9.3 平行四边形 暑假巩固练习 2024--2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固 一、有关平行四边形的边的性质 1.如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4，▱ABCD的周长是26，则DM等于（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，▱ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接AE、DE，连接AF交ED于点P，连接BF分别交AE、DE于点G、H，设△BGE的面积为S1，△PDF的面积为S2，四边形CEHF的面积为S3，若S1＝2，S2＝3，S3＝18，则阴影部分四边形AGHP的面积为（　　） A.17 B.19 C.18.5 D.23 3.在▱ABCD中，AD＝10，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（　　） A.4 B.6 C.6或8 D.4或6 4.在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为 　　　　． 5.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为　　　　． 6.平行四边形ABCD周长为36，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝4，AF＝5求这个平行四边形ABCD的面积． 7.如图，在▱ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F． （1）求证：BE＝DF； （2）连结FC，若EF⊥AC，DF＝2，△FDC的周长为16，求▱ABCD的周长． 二、有关平行四边形的角的性质 1.如图，在▱ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E．如果∠B＝53°．则∠DAE的度数为（　　） A.33° B.37° C.53° D.57° 2.在平行四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠C的度数为（　　） A.120° B.110° C.80° D.70° 3.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，∠B＝65°，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为（　　） A.25° B.40° C.65° D.75° 4.如图，在▱ABCD中，∠A﹣∠B＝40°，则∠A＝　　°． 5.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝　　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DEA＝25°，求∠C、∠B的度数． 7.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF． 求证：（1）∠1＝∠2； （2）△ABE≌△CDF． 三、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为（　　） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.8 cm 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　） A.1 cm＜OA＜4 cm B.2 cm＜OA＜8 cm C.2 cm＜OA＜5 cm D.3 cm＜OA＜8 cm 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（　　） A.13 B.8 C.7 D.5 4.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 5.已知▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大3，那么AB＝　　　． 6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE＝DF． 7.如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积． 四、平行四边形性质的综合应用 1.如图，在▱ABCD中，一定正确的是（　　） A.AD＝CD B.AO＝BO C.∠ABC＝∠BCD D.AB∥CD 2.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°，则下列结论不一定正确的是（　　） A.CD＝6 B.OC＝5 C.∠ADC＝140° D.∠BAC＝20° 3.如图，在▱ABCD中，下列结论中不一定成立的是（　　） A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.AC⊥BD D.AB＝CD 4.如图，在▱ABCD和▱BCEF中，M，N分别为对角线交点，已知BC＝10，且△MDA与△NEF的周长分别为22与21，则四边形BNCM的周长为 　　． 5.如图，将▱ABCD平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是▱ABCD面积的，则n的值为 　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 7.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G． （1）求证：BO＝DO； （2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长． 五、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD为平行四边形，下列添加的条件不能是（　　） A.AD∥BC B.∠B＝∠D C.AB＝CD D.AD＝BC 2.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，连接CF．添加下列条件后，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（　　） A.BD∥CF B.DF＝BC C.BD＝CF D.∠B＝∠F 3.一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（　　） A.92°，88°，88° B.102°，88°，102° C.92°，88°，92° D.92°，78°，92° 4.在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 5.将一条长2 cm不水平的线段向右平移3 cm后，连接对应点得到的图形是　　形，它的周长是__________cm． 6.如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF. （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形． 7.数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD＝AC+CD，那么AB＝AC吗？ 悦悦的思考：通过添辅助线“补短”，分别表示出“AB+BD”和“AC+CD”，… （1）根据悦悦的思考，完成上述解答． （2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．求证：四边形ABCD是平行四边形． 六、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 2.在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　） A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 3.如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列结论不一定正确的是（　　） A.△ABC≌△DEF B.∠ABE＝90° C.AD∥BE D.四边形BCFE是平行四边形 4.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 5.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 6.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 七、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 2.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A.∠1＝∠3，AAS B.∠1＝∠3，ASA C.∠2＝∠3，AAS D.∠2＝∠3，ASA 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　　　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 6.如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE． 求证：四边形ABCE是平行四边形． 7.在四边形ABCD中，AD＝4，OA＝OC＝5，BD＝6，∠ADB＝90°，求证四边形ABCD是平行四边形． 八、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.一组对角相等，一组邻角互补 B.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线 C.一组对边平行，一组对角相等 D.一组对边平行，另一组对边相等 2.在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列选项中，不能判定ABCD是平行四边形的是（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB∥CD，AD＝BC C.AB∥CD，AB＝CD D.∠A＝∠C，∠B＝∠D 3.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A.AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B.AD∥BC，AB∥DC C.AB＝DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD 4.下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 　　　　.（填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等； ②一组对边平行且相等； ③两组对边分别相等； ④两组对边分别平行； ⑤两条对角线相等． 5.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件 　　　　　，使四边形AFCE是平行四边形（填一个即可） 6.如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形． 7.如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AECF是平行四边形． 九、反证法 1.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（　　） A.同旁内角互补的两条直线平行 B.同旁内角互补的两条直线不平行 C.同旁内角不互补的两条直线平行 D.同旁内角不互补的两条直线不平行 2.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　） A.有两个角是直角 B.有两个角是钝角 C.有两个角是锐角 D.一个角是直角 3.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（　　） A.两锐角都大于45° B.有一个锐角小于45° C.有一个锐角大于45° D.两锐角都小于45° 4.我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．④则三角形的三个内角的和大于180°．这四个步骤正确的顺序是 　　　　　　． 5.反证法：先假设命题不成立，从假设出发，经过推理得出和 　　矛盾，或者与 　　、　　、　　等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做 　　． 6.求证：对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍． 7.用反证法证明：在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直． 如图，有如下步骤： ①∵∠PAB+∠PBA+∠APB＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴假设不成立，原命题成立； ③假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直，不妨设PA⊥直线l于点A，PB⊥直线l于点B； ④∴∠PAB＝90°，∠PBA＝90°． 其中正确的顺序是 　　．（填序号） 苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固（参考答案） 一、有关平行四边形的边的性质 1.如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4，▱ABCD的周长是26，则DM等于（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】∵BM是∠ABC的平分线， ∴∠ABM＝∠CBM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝CD， ∴∠ABM＝∠BMC， ∴∠BMC＝∠CBM， ∴BC＝MC＝4， ∵▱ABCD的周长是26， ∴AB+CD+AD+CD＝26， ∴BC+CD＝13， ∴CD＝9， 则DM＝CD﹣MC＝9﹣4＝5， 故选：C． 2.如图，▱ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接AE、DE，连接AF交ED于点P，连接BF分别交AE、DE于点G、H，设△BGE的面积为S1，△PDF的面积为S2，四边形CEHF的面积为S3，若S1＝2，S2＝3，S3＝18，则阴影部分四边形AGHP的面积为（　　） A.17 B.19 C.18.5 D.23 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ADE＝S△ADF+S△BCFS▱ABCD， 设S△ADP＝a，S△ABG＝b，S△FHP＝x，S△EGH＝y，S四边形AGHP＝m， 则a+m+y＝a+3+2+y+18， ∴m＝23， 即阴影部分四边形AGHP的面积为23； 故选：D． 3.在▱ABCD中，AD＝10，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（　　） A.4 B.6 C.6或8 D.4或6 【答案】D 【解析】∵▱ABCD， ∴AB＝DC，AD＝BC＝10，AD∥BC， ∴∠CFD＝∠ADF，∠AEB＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，∠CDF＝∠ADF＝∠CFD， ∴AB＝BE，CF＝CD， 如图①，当点F在点E的左侧时：BC＝BE﹣EF+CF＝2AB﹣EF＝10， ∴AB＝6； 如图②，当点F在点E的右侧时，BC＝BE+EF+CF＝2AB+EF＝10， ∴AB＝4， 综上：AB＝4或AB＝6； 故选：D． 4.在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为 　　　　． 【答案】26或28 【解析】设∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠BEA＝∠DAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝EB， 当EB＝5，EC＝4时，如图1， 则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9， ∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28； 当EB＝4，EC＝5时，如图2， 则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9， ∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26， ∴平行四边形ABCD的周长为26或28， 故答案为：26或28． 5.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为　　　　． 【答案】48 【解析】∵▱ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40， ∴BC+CD＝20①， ∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6， ∴S▱ABCD＝4BC＝6CD， 整理得，BCCD②， 联立①②解得，CD＝8， ∴▱ABCD的面积＝AF•CD＝6CD＝6×8＝48． 故答案为：48． 6.平行四边形ABCD周长为36，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝4，AF＝5求这个平行四边形ABCD的面积． 【答案】解：连接AC， ∵平行四边形ABCD的周长为36， ∴BC+CD＝18， 设BC为x， ∵S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝（18﹣x）×5， 解得x＝10，即BC＝10， ∴平行四边形ABCD的面积为10×4＝40． 7.如图，在▱ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F． （1）求证：BE＝DF； （2）连结FC，若EF⊥AC，DF＝2，△FDC的周长为16，求▱ABCD的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AO＝CO，AD＝BC， ∴∠OAF＝∠OCE，∠E＝∠F， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴AF﹣AD＝CE﹣BC， ∴BE＝DF； （2）解：连接CF， ∵EF⊥AC，AO＝CO， ∴EF垂直平分AC， ∴AF＝CF， ∵△FDC的周长为16， ∴DF+CF+CD＝16，即2+AD+2+CD＝16， ∴AD+CD＝12， ∴▱ABCD的周长为2（AD+CD）＝24． 二、有关平行四边形的角的性质 1.如图，在▱ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E．如果∠B＝53°．则∠DAE的度数为（　　） A.33° B.37° C.53° D.57° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝53°， ∴∠D＝∠B＝53°， 又AE⊥CD， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠D＝90°﹣53°＝37°， 故选：B． 2.在平行四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠C的度数为（　　） A.120° B.110° C.80° D.70° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A， ∵∠A＝110°， ∴∠C＝110°， 故选：B． 3.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，∠B＝65°，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为（　　） A.25° B.40° C.65° D.75° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，∠ADC＝∠B，AD∥BC，AB∥DC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB＝AE， ∴AE＝DC，∠AEB＝∠B＝65°， ∴∠DAE＝∠ADC，∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴∠DCA＝∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°， 在△EAD和△CDA中， ， ∴△EAD≌△CDA（SAS）， ∴∠AED＝∠DCA＝75°， 故选：D． 4.如图，在▱ABCD中，∠A﹣∠B＝40°，则∠A＝　　°． 【答案】110° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A﹣∠B＝40°， ∴2∠A＝220°， ∴∠A＝110°． 故答案为：110． 5.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝　　　． 【答案】127° 【解析】∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， 又∵∠EAF＝53°， ∴∠C＝360°﹣53°﹣90°﹣90°＝127°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C＝127°． 故答案为：127°． 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DEA＝25°，求∠C、∠B的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，∠C＝∠DAB，∠B+∠DAB＝180°， ∴∠EAB＝∠DEA＝25°， ∵∠BAD的平分线AE交DC于点E， ∴∠DAB＝2∠EAB＝50°， ∴∠C＝∠DAB＝50°， ∴∠B＝180°﹣∠DAB＝130°． 7.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF． 求证：（1）∠1＝∠2； （2）△ABE≌△CDF． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥EC， 又∵AE∥CF． ∴四边形AECF是平行四边形． ∴∠1＝∠2（平行四边形对角相等）． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝FC，AF＝CE， ∴BE＝FD， 在△ABE和△CDF中， ∵， ∴△ABE≌△CDF（SSS）． 三、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为（　　） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.8 cm 【答案】B 【解析】∵▱ABCD的周长为26 cm， ∴AB+AD＝13 cm，OB＝OD， ∵△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm， ∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝3 cm， ∴AB＝5 cm，AD＝8 cm． ∴BC＝AD＝8 cm． ∵AC⊥AB，E是BC中点， ∴AEBC＝4 cm； 故选：B． 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　） A.1 cm＜OA＜4 cm B.2 cm＜OA＜8 cm C.2 cm＜OA＜5 cm D.3 cm＜OA＜8 cm 【答案】A 【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm， ∴2 cm＜AC＜8 cm， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AOAC， ∴1 cm＜OA＜4 cm， 故选：A． 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（　　） A.13 B.8 C.7 D.5 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝3， C△OCD＝CD+OD+OC＝CD（AC+BD）， ∴C△OCD＝310＝8． 故选：B． 4.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 【答案】12 cm 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OE⊥BD， ∴OE是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD24＝12（cm）， 故答案为：12 cm． 5.已知▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大3，那么AB＝　　　． 【答案】9 【解析】如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC， ∵△AOB的周长比△BOC的周长大3， ∴（AO+BO+AB）﹣（BO+OC+BC）＝3， ∴AO+BO+AB﹣BO﹣OC﹣BC＝3， ∴AB﹣BC＝3， ∵▱ABCD的周长是30， ∴2（AB+BC）＝30，即AB+BC＝15， ∴AB＝9， 故答案为：9． 6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE＝DF． 【答案】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O， ∴OB＝OD，OA＝OC． 又∵E，F分别是OA、OC的中点， ∴OEOA，OFOC， ∴OE＝OF． ∵在△BEO与△DFO中，， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 7.如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积． 【答案】解：∵▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC， ∴BC＝8，则AC6， ∴AO＝CO＝3， ∴▱ABCD的面积为：AC×BC＝6×8＝48． 四、平行四边形性质的综合应用 1.如图，在▱ABCD中，一定正确的是（　　） A.AD＝CD B.AO＝BO C.∠ABC＝∠BCD D.AB∥CD 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，AD∥BC， 故选：D． 2.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°，则下列结论不一定正确的是（　　） A.CD＝6 B.OC＝5 C.∠ADC＝140° D.∠BAC＝20° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°， ∴CD＝AB＝6，OC＝OAAC＝5，∠ADC＝∠ABC＝140°， 故A不符合题意，B不符合题意，C不符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝40°， 假设∠BAC＝20°成立，则∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝20°， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵∠DAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，与已知条件不符， ∴∠BAC＝20°不成立， 故D符合题意， 故选：D． 3.如图，在▱ABCD中，下列结论中不一定成立的是（　　） A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.AC⊥BD D.AB＝CD 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2； ∴选项A、B、D不符合题意； 当四边形ABCD是菱形时，AC⊥BD， ∴选项C符合题意； 故选：C． 4.如图，在▱ABCD和▱BCEF中，M，N分别为对角线交点，已知BC＝10，且△MDA与△NEF的周长分别为22与21，则四边形BNCM的周长为 　　． 【答案】23 【解析】在▱ABCD和▱BCEF中，∵AD＝BC＝10，EF＝BC＝10，AM＝CM，BM＝DM，BN＝EN，CN＝FN， ∴△MDA的周长＝AD+AM+DM＝22，△NEF的周长＝EF+FN+EN＝21， ∴BM+CM＝DM+AM＝22﹣10＝12，BN+CN＝EN+FN＝21﹣10＝11， ∴四边形BNCM的周长＝BM+CM+BN+CN＝12+11＝23， 故答案为：23． 5.如图，将▱ABCD平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是▱ABCD面积的，则n的值为 　　． 【答案】8 【解析】设平行四边形的面积为S， ∵阴影部分面积是▱ABCD面积的， ∴SSSS， ∴n＝8， 经检验，n＝8是方程的解， 故答案为：8． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BF＝DE， ∴BE＝DF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵AD＝AE， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠AEB＝140°． 7.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G． （1）求证：BO＝DO； （2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠OBE＝∠ODF． 在△OBE与△ODF中， ， ∴△OBE≌△ODF（AAS）． ∴BO＝DO； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠GDF＝45°，∠GFD＝∠AEG＝90°， ∴△GFD是等腰直角三角形， ∴FG＝DF，DGFG＝2，∠G＝45°， ∵BD⊥AD， ∴△DGO是等腰直角三角形， ∴DG＝DO＝2， ∴DO＝BO＝2， ∴DB＝4， ∵∠A＝45°，BD⊥AD， ∴∠A＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD＝4． 五、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD为平行四边形，下列添加的条件不能是（　　） A.AD∥BC B.∠B＝∠D C.AB＝CD D.AD＝BC 【答案】D 【解析】A、当AB∥CD，AD∥BC时， 故可证明四边形ABCD为平行四边形； B、∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠C+∠D＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴可证明四边形ABCD为平行四边形； C、当AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形； D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形； 故选：D． 2.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，连接CF．添加下列条件后，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（　　） A.BD∥CF B.DF＝BC C.BD＝CF D.∠B＝∠F 【答案】C 【解析】A、∵BD∥CF，DE∥BC， ∴四边形BCFD为平行四边形；故选项A不符合题意； B、∵DF∥BC，DF＝BC， ∴四边形BCFD为平行四边形；故选项B不符合题意； C、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形BCFD为平行四边形；故选项C符合题意； D、∵DE∥BC， ∴∠B+∠BDF＝180°， ∵∠B＝∠F， ∴∠F+∠BDF＝180°， ∴BD∥CF， ∴四边形BCFD为平行四边形；故选项D不符合题意； 故选：C． 3.一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（　　） A.92°，88°，88° B.102°，88°，102° C.92°，88°，92° D.92°，78°，92° 【答案】C 【解析】当∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°时， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴ABCD是平行四边形， ∴四个选项中只有B选项满足题意， 故选：C． 4.在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 【答案】∥ 【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知： ∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：∥． 5.将一条长2 cm不水平的线段向右平移3 cm后，连接对应点得到的图形是　　形，它的周长是__________cm． 【答案】平行四边；10 【解析】如图，连接对应点得到的图形是平行四边形； 它的周长为：2+2+3+3＝10 cm． 故答案为：平行四边，10． 6.如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF. （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵AE∥DF， ∴∠AEF＝∠DFE， ∴∠AEB＝∠DFC， ∵AE＝FD，BE＝CF， ∴△AEB≌△DFC（SAS）． （2）连接AC、BD． ∵△AEB≌△DFC， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF， ∴AB∥DC， ∴四边形ABDC是平行四边形． 7.数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD＝AC+CD，那么AB＝AC吗？ 悦悦的思考：通过添辅助线“补短”，分别表示出“AB+BD”和“AC+CD”，… （1）根据悦悦的思考，完成上述解答． （2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】解：（1）延长DB至E，使BE＝AB；延长DC至F，使CF＝AC；连接AE、AF． ∵AB+BD＝CD+AC， ∴DE＝DF， 又AD⊥BC， ∴△AEF是等腰三角形； ∴∠E＝∠F； ∵AB＝BE， ∴∠ABC＝2∠E； 同理，得∠ACB＝2∠F； ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）在DA的延长线上取点M，使AM＝AB，在BC的延长线上取点N，使CN＝CD，连接BM、DN， 则∠M＝∠ABM，∠N＝∠CDN， ∵AB+AD＝CD+CB，且AM＝AB，CN＝CD， ∴AM+AD＝CN+CB， 即DM＝BN， 又∵AD∥BC， ∴四边形MBND是平行四边形， ∴MB＝ND，∠M＝∠N， ∴∠ABM＝∠CDN， 在△ABM和△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（ASA）， ∴AM＝CN， ∵DM＝BN， ∴DM﹣AM＝BN﹣CN， 即AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 六、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】由作图知，BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：B． 2.在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　） A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 【答案】C 【解析】任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种． 故选：C． 3.如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列结论不一定正确的是（　　） A.△ABC≌△DEF B.∠ABE＝90° C.AD∥BE D.四边形BCFE是平行四边形 【答案】B 【解析】∵△ABC平移到△DEF的位置， ∴△ABC≌△DEF，故A不符合题意； ∠ABE不一定等于90°，故B符合题意； AD∥BE，故C不符合题意； BC＝EF，BE=CF， ∴四边形BCFE是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 4.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 【答案】6；4 【解析】因为对边相等的四边形为平行四边形， 所以当BC＝AD＝6 cm，CD＝AB＝4 cm时， 四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：6；4． 5.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】AB＝CD（答案不唯一） 【解析】添加条件为AB＝CD， ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 6.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AB＝CD， 又AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 【答案】解：（1）∵两个直角三角板全等， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）选择图①， AC和BD交于O， ∵∠CBD＝30°，∠CDB＝90°， ∴CDBC12＝6， ∴BD＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ODBD＝3，AC＝2OC， ∴OC3， ∴AC＝2OC＝6． 七、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 【答案】B 【解析】A、OA＝OB，OC＝OD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意； B、OA＝OC，OB＝OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、OB＝AB，OD＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； D、OA＝OB，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A.∠1＝∠3，AAS B.∠1＝∠3，ASA C.∠2＝∠3，AAS D.∠2＝∠3，ASA 【答案】D 【解析】∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠3， ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∵点M是AC的中点， ∴MA＝MC， 在△MAD和△MCB中， ， ∴△MAD≌△MCB（ASA）， ∴MD＝MB， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA， 故选：D． 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 【答案】A 【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确． B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误． C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误． D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误． 故选：A． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 【答案】①② 【解析】①∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①符合题意； ②∵AD∥BC， ∴∠OBC＝∠ODA， 又∵OB＝OD，∠BOC＝∠DOA， ∴△OBC≌△ODA（ASA）， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故②符合题意； ③由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　　　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】DO＝BO 【解析】添加条件DO＝BO， 证明如下：∵AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：DO＝BO． 6.如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE． 求证：四边形ABCE是平行四边形． 【答案】证明：∵BD是△ABC的AC边上的中线， ∴AD＝CD， ∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形． 7.在四边形ABCD中，AD＝4，OA＝OC＝5，BD＝6，∠ADB＝90°，求证四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AD＝4，OA＝OC＝5，∠ADB＝90°， ∴DO3， ∵BD＝6， ∴DO＝OB＝3， ∴四边形ABCD为平行四边形． 八、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.一组对角相等，一组邻角互补 B.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线 C.一组对边平行，一组对角相等 D.一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解析】A、∵一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形， ∴选项A不符合题意； B、∵一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形， ∴选项B不符合题意； C、∵一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形， ∴选项C不符合题意； D、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， ∴选项D符合题意； 故选：D． 2.在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列选项中，不能判定ABCD是平行四边形的是（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB∥CD，AD＝BC C.AB∥CD，AB＝CD D.∠A＝∠C，∠B＝∠D 【答案】B 【解析】A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 3.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A.AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B.AD∥BC，AB∥DC C.AB＝DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD 【答案】A 【解析】A、AB＝DC，∠ABC＝∠ADC不一定是平行四边形，故此选项符合题意； B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； 故选：A． 4.下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 　　　　.（填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等； ②一组对边平行且相等； ③两组对边分别相等； ④两组对边分别平行； ⑤两条对角线相等． 【答案】②③④ 【解析】①一组对边相等，一组对边相等，不能判断，故此选项不合题意； ②一组对边平行且相等，能判断，故此选项符合题意； ③两组对边分别相等，能判断，故此选项符合题意； ④两组对边分别平行，能判断，故此选项符合题意； ⑤两条对角线相等，不能判断，故此选项不合题意． 故答案为：②③④． 5.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件 　　　　　，使四边形AFCE是平行四边形（填一个即可） 【答案】BF＝DE（答案不唯一） 【解析】添加的条件为BF＝DE； 连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BF＝DE， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； 故答案为：BF＝DE（答案不唯一）． 6.如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE∥BF，DE＝BF， ∵M、N是DE和BF的中点， ∴EM＝FN， ∴四边形ENFM是平行四边形． 7.如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAE， ∵AE、CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线， ∴∠DAE＝∠ECF， ∴∠BEA＝∠ECF， ∴AE∥CF，∵AD∥BC， ∴四边形AFCE是平行四边形． 九、反证法 1.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（　　） A.同旁内角互补的两条直线平行 B.同旁内角互补的两条直线不平行 C.同旁内角不互补的两条直线平行 D.同旁内角不互补的两条直线不平行 【答案】C 【解析】由题意可得，反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行， 故选：C． 2.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　） A.有两个角是直角 B.有两个角是钝角 C.有两个角是锐角 D.一个角是直角 【答案】A 【解析】用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”， 应先假设这个三角形中有两个角是直角． 故选：A． 3.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（　　） A.两锐角都大于45° B.有一个锐角小于45° C.有一个锐角大于45° D.两锐角都小于45° 【答案】A 【解析】反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°， 故选：A． 4.我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．④则三角形的三个内角的和大于180°．这四个步骤正确的顺序是 　　　　　　． 【答案】③④①② 【解析】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°． 证明如下：假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°， 则三角形的三个内角的和大于180°， 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故答案为：③④①②． 5.反证法：先假设命题不成立，从假设出发，经过推理得出和 　　矛盾，或者与 　　、　　、　　等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做 　　． 【答案】已知条件；定义；基本事实；定理；反证法 【解析】反证法：先假设命题不成立，从假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法． 故答案为：已知条件；定义、基本事实、定理；反证法． 6.求证：对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍． 【答案】证明：假设对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有没有一个数是p的整数倍或有两个或三个p的整数倍， 取p＝3，显然，任意连续的三个正整数，有且只有一个数是3的整数倍，所以假设不成立， 所以对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍． 7.用反证法证明：在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直． 如图，有如下步骤： ①∵∠PAB+∠PBA+∠APB＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴假设不成立，原命题成立； ③假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直，不妨设PA⊥直线l于点A，PB⊥直线l于点B； ④∴∠PAB＝90°，∠PBA＝90°． 其中正确的顺序是 　　．（填序号） 【答案】③④①② 【解析】假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直，不妨设PA⊥直线l于点A，PB⊥直线l于点B， ∴∠PAB＝90°，∠PBA＝90°， ∵∠PAB+∠PBA+∠APB＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ∴假设不成立，原命题成立， 故答案为：③④①②． 学科网（北京）股份有限公司 $$