22.1.3二次函数 y=a(x-h)²+k的图象和性质(第3课时)（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十二章 二 次 函 数 22.1.3 二次函数的图象和性质 第三课时 22.1二次函数的图像与性质 学 习 目 标 1 2 3 会用描点法画出二次函数的图象 掌握抛物线 与之间的平移规律。 依据具体问题情境建立二次函数模型来解决实际问题。 4 进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力 知识回顾 二次函数 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 二次函数、、 的图象特点 向上 向下 x y O y x O x y O x y O y x O y x O 直线x=0 直线x=0 直线x=h （y轴） （y轴） （0,0） （h,0） （0,k） 二次函数、、 的性质 知识回顾 二次函数 图象 增减性质 最值 增减性质 最值 x y O x y O 在对称轴的左侧， y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧， y随x的增大而增大 y x O y x O x y O y x O 在对称轴的左侧， y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧， y随x的增大而减小 当x=0时， y最小值=0． 当x=0时， y最小值=k． 当x=h时， y最小值=0． 当x=0时， y最大值=0． 当x=0时， y最大值=k． 当x=h时， y最大值=0． 4 二次函数、、 的关系 知识回顾 向左平移 h个单位 向右平移 口决：左加右减 y=ax2 向上平移 k个单位 y=ax2+k(k＞0) y=ax2 向下平移 k个单位 y=ax2-k(k＞0) 口决：上加下减 y=ax2 y=ax2 h个单位 （） （） 知识回顾 练一练 1.将二次函数 y= -2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y= -2(x+1)2的图象，平移的方法是(　 　) C A．向上平移1个单位　　 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　 D．向右平移1个单位 2.抛物线y＝－3(x － 1)2不经过的象限是(　　) A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限 A ＞ 3.已知函数 y = -(x-1)2 图象上两点 A(2，y1)，B(a，y2)，其中 a>2，则 y1 与 y2 的大小关系是y1 y2(填“<”“>”或“＝”). 6 导入新课 探究点1 二次函数的图象 做一做 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ a 决定 抛物线大小和开口方向 决定 抛物线顶点纵坐标 决定 抛物线的对称轴位置 讨论 抛物线的图像受哪些因素影响 抛物线开口向下 抛物线的顶点坐标（-1，-1） … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … … … … … 导入新课 探究点1 二次函数的图象 做一做 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 列表 描点 连线 步骤 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 新知探究 探究点1 二次函数的图象 做一做 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 0 x y 描点 连线 新知探究 探究点1 二次函数的图象 做一做 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 0 x y 描点 连线 新知探究 探究点1 二次函数的图象 做一做 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 0 x y 描点 连线 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 0 x y 新知探究 探究点1 二次函数的图象 做一做 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 讨论 从图象中可以看到,此抛物线的开口方向、对称轴和顶点如何? 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 向下 向下 y轴 y轴 直线x=1 （0,0） （0，-1） （-1，-1） 探究点1 二次函数的图象 做一做 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 讨论 抛物线可以怎样移动抛物线得到? －2 2 －2 －4 －6 4 －4 0 x y 向下平移 1个单位 向左平移 1个单位 新知探究 探究点1 二次函数的图象 做一做 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 讨论 抛物线还可以怎样移动抛物线得到? －2 2 －2 －4 －6 4 －4 0 x y 向下平移 1个单位 向左平移 1个单位 新知探究 典例分析 探究点1 二次函数的图象 例1.说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛物线 通过怎样的平移得到的． 2 4 6 -2 -4 -6 0 2 4 6 -2 x y y=2x2 (-1，-3) y=2(x+1)2 y=2(x+1)2-3 -4 开口方向: 向上 对 称 轴: x = -1 顶点坐标：（-1，-3） 是由抛物线 向左平移1个单位，向下平移3个单位得到． 新知探究 探究点2 二次函数与图象关系 向左(右)平移|h|个单位 向上(下)平移|k|个单位 y=ax2 y=a(x－h)2 y=a(x－h) 2+k y=ax2 y=a(x－h)2+k 向上(下)平移|k|个单位 y=ax²+k 向左(右)平移|h|个单位 平移方法: y=a(x－h) ²＋k y=ax² 抛物线 形状相同 位置不同 平移的方向、距离要根据h、k的值来决定. 向上(下)平移 向右(左)平移 典例分析 探究点2 二次函数与图象关系 例2.下列关于抛物线 的说法错误的是(　　) A．抛物线开口向下　　　　　　 B．抛物线的顶点坐标是(2，3) C．抛物线的对称轴是x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而增大 ∵ ∴抛物线 的开口向下 解析： ∵ ∴ 顶点坐标是(2，3)，对称轴是x＝2 ∵ 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴D说法错误的 D 新知探究 探究点3 二次函数图象与性质 抛物线 顶点坐标 对 称 轴 开口方向 增 减 性 最 值 y=a(x-h)2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a<0) （h，k） （h，k） 直线x=h 直线x=h 向上 向下 当x=h时,最小值为k. 当x=h时,最大值为k. x＞h时，y随x的增大而增大； x＜h时，y随x的增大而减小 x＞h时，y随x的增大而减小， x＜h时，y随x的增大而增大． 图 象 x y O y x O 1．二次函数(a≠0)的图象性质 新知探究 探究点3 二次函数图象与性质 2．二次函数(a≠0)与图象关系 可以看作互相平移得到的. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 19 典例分析 探究点3 二次函数图象与性质 例3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点（2 , 3） ． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，随的增大而减小，求 的取值范围． （1）∵二次函数 的图象经过点 （2 , 3） ． ∴ ， 解得：， ∴这个函数的表达式为： ； （2）∵ ， ∴其对称轴为： ， ∵ ， ∴图象开口向上，则当 时，随的增大而减小， ∴的取值范围为 ． 解： 新知探究 探究点4 二次函数应用 例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长? 解：如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系. 由题意得：点(1,3)是图中这段抛物线的顶点， ∴设这段抛物线对应的函数是 y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）. 将(3,0)代入得 0=a×(3-1)²+3， 解得a= - ∴y= - (x-1)2+3（0≤x≤3）. ∴当x=0时，y=2.25 答：水管应长2.25m. 拓展提升 1．已知二次函数 C:y=x²-4x+3． (1)将y=x²-4x+3 化成的形式； (2)在右图中画出二次函数C的图象； (3)当0时，利用图象直接写出的取值范围； (4)当＜3时，利用图象直接写出x的取值范围． （1）解： （2）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … … 3 0 -1 0 3 （3）解：由函数图象可知， 当，； （4）解：由函数图象可知， 当 时， ． 巩固练习 1.说出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点： （1）y=2(x+3)2+5； （2）y=-7(x-1)2-2； （3）y=4(x-4)2+7； （4）y=-5(x+2)2-6. 开口向上 对称轴为x=-3 顶点坐标为（-3，5） 开口向下 对称轴为 x=1 顶点坐标为（1，-2） 开口向上 对称轴为 x= 4 顶点坐标为（4，7） 开口向下 对称轴为 x= -2 顶点坐标为（-2，-6） 教材P37练习 真题感知 1．（2025上·杭州·九年级校联考期中）如图，一小球M 从斜坡 OA上的点 O处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA 所在直线解析式为y = x2，若小球到达最高点 P的坐标为 ，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡 OA上的B 点有一个障碍物， B点的横坐标为 ，障碍物的高度为2，小球M 能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由； (3)该高度为2的障碍物放在斜坡OA 上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围． （1）解 : 由题意得，抛物线顶点为P的坐标， 设 ， 将（0,0） 代入得： ∴ 真题感知 1．（2025上·杭州·九年级校联考期中）如图，一小球M 从斜坡 OA上的点 O处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA 所在直线解析式为y = x，若小球到达最高点 P的坐标为 ，解答下列问题： (2)在斜坡 OA上的B 点有一个障碍物， B点的横坐标为 ，障碍物的高度为2，小球M 能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由； （2）将 代入 y = x ， 得， ， ， 将 代入 ， 得 ， ∴小球M 不能飞过这个障碍物； 2 ∵ ， 真题感知 1．（2025上·杭州·九年级校联考期中）如图，一小球M 从斜坡 OA上的点 O处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA 所在直线解析式为y = x2，若小球到达最高点 P的坐标为 ，解答下列问题： (3)该高度为2的障碍物放在斜坡OA 上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围． （3）由题意得： ， 解得： ∴若使小球能够通过，障碍物放置的水平范围是： 2 真题感知 2．（2025上·山东青岛·九年级阶段考试）如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形 的三边组成，隧道的最大高度为 4.9米；AB=10 米，BC=2.4 米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ （1）解：如图所示：隧道的最大高度为4.9 米,即DF=4.9米 ∵ AB=10 米， BC=2.4 米， ∴对称轴EF：直线 ∵EF=FD-ED=FD-BC=4.9-2.4=2.5米 抛物线的顶点F坐标为（5,2.5） ，且过 （0,0）点， 设 D E F 将 （0,0）代入得： ∴抛物线的解析式： 真题感知 2．（2025上·山东青岛·九年级阶段考试）如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形 的三边组成，隧道的最大高度为 4.9米；AB=10 米，BC=2.4 米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ D E F （2）解：由（1）得抛物线的解析式： 当4-2.4=1.6时 ∴， ， 当 或时， 集装箱刚好碰到隧道的顶部， 此时m=2 ， 当 m=5-2=3时，此时刚好违反交通规则， ∵汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米， 才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则， ∴ 的取值范围是 ． 课堂小结 a>0 a<0 图象 h>0 h<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k （h,k） 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课堂小结 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系 互相平移 课后练习 1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值                                 向上 向下 向上 向下 x＝－5 x＝7 x＝4 x＝－4 (－5，1) (7，－6) (4，10) (－4，－3) 最小值1 最大值－6 最小值10 最大值－3 31 课后练习 2.二次函数 的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(　　) A．第一、二、三象限　　B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限　　D．第一、三、四象限 解析：由图象知：，　顶点坐标（-m，n） 在第一象限，所以 m ＜0，n＞0，故一次函数y＝mx＋n的图象经过第一、二、四象限 B 3.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2－3先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式 。 y＝2x2－3 向右平移1个单位 y＝2（x-1）2－3 向上平移2个单位 y＝2（x-1）2－1 y＝2（x-1）2－1 解析： 课后练习 探究性作业 1．一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为2.6 米，宽为 3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1 ） （1）解：如图， AB为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以AB 的中点为平面直角坐标系的原点O， AB所在直线为x轴， OC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系： x y O A B C 解得：， ∴该抛物线的表达式： ； ∴ ∴ 抛物线的顶点坐标为C(0,4) ，B(8,0) 设抛物线的函数表达式为： 将 B(8,0)代入，得： ， 33 x y O A B C 课后练习 探究性作业 1．一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为2.6 米，宽为 3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1 ） （2）解：由（1）得抛物线的表达式： ； 当2时，代入 得： 解得： ∴水面上升2米后的水面宽度为 米， 2 34 课后练习 探究性作业 1．一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (3)已知一艘货船的高为2.6 米，宽为 3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1 ） x y O A B C （3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到 O′处， O′ ∵货船的高为2.6 米，宽为 3.2米， ∴ EF=×3.2=1.6米， O′ E= 2.6米， 设O O′=m米米，则 OE=O O′ +O′ E=(m+2.6)米， ∴点F 的坐标为(1.6, m+2.6) ， 将(1.6, m+2.6) 代入 ， 得： 解得 =1.24， ∴要使这艘货船安全通过拱桥， 水面在正常水位的基础上最多能上升1.2 米． E F 35 感谢聆听! $$