9.3 平行四边形 暑假题型专练2024-2025学年苏科版数学八年级下册

苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假题型专练 一、有关平行四边形的边的性质 1.在▱ABCD中，已知AD＝4，AB＝2，则▱ABCD的周长是（　　） A.18 B.16 C.14 D.12 2.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BC＝7，EF＝1，则AB为（　　） A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 3.在▱ABCD中，AD＝10，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（　　） A.4 B.6 C.6或8 D.4或6 4.如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是DC的中点，连接EF交BC的延长线于点G，则BG＝　　． 5.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为　　　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 7.平行四边形ABCD周长为36，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝4，AF＝5求这个平行四边形ABCD的面积． 二、有关平行四边形的角的性质 1.已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A.50° B.65° C.115° D.130° 2.如图，▱ABCD中，∠B＝25°，则∠D等于（　　） A.25° B.50° C.35° D.65° 3.如图，在▱ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E．如果∠B＝53°．则∠DAE的度数为（　　） A.33° B.37° C.53° D.57° 4.如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为 　　． 5.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝6：3，则∠D的度数是 　　． 6.已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△FBE； （2）若EC＝3，求AD的长． 7.如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 三、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD＝（　　） A.4 B.5 C.6 D.8 2.平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（　　） A.12和16 B.20和22 C.10和16 D.8和36 3.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（　　） A.28 B.26 C.24 D.20 4.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 5.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC的周长为10，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为 　　　． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 7.如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积． 四、平行四边形性质的综合应用 1.平行四边形不一定具有的性质是（　　） A.对边平行 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线垂直 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB＝2DF，连接DE、EF、EC，则S△DEF：S△CED＝（　　） A.1：4 B.1：3 C.1：6 D.2：5 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A.∠ABD＝∠CBD B.∠BAD＝2∠ABC C.AB＝BC D.OB＝OD 4.如图，在▱ABCD和▱BCEF中，M，N分别为对角线交点，已知BC＝10，且△MDA与△NEF的周长分别为22与21，则四边形BNCM的周长为 　　． 5.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC+BD＝22，AB＝9．则△OCD的周长为 　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 7.下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 五、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，△DEF是由△ABC平移得到的，对于结论：①BC＝EF；②AB∥DE；③△ABC≌△DEF；④四边形ACFD为平行四边形，正确的是（　　） A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.∠A＝∠C B.AD＝BC C.∠B+∠C＝180° D.AB＝BC 3.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，连接CF．添加下列条件后，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（　　） A.BD∥CF B.DF＝BC C.BD＝CF D.∠B＝∠F 4.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　　CD时，四边形ABCD是平行四边形． 5.如图，△ABC、△ACE、△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有__________个． 6.如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF．求证：四边形ADEF是平行四边形． 7.数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD＝AC+CD，那么AB＝AC吗？ 悦悦的思考：通过添辅助线“补短”，分别表示出“AB+BD”和“AC+CD”，… （1）根据悦悦的思考，完成上述解答． （2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．求证：四边形ABCD是平行四边形． 六、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列结论不一定正确的是（　　） A.△ABC≌△DEF B.∠ABE＝90° C.AD∥BE D.四边形BCFE是平行四边形 2.下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（　　） A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形 C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形 3.关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①② D.③④ 4.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 5.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 七、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.OB＝OD B.AB＝CD C.AC＝BD D.AD＝BC 2.下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A.对角线相互垂直 B.对角线互相平分 C.一组对角相等 D.一组对边相等 3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　　　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 6.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE． 求证：四边形ABCE是平行四边形． 八、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB＝CD B.AO＝CO C.AD＝BC D.∠ABC＝∠ADC 2.已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AD∥BC B.AB＝CD，AD∥BC C.AO＝CO，BO＝DO D.∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AD∥BC B.OA＝OC，OB＝OD C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 4.下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 　　　　.（填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等； ②一组对边平行且相等； ③两组对边分别相等； ④两组对边分别平行； ⑤两条对角线相等． 5.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 6.如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形． 7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于4，求△CFO的面积． 九、反证法 1.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a＝b C.a≤b D.a≥b 2.下列说法中，正确的是（　　） A.不等式只有2个解 B.不等式x+5＞3的解集为x＞2 C.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都大于60° D.有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 3.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　） A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45° 4.用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设　　　　　　　　． 5.用反证法证明某一命题的结论“a＜3”时，第一步应假设 　　　． 6.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A+∠B. 证明：假设 　　． 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴　　＝180°﹣∠ACB． ∵∠ACD+　　＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣　　， ∴∠ACD＝　　． 与假设相矛盾， ∴假设　　, ∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B． 7.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”. 已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1+∠2　　　180°． 求证：直线l1与l2　　　． 证明：假设l1　　　l2， 则∠1+∠2　　　180°（　　　　　　　　　　　　　）． 这与　　　　矛盾，故　　　　　不成立． 所以　　　　　　　． 苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假题型专练（参考答案） 一、有关平行四边形的边的性质 1.在▱ABCD中，已知AD＝4，AB＝2，则▱ABCD的周长是（　　） A.18 B.16 C.14 D.12 【答案】D 【解析】在▱ABCD中， ∵AD＝4，AB＝2， ∴▱ABCD的周长为2（AD+AB）＝2×（2+4）＝12， 故选：D． 2.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BC＝7，EF＝1，则AB为（　　） A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 【答案】D 【解析】∵BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F， ∴∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF， ∵四边形ABCD是平行四边形，EF＝1， ∴AD∥BC，AD＝BC＝4，AB＝DC， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DFC＝∠DCF， ∴AE＝AB，DF＝DC， ∴AE＝DF＝AB， ∵AB+EF+DC+EF＝7， ∴AB＝4， 故选：D． 3.在▱ABCD中，AD＝10，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（　　） A.4 B.6 C.6或8 D.4或6 【答案】D 【解析】∵▱ABCD， ∴AB＝DC，AD＝BC＝10，AD∥BC， ∴∠CFD＝∠ADF，∠AEB＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，∠CDF＝∠ADF＝∠CFD， ∴AB＝BE，CF＝CD， 如图①，当点F在点E的左侧时：BC＝BE﹣EF+CF＝2AB﹣EF＝10， ∴AB＝6； 如图②，当点F在点E的右侧时，BC＝BE+EF+CF＝2AB+EF＝10， ∴AB＝4， 综上：AB＝4或AB＝6； 故选：D． 4.如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是DC的中点，连接EF交BC的延长线于点G，则BG＝　　． 【答案】11 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝5， ∴DE＝3， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠FCG，∠DEF＝∠G， ∵点F是DC的中点， ∴DF＝CF， ∴△EDF≌△GCF（AAS）， ∴DE＝CG＝3， ∴BG＝BC+CG＝8+3＝11， 故答案为：11． 5.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为　　　　． 【答案】48 【解析】∵▱ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40， ∴BC+CD＝20①， ∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6， ∴S▱ABCD＝4BC＝6CD， 整理得，BCCD②， 联立①②解得，CD＝8， ∴▱ABCD的面积＝AF•CD＝6CD＝6×8＝48． 故答案为：48． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 【答案】证明：（1）∵ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠F＝∠FCD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）； （2）∵E是AD的中点， ∴， ∵， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴BE平分∠ABC． 7.平行四边形ABCD周长为36，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝4，AF＝5求这个平行四边形ABCD的面积． 【答案】解：连接AC， ∵平行四边形ABCD的周长为36， ∴BC+CD＝18， 设BC为x， ∵S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝（18﹣x）×5， 解得x＝10，即BC＝10， ∴平行四边形ABCD的面积为10×4＝40． 二、有关平行四边形的角的性质 1.已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A.50° B.65° C.115° D.130° 【答案】C 【解析】在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝130°， ∴∠A＝∠C＝65°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝115°， 故选：C． 2.如图，▱ABCD中，∠B＝25°，则∠D等于（　　） A.25° B.50° C.35° D.65° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝25°， 故选：A． 3.如图，在▱ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E．如果∠B＝53°．则∠DAE的度数为（　　） A.33° B.37° C.53° D.57° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝53°， ∴∠D＝∠B＝53°， 又AE⊥CD， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠D＝90°﹣53°＝37°， 故选：B． 4.如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为 　　． 【答案】118° 【解析】∵在▱ABCD中， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠C+∠ABC＝180°，∠CBE+∠BED＝180°， ∵∠C＝56°， ∴∠ABC＝124°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝62°， 则∠BED＝180°﹣∠CBE＝118°， 故答案为：118°． 5.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝6：3，则∠D的度数是 　　． 【答案】60° 【解析】∵平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝6：3， ∴∠A＝2∠B，∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D， ∴3∠B＝180°， ∴∠B＝60°， ∴∠D＝60°； 故答案为：60°． 6.已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△FBE； （2）若EC＝3，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠F＝∠CDE， ∵BF＝AB， ∴BF＝CD， 在△DCE和△FBE中， ， ∴△DCE≌△FBE（AAS）． （2）解：∵△DCE≌△FBE（AAS），EC＝3， ∴BE＝EC＝3， ∴BC＝2BE＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝6． 7.如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 【答案】证明：∵四边形BFDE是平行四边形， ∴∠BED＝∠DFB，BE＝DF， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． 三、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD＝（　　） A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO，DOBD， ∵AC＝10，BD＝6， ∴AO＝5，DO＝3， ∵∠BDA＝90°， ∴AD4， 故选：A． 2.平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（　　） A.12和16 B.20和22 C.10和16 D.8和36 【答案】B 【解析】A、根据三角形的三边关系可知：6+8＝14，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、10+11＞14，能构成三角形，故此选项正确，符合题意； C、5+8＜14，不能构成三角形，故此选项错误，不符合题意； D、4+14＝18，不能构成三角形，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 3.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（　　） A.28 B.26 C.24 D.20 【答案】C 【解析】在平行四边形ABCD中， 2（AD+CD）＝36， ∴AD+CD＝18， 易证△AOE≌△COF， ∴AE＝CF，OE＝OF＝3， ∴EF＝6， ∴CF+CD+ED+EF ＝AE+ED+EF+CD ＝AD+CD+EF ＝18+6 ＝24， 故选：C． 4.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 【答案】12 cm 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OE⊥BD， ∴OE是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD24＝12（cm）， 故答案为：12 cm． 5.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC的周长为10，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为 　　　． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2OB，AC＝2OA，AB＝CD， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10，△BCD的周长＝CD+BC+BD＝16， ∴BD﹣AC＝16﹣10＝6， ∴2OB﹣2OA＝6， ∴OB﹣OA＝3． 故答案为：3． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝14，AB＝6＝CD， ∴，， ∴△OCD的周长为：CD+OC+OD＝6+4+7＝17． 7.如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积． 【答案】解：∵▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC， ∴BC＝8，则AC6， ∴AO＝CO＝3， ∴▱ABCD的面积为：AC×BC＝6×8＝48． 四、平行四边形性质的综合应用 1.平行四边形不一定具有的性质是（　　） A.对边平行 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线垂直 【答案】D 【解析】∵平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分， ∴平行四边形不一定具有的性质是D选项． 故选：D． 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB＝2DF，连接DE、EF、EC，则S△DEF：S△CED＝（　　） A.1：4 B.1：3 C.1：6 D.2：5 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点， ∴S△ADE＝S△BDES平行四边形ABCD， ∵FB＝2DF， ∴S△DEFS△BDES平行四边形ABCD， ∵S△CDES平行四边形ABCD， ∴S△DEF：S△CDES平行四边形ABCD：S平行四边形ABCD＝1：6． 故选：C． 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A.∠ABD＝∠CBD B.∠BAD＝2∠ABC C.AB＝BC D.OB＝OD 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD，AD∥CB， ∴∠ABD＝∠CDB，∠BAD+∠ABC＝180°，则A，B，C不正确， 故选：D． 4.如图，在▱ABCD和▱BCEF中，M，N分别为对角线交点，已知BC＝10，且△MDA与△NEF的周长分别为22与21，则四边形BNCM的周长为 　　． 【答案】23 【解析】在▱ABCD和▱BCEF中，∵AD＝BC＝10，EF＝BC＝10，AM＝CM，BM＝DM，BN＝EN，CN＝FN， ∴△MDA的周长＝AD+AM+DM＝22，△NEF的周长＝EF+FN+EN＝21， ∴BM+CM＝DM+AM＝22﹣10＝12，BN+CN＝EN+FN＝21﹣10＝11， ∴四边形BNCM的周长＝BM+CM+BN+CN＝12+11＝23， 故答案为：23． 5.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC+BD＝22，AB＝9．则△OCD的周长为 　　． 【答案】20 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴OC＝OAAC，OD＝OBBD，CD＝AB＝9， ∵AC+BD＝18， ∴OC+OD（AC+BD）22＝11， ∴OC+OD+CD＝11+9＝20， ∴△OCD的周长为20， 故答案为：20． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BF＝DE， ∴BE＝DF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵AD＝AE， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠AEB＝140°． 7.下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 【答案】证明：选择方法一： 如图，连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△ADC与△BCA中， ， ∴△ADC≌△BCA（SAS）， ∴∠B＝∠D， 即平行四边形的对角相等． 选择方法二： 如图，延长BC至点E． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠D，∠B＝∠DCE， ∴∠B＝∠D， 即平行四边形的对角相等． 选择方法三： 如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADB＝∠DBC，∠ABD＝∠BDC， ∴∠DBC+∠ABD=∠ADB+∠BDC， ∴∠ABC＝∠ADC， 即平行四边形的对角相等． 五、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，△DEF是由△ABC平移得到的，对于结论：①BC＝EF；②AB∥DE；③△ABC≌△DEF；④四边形ACFD为平行四边形，正确的是（　　） A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【解析】由平移性质可得：BC＝EF，AB∥DE，AB＝DE，AC＝DF，AC∥DF， ∴①②正确； 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF， ∴③正确； ∵AC＝DF，AC∥DF， ∴四边形ACFD为平行四边形， ∴④正确， 故选：A． 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.∠A＝∠C B.AD＝BC C.∠B+∠C＝180° D.AB＝BC 【答案】A 【解析】如图所示：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， 当∠A＝∠C时，则∠A+∠B＝180°， 故AD∥BC， 则四边形ABCD是平行四边形． 故选：A． 3.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，连接CF．添加下列条件后，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（　　） A.BD∥CF B.DF＝BC C.BD＝CF D.∠B＝∠F 【答案】C 【解析】A、∵BD∥CF，DE∥BC， ∴四边形BCFD为平行四边形；故选项A不符合题意； B、∵DF∥BC，DF＝BC， ∴四边形BCFD为平行四边形；故选项B不符合题意； C、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形BCFD为平行四边形；故选项C符合题意； D、∵DE∥BC， ∴∠B+∠BDF＝180°， ∵∠B＝∠F， ∴∠F+∠BDF＝180°， ∴BD∥CF， ∴四边形BCFD为平行四边形；故选项D不符合题意； 故选：C． 4.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　　CD时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】∥ 【解析】当AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵∠DAC＝∠BCA， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：∥． 5.如图，△ABC、△ACE、△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有__________个． 【答案】2 【解析】∵∠B＝60°，∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+60°＝120°， ∴∠B+∠BAE＝180°， ∴AE∥BD， ∵AE＝BC＝CD， ∴四边形AECB，AEDC是平行四边形． 故答案为：2． 6.如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF．求证：四边形ADEF是平行四边形． 【答案】证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBE， ∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴BE＝DE； ∵BE＝AF， ∴AF＝DE； ∴四边形ADEF是平行四边形． 7.数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD＝AC+CD，那么AB＝AC吗？ 悦悦的思考：通过添辅助线“补短”，分别表示出“AB+BD”和“AC+CD”，… （1）根据悦悦的思考，完成上述解答． （2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】解：（1）延长DB至E，使BE＝AB；延长DC至F，使CF＝AC；连接AE、AF． ∵AB+BD＝CD+AC， ∴DE＝DF， 又AD⊥BC， ∴△AEF是等腰三角形； ∴∠E＝∠F； ∵AB＝BE， ∴∠ABC＝2∠E； 同理，得∠ACB＝2∠F； ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）在DA的延长线上取点M，使AM＝AB，在BC的延长线上取点N，使CN＝CD，连接BM、DN， 则∠M＝∠ABM，∠N＝∠CDN， ∵AB+AD＝CD+CB，且AM＝AB，CN＝CD， ∴AM+AD＝CN+CB， 即DM＝BN， 又∵AD∥BC， ∴四边形MBND是平行四边形， ∴MB＝ND，∠M＝∠N， ∴∠ABM＝∠CDN， 在△ABM和△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（ASA）， ∴AM＝CN， ∵DM＝BN， ∴DM﹣AM＝BN﹣CN， 即AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 六、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列结论不一定正确的是（　　） A.△ABC≌△DEF B.∠ABE＝90° C.AD∥BE D.四边形BCFE是平行四边形 【答案】B 【解析】∵△ABC平移到△DEF的位置， ∴△ABC≌△DEF，故A不符合题意； ∠ABE不一定等于90°，故B符合题意； AD∥BE，故C不符合题意； BC＝EF，BE=CF， ∴四边形BCFE是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 2.下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（　　） A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形 C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形 【答案】B 【解析】∵两组分别相等的四边形是平行四边形， ∴只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．（如图所示） 故选：B． 3.关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①② D.③④ 【答案】C 【解析】∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴①能判定； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴②能判定； ∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形， ∴③不一定能； ∵两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形， ∴④不一定能； 以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有①②； 故选：C． 4.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】AB＝CD（答案不唯一） 【解析】添加条件为AB＝CD， ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 5.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 【答案】6；4 【解析】因为对边相等的四边形为平行四边形， 所以当BC＝AD＝6 cm，CD＝AB＝4 cm时， 四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：6；4． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 【答案】解：（1）∵两个直角三角板全等， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）选择图①， AC和BD交于O， ∵∠CBD＝30°，∠CDB＝90°， ∴CDBC12＝6， ∴BD＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ODBD＝3，AC＝2OC， ∴OC3， ∴AC＝2OC＝6． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AB＝CD， 又AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 七、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.OB＝OD B.AB＝CD C.AC＝BD D.AD＝BC 【答案】A 2.下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A.对角线相互垂直 B.对角线互相平分 C.一组对角相等 D.一组对边相等 【答案】B 【解析】A、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误； D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误． 故选：B． 3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 【答案】B 【解析】A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 【答案】①② 【解析】①∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①符合题意； ②∵AD∥BC， ∴∠OBC＝∠ODA， 又∵OB＝OD，∠BOC＝∠DOA， ∴△OBC≌△ODA（ASA）， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故②符合题意； ③由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　　　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】DO＝BO 【解析】添加条件DO＝BO， 证明如下：∵AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：DO＝BO． 6.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角， ∴∠EOB＝∠FOD， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（ASA）； ∴OE＝OF， ∵AE＝CF， ∴OA＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 7.如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE． 求证：四边形ABCE是平行四边形． 【答案】证明：∵BD是△ABC的AC边上的中线， ∴AD＝CD， ∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形． 八、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB＝CD B.AO＝CO C.AD＝BC D.∠ABC＝∠ADC 【答案】C 【解析】A．由题意可得：AB＝CD，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B．由AB∥CD可以得到∠BAO＝∠DCO， 又∵AO＝CO，∠AOB＝COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C．由题意可得：AB∥CD，AD＝BC，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形ABCD是平行四边形，也可能是等腰梯形，符合题意； D．由AB∥CD可以得到∠ABC+∠BCD＝180°， 又∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2.已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AD∥BC B.AB＝CD，AD∥BC C.AO＝CO，BO＝DO D.∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB 【答案】B 【解析】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意； B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意； D、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意； 故选：B． 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AD∥BC B.OA＝OC，OB＝OD C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 【答案】D 【解析】A、∵AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项能判定这个四边形是平行四边形； B、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项能判定这个四边形是平行四边形； C、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项能判定这个四边形是平行四边形； D、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形， 故本选项不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 4.下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 　　　　.（填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等； ②一组对边平行且相等； ③两组对边分别相等； ④两组对边分别平行； ⑤两条对角线相等． 【答案】②③④ 【解析】①一组对边相等，一组对边相等，不能判断，故此选项不合题意； ②一组对边平行且相等，能判断，故此选项符合题意； ③两组对边分别相等，能判断，故此选项符合题意； ④两组对边分别平行，能判断，故此选项符合题意； ⑤两条对角线相等，不能判断，故此选项不合题意． 故答案为：②③④． 5.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 【答案】4 【解析】设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△EAD+S△ECB AD•h1CB•h2AD（h1+h2） S四边形ABCD ＝4． 故答案为：4． 6.如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE∥BF，DE＝BF， ∵M、N是DE和BF的中点， ∴EM＝FN， ∴四边形ENFM是平行四边形． 7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于4，求△CFO的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵BE＝EF， ∴S△ABE＝S△AEF＝4， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴S△AEF＝S△CEF＝4， ∵EO＝FO， ∴S△CFO2． 九、反证法 1.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a＝b C.a≤b D.a≥b 【答案】D 【解析】根据反证法的步骤，得第一步应假设a＜b不成立，即a≥b． 故选：D． 2.下列说法中，正确的是（　　） A.不等式只有2个解 B.不等式x+5＞3的解集为x＞2 C.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都大于60° D.有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】A、不等式有无数个解，选项说法错误，故不符合题意； B、不等式x+5＞3的解集为x＞﹣2，选项说法错误，故不符合题意； C、用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设：这个三角形中每一个内角都大于60°，选项说法正确，故符合题意； D、有两个角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，比如等腰直角三角形，故选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 3.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　） A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45° 【答案】A 【解析】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时， 应先假设两个锐角都大于45°． 故选：A． 4.用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设　　　　　　　　． 【答案】一个三角形中至少有两个钝角 【解析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设， 故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角． 故答案为：一个三角形中至少有两个钝角． 5.用反证法证明某一命题的结论“a＜3”时，第一步应假设 　　　． 【答案】a≥3 【解析】用反证法证明“a＜3”时，应先假设a≥3． 故答案为：a≥3． 6.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A+∠B. 证明：假设 　　． 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴　　＝180°﹣∠ACB． ∵∠ACD+　　＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣　　， ∴∠ACD＝　　． 与假设相矛盾， ∴假设　　, ∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B． 【答案】证明：假设∠ACD≠∠A+∠B． 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB． ∵∠ACD+∠ACB＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB， ∴∠ACD＝∠A+∠B， 与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B． 故答案为：∠ACD≠∠A+∠B；∠A+∠B；∠ACB；∠ACB；∠A+∠B，不成立． 7.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”. 已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1+∠2　　　180°． 求证：直线l1与l2　　　． 证明：假设l1　　　l2， 则∠1+∠2　　　180°（　　　　　　　　　　　　　）． 这与　　　　矛盾，故　　　　　不成立． 所以　　　　　　　． 【答案】解：已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1+∠2≠180°． 求证：直线l1与l2不平行． 证明：假设l1∥l2， 则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 这与，∠1+∠2≠180°矛盾，故l1∥l2，不成立． 所以l1与l2不平行． 故答案为：≠，不平行，∥，＝，两直线平行，同旁内角互补；∠1+∠2≠180°，l1∥l2，l1与l2不平行． 学科网（北京）股份有限公司 $$