黑龙江省哈尔滨市第十二中学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

黑龙江省哈尔滨十二中高一（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数的共轭复数是(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则(    ) A. B. 1 C. 2 D. 4 3.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角C的值为(    ) A. B. C. 或 D. 4.在中，E是BC靠近B点的三等分点，(    ) A. B. C. D. 5.正方体中，异面直线与所成的角为(    ) A. B. C. D. 6.已知圆锥高为2，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为(    ) A. B. C. D. 7.已知向量夹角为，，则向量在向量上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 8.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为(    ) A. 20m B. 30m C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知复数z满足，以下说法正确的是(    ) A. 复数z的虚部是 B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 10.如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是(    ) A. B. 平面 C. 正方体的外接球的表面积为 D. 三棱锥的体积为 11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是(    ) A. 若，则是锐角三角形 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若的面积，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，且，则          . 13.在中，，，，则外接圆的半径为______. 14.如图，平行六面体中，，，，，则的长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知平面向量，满足：，， 求； 当时，求实数k的值. 16.本小题15分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，侧棱底面ABCD，E是PD的中点，F是AC的中点. 证明：平面PAB； 证明：平面 17.本小题15分 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 求A； 若，，设AD为的角平分线，求AD的长. 若，且的面积为，求的周长. 18.本小题17分 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 求B； 若的面积为，且，求BD的最小值. 19.本小题17分 如图，四边形ABCD中，，，F为CD中点，点E在AB上，，，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为 证明：平面； 求面与面所成二面角的正弦值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 直接利用共轭复数的概念得答案． 本题考查复数的基本概念，是基础题． 【解答】 解：复数的共轭复数是 故选： 2.【答案】D  【解析】解：根据题意，向量，， 若，则，解可得 故选： 根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得答案． 本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：因为，， 所以由正弦定理得：， 所以 因为，所以 又因为，所以或 故选： 先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解． 本题考查正弦定理的应用，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：根据题意可知， 故选： 根据向量的线性运算，即可求得答案． 本题考查了向量的线性运算，属于基础题． 5.【答案】B  【解析】解：如图， ； 是异面直线与所成角，且 故选： 画出正方体，通过图形即可找出异面直线与所成的角，并容易得出该角的值． 考查异面直线所成角的概念及其求法，明确正方体的概念． 6.【答案】C  【解析】解：因为圆锥的高为2，母线与底面成角为，所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的表面积为 故选： 根据题目条件求出圆锥的母线长和底面半径，进而根据圆锥表面积公式求出圆锥的表面积． 本题考查的知识点：圆锥的母线长，圆锥的表面积，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 7.【答案】A  【解析】解：由向量夹角为，， 可得向量在向量上的投影向量为 故选： 根据投影向量的定义进行计算即可． 本题考查投影向量的定义，属基础题． 8.【答案】D  【解析】解：， 由题意知：，，所以， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中， 故选： 根据题意结合正弦定理运算求解． 本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，化归转化思想，属中档题． 9.【答案】BD  【解析】解：由，得， 复数z的虚部是，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故C错误； ，故D正确． 故选： 由复数的虚部概念判断A；利用复数代数形式的乘除运算判断B；由复数的几何意义判断C；利用复数模的公式判断 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题． 10.【答案】ABC  【解析】解：对A，连接，因为平面， 且平面， 所以， 又因为，， ，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，故选项A正确； 对B，因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故选项B正确； 对C，因为正方体的棱长为2， 所以正方体外接球半径， 所以球体表面积，故选项C正确； 对D，，故选项D错误． 故选： 对选项A，根据线面垂直的判定于性质判断A正确； 对选项B，根据题意得到，再利用线面平行的判定即可得到平面，即B选项正确； 对选项C，首先求出正方体外接球半径，再求表面积即可判断C正确； 对选项D，根据，即可判断D错误． 本题考查立体几何综合问题，属于中档题． 11.【答案】BCD  【解析】解：对于A：由正弦定理可将转化为， 则，所以，即C位锐角，但无法判断A，B的范围，A错误； 对于B：由，得或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以， 又因为在单调递增，所以，C正确； D选项，因为面积， 即，所以， 即，因为，所以，故D正确， 故选： 根据正弦定理结合余弦定理判断A，根据角的范围计算判断三角形形状判断B，应用正弦单调性判断C，应用面积公式结合余弦定理结合角的范围判断 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题． 12.【答案】2  【解析】【分析】 本题考查平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质，属于基础题． 利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解． 【解答】 解：向量，，且， ， 解得 故答案为 13.【答案】2  【解析】解：因为，，， 可得， 由正弦定理得外接圆的半径 故答案为： 由已知利用三角形内角和定理可求C的值，进而利用正弦定理即可求解． 本题主要考查了三角形内角和定理以及正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：由题意，在平行六面体中， 有， 又，，， ， 则 ， 所以 故答案为： 选择为空间的一组基底，将用基向量表示，再利用向量数量积的运算律即可求得的长． 本题考查利用空间向量求解距离问题，属基础题． 15.【答案】；    【解析】由题意，，， 又因为， 所以； 因为，则， 可得， 即， 解得 根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解； 根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解． 本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题． 16.【答案】解：证明：如图，连BD，由四边形ABCD为菱形， E为PD的中点，F为AC的中点， 所以F为BD的中点， 所以， 因为平面PAB，EF不在平面PAB上， 所以平面PAB； 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线， 所以， 又因为，AP，平面PAC， 所以平面  【解析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，线面垂直的性质，属于基础题． 利用线面平行的判定定理进行证明； 利用线面垂直的判定定理进行证明． 17.【答案】；  ；     【解析】因为，由正弦定理可得， 在中，可得， 可得， 又因为， 可得； 因为，，，AD为的角平分线， 所以， 即， 可得； 因为，且的面积为， 可得，可得， 由余弦定理可得， 即， 解得， 所以的周长 由题意及正弦定理可得的值，再由角A的范围，可得角A的大小； 由三角形的面积公式及角平分线的性质可得AD的值； 由三角形的面积公式可得bc的值，再由余弦定理可得的hi，进而可得该三角形的周长． 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题． 18.【答案】解：由， 根据正弦定理得，整理得， 由余弦定理得，结合，可知 根据题意，的面积， 即，可得，所以 因为，所以， 两边平方得， 因为，当且仅当时取等号． 所以的最小值为2，可知BD的最小值为  【解析】利用正弦定理化简已知等式，可得，结合余弦定理算出，进而求出角B的大小； 根据的面积公式，求得，然后由，两边平方，并结合基本不等式进而求解，可求出BD的最小值． 本题主要考查正弦定理与余弦定理、平面向量数量积的运算性质、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 19.【答案】证明过程见解析；    【解析】证明：因为在四边形ABCD中，，且，所以▱AEFD， 又，所以四边形AEFD为矩形， 折叠后，显然，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又，所以平面平面，又平面， 所以平面； 由，，所以，所以，， 所以面与面EFCB所成二面角的平面角为， 结合，所以平面，可得平面平面EBCF， 又F为CD的中点，所以为等边， 如图以F为原点建立空间直角坐标系，设，则， 所以，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，可得， 再设平面的法向量， 则，解得， 设面与面所成二面角为， 则， 所以 结合折叠前四边形AEFD为矩形，折叠后不变的平行关系，证出平面平面，即可证得结论； 如图建立空间直角坐标系，分别求出两个半平面的法向量，套公式求解． 本题考查空间线面位置关系的证明，以及利用坐标法求二面角，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$