程，． 故选：． 11.一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为________千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为___________千米/小时. 【答案】， 【解析】根据路程，速度，时间的关系，列出分式 12..当x=1时，分式的值是________ 【答案】 【解析】当x=1时， 13.若关于的分式方程有增根，则的值为          ． 【答案】  【解析】增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 解：方程两边都乘，得：， 原方程有增根， 最简公分母， 解得：， 当时，， 故的值是， 故答案为：． 14.计算：（1） （2） （3） 【答案】（1） （2）原式= （3）原式， 【解析】应用分式的运算法则计算即可 15.（2025烟台中考）先化简，再求值：，其中 【答案】 ， ∵， ∴原式. 【解析】先将分式进行化简，然后代入值即可求解． 16.小明解方程的过程如下： 方程两边都乘，得：． 解这个方程，得． 所以是原方程的解． 你认为小明的解法对吗，并说明理由． 【答案】解：不对； 方程两边都乘，得：． 解这个方程，得． 经检验是该方程的增根， 所以原分式方程无解．  【解析】解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论． 17.端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用元购进、两种粽子个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的倍． 求、两种粽子的单价各是多少？ 若计划用不超过元的资金再次购进、两种粽子共个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？ 【答案】解：设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，两种粽子各自的总价为元 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：种粽子单价为元个，种粽子单价为元个． 设购进种粽子个，则购进种粽子个， 依题意，得：， 解得：． 答：种粽子最多能购进个．  【解析】找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 18.阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知、、互不相等，求的值． 解：设，则，，， ，． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中，求的值． 【答案】解：设， 则： 得：， ， ， 由，得， 原式．  【解析】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“”法． 能力提升进阶练 1.在下面的分式变形中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】、，变形正确，不合题意； B、，故此选项错误，符合题意； C、，变形正确，不合题意； D、，变形正确，不合题意； 故选：． 2.下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3.解分式方程时，去分母后得到的方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】分式方程，去分母（方程两边同乘2（x-1））得：，即 ， 故选：． 4.如果分式的值为零，那么等于(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A  【解析】由分子，得 而当时，分母，应舍去，所以． 故选A． 5.计算得  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】原式 ． 故选D． 6. （2024枣庄中考）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 【答案】B 【解析】设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是分式方程解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数． 故选：B． 7. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：． 8.定义，则的解为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据题中的新定义得： ， ， ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的根． 故选：． 9. 已知，则代数式值为 . 【答案】3 【解析】原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 10.化简的结果是 。 【答案】1  【解析】原式 ． 11.已知关于的分式方程无解，则的值为          ． 【答案】  【解析】去分母得：， 整理得：， 原方程无解，方程有增根， 将代入，， 解得：， 故答案为． 12.某生态示范园计划种植一批蜂糖梨，原计划总产量达万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖梨品种，改良后平均每亩产量是原计划的倍，总产量比原计划增加了万千克，种植亩数减少了亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，根据题意列方程为          ． 【答案】  【解析】设原计划平均亩产量为万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，根据种植亩数总产量平均亩产量结合改良后的种植面积比原计划少亩，即可得出关于的分式方程． 13.已知则_____． 【答案】  【解析】，，，，， ， ， 故答案为． 14.计算（1） （2） b-a)2 【答案】（1）原式 ． （2） 【解析】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 15.（2025广东中考）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 【解析】把分式方程转化为整式方程。 16.（2025山东中考）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 当时，原式． 【解析】利用分式的运算法则计算 17.（2025东营中考）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 【解析】本题考查分式方程及一元一次不等式组的应用。 18.在分式中，若，为整式，分母的次数为，分子的次数为当为常数时，，则称分式为次分式例如，为三次分式． 请写出一个只含有字母的二次分式                已知，其中，为常数． 若，，则，，，中，化简后是二次分式的为                若与的和化简后是一次分式，且分母的次数为，求的值． 【答案】解：答案不唯一． ， ，， ． 与的和是一次分式， ． ， 与的和化简后是一次分式，且分母的次数为， 或． 或． 或．  【解析】由题意得 只含有字母的二次分式可以为； 故答案为：答案不唯一． ，， ，， ，是二次分式； ，是一次分式； ，是一次分式； ，是二次分式． 则是二次分式的有，； 故答案为：，； 见答案． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$