精品解析：福建省厦门第一中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试卷

厦门一中2024级高一入学考试数学试卷 班级：______座号：______姓名：______ 本试卷共4页，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上的“准考证号”与考生本人班级、座号是否一致； 2.回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效； 3.考试结束，考生只须将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案. 1. 如果点在第二象限内，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点在第二象限内，可得，再解不等式组即可. 【详解】因为点在第二象限内， 所以. 故选：A. 2. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京.”说明了大数之间的关系：1亿=1万×1万，1兆=1万×1万×1亿，1京=1万×1万×1兆.则1京为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学计数法和同底数幂的运算公式，求出结果. 【详解】可知1万，1亿，1兆， 所以1京， 故选：B. 3. 如图，为的直径，为的切线，连结交于点，连结．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质求出，根据圆周角定理求出是解决问题的关键． 【详解】， ， 为的切线， ， ， 故选：B． 4. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下表（有两个数据被遮盖）： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 91 86 ■ 90 93 90 ■ 被遮盖的两个数据分别是（ ） A. 90，2 B. 91，2 C. 90，90 D. 91，90 【答案】C 【解析】 【分析】设丙的成绩为，根据平均值可求，再根据数据得到众数即可. 【详解】设丙的成绩为， 则平均成绩，解得，众数为90. 故选：C. 5. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，依此方式绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转周期性可解. 【详解】根据题意，旋转8次即旋转一周， 又，所以的坐标与坐标一致， 又旋转得到，所以. 故选：D. 6. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】B 【解析】 【分析】结合勾股定理求得，然后求出一元二次方程的根，即可得． 【详解】由勾股定理得， ，， 解方程得， 即，，线段的长是方程的一个根． 故选：B． 7. 如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y(km)与出发时间x(h)的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后多少小时第2次相遇？（ ） A. 2 B. 4.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有图可得甲乙函数解析式，再求交点横坐标即可. 【详解】由图可知甲的函数解析式为，乙的解析式为， 令，解得. 故选：C 8. 如图，在中，已知，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C D. 条件不足，无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，利用扇形面积公式计算即可. 【详解】由旋转的性质可知，， ∴. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放方式中，与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】本题主要考查余角与补角，解答的关键是对余角与补角的定义的掌握．根据余角与补角的定义进行求解即可． 【详解】对于A，， 所以，故A符合题意； 对于B，， 所以，故B符合题意； 对于C、由图可得，故C不符合题意； 对于D、由图可得：，故D不符合题意； 故选：AB． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（ ） A. B. C. 若实数，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图可分析符号即可判断A；根据对称性可知函数与x轴交于另一点，代入可得，然后可确定B；由及，结合二次函数即可判断C；根据题意可得代入即可计算. 【详解】由图可知，，时，，所以，故A错误； 因为与x轴交于点，对称轴为，所以与x轴交于另一点， 则，又，所以，故B正确； 因为，，所以，故C正确； 因为是函数的零点，所以， 则，即， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图1，在四边形中，，直线垂直于所在的直线，当直线沿射线的方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点，．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示．则下列结论正确的是（ ） A. B. 的长为3 C. 当时，的面积不变 D. 四边形的周长为 【答案】AD 【解析】 【分析】分别分析当点到达点处和到达点处时的图形，结合图象即可求出相关的线段和角，逐个判断即可得到答案． 【详解】当，时，点运动到点处，如图， 因为直线垂直于所在的直线，即, ，,即，， ，，故A正确； 当时点到达点处，如图， 因为， ，， 当时，点到点处， ，， ，故B错误； 当时，的底边长度不变，点到的距离逐渐增大， 面积逐渐变大，故C错误； 如图， ，， ，又, ， ，， ，为等边三角形，， 在中, ， 四边形的周长为，故 D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 12. 式子有意义，则实数的取值范围是______. 【答案】且 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义：被开方数大于等于零；分式有意义的条件：分母不为零，分析得出答案. 【详解】式子有意义，则，且， 解得且. 故答案为：且. 13. 若关于x一元二次方程有两个不等实根.则______. 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理可得，再利用和与积的关系计算即可. 【详解】根据题意得，， . 故答案为：. 14. 已知平行四边形ABCD中，为边CD上的一动点，则的最小值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】过作，交的延长线于，利用三点共线时直线最短即可求解. 【详解】过作，交的延长线于， ，四边形ABCD为平行四边形，， 又，所以， 当三点共线时取得最小值， 此时， 所以得最小值为. 故答案为：. 15. 如图，正方形中，，为边的中点，连接、，为边上一动点，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为______. 【答案】或 【解析】 【分析】对点的对称点的位置进行分类讨论，当点在线段上时，分析出，结合锐角三角函数可求得的长；当点在线段上时，利用等面积法可求得的长，综合可得结果. 【详解】当点在线段上时，如下图所示，过点作交于点， 因为，故， 所以， 又因为，此时； 当点在线段上时，连接，如下图所示： 设，则，，， 由勾股定理得， 因为，即， 即，即，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 四、解答题16题10分、17－18题每题12分、19－21题每题14分，共76分.作答应写出必要过程. 16. （1）计算：； （2）若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂直接计算即可； （2）由代数式的值与字母x的取值无关，则对应次幂系数为0，可得，然后代入计算即可. 【详解】（1）原式. （2） . ∵上式的值与字母x的取值无关，∴，，∴. ∴原式 将代入上式可得原式. 17. 棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏.喜欢思考的小敏设计了如图所示的3×3的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一个方格内最多放入一枚棋子.棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格内继续随机放入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”. （1）若小敏随机放入1枚棋子，求出现“三连珠”的概率； （2）若小敏随机放入2枚棋子，请用画树状图或列表法. （ⅰ）求新放入的两枚棋子恰好与原右下角的棋子均相邻的概率； （ⅱ）求新放入两枚棋子后，余下未放棋子方格的编号之和能被3整除的概率. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）图中共有5个空格，其中标号为1，2，5，内下棋子，可以出现“三连珠”即可得到概率； （2）（ⅰ）根据题意画出树状图，与右下角的棋子均相邻的有，再求概率； （ⅱ）根据题意余下三个位置编号之和为3的倍数有，接着求概率即可. 【小问1详解】 共有5个空格，在标号为1，2，5，内下棋子，可以出现“三连珠”； ∴小敏随机放入1枚棋子，出现“三连珠”的概率是 【小问2详解】 画树状图如图： 由图可知，共有20个等可能的结果， （ⅰ）放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的有共2个结果， ∴放入的两枚棋子恰好与右下角的棋子均相邻的概率为， （ⅱ）先讨论位置编号之和，恰为3倍数，能被3整除， 则余下三个位置编号之和为3的倍数，当且仅当放入两枚棋子的位置编号和为3的倍数， 有，共8个结果， ∴放入的两枚棋子后，余下方格的编号之和能被3整除的概率为. 18. 某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度.如图所示，点A，B，C在同一平面内，操控者站在坡度、坡面长的斜坡底部点C处操控无人机，坡顶点B处的无人机以0.4m/s的速度沿仰角的方向爬升，30s时到达空中点A处. （1）求此时无人机离地面的高度； （2）在距离点C4.2m的点M处站着一个人，他正抬头仰望无人机，此时无人机是否在此人正上方？请说明理由.（结果精确到0.1m，参考数据：） 【答案】（1）10.6m （2）在此人正上方，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点B作于点D，过点A作于点E，AE交FB的延长线于点G，在中，求相关边长即可； （2）根据题意可得，因此无人机在此人正上方， 【小问1详解】 如图，过点B作于点D，过点A作于点E，AE交FB的延长线于点G. ∵，∴，∴，∴ 由题意知，. 在中，，∴， ∴. 故此时无人机离地面的高度是10.6m. 【小问2详解】 在此人正上方，理由如下： 在中，， ∴. 由（1）知，在中，， ∴， ∵，故此时无人机在此人正上方. 19. 若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”.例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“相依方程”.问题解决： （1）在方程①，②，③中，请写出不等式组的“相依方程”序号，并说明理由； （2）若关于x的方程是一元二次不等式的“相依方程”，求符合条件的k的最大整数值； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组恰有5个整数解，求m的取值范围. 【答案】（1）③，理由见解析 （2）11 （3） 【解析】 【分析】（1）分别解对应方程及不等式组，再根据“相依方程”的定义即可求解； （2）不等式的解为，根据“相依方程”的定义得，在解不等式，取最大整数即可； （3）不等式的解为，设5个整数为，则，利用不等式有解可得，根据“相依方程”定义即可求解. 【小问1详解】 ∵方程①的解为，方程②解为，方程③解为， 而不等式组的解为，故仅有方程③的解符合，选填③； 【小问2详解】 关于x的方程可解得，而一元二次不等式可化为， 解得代入方程的解可得：，∴，即符合条件的k的最大整数值为11； 【小问3详解】 解方程得， 解不等式组得， ∵不等式组有5个整数解，∴令5个整数为， 则有，∴， 则有，解得，又∵a为整数，∴， ∴（*）可化为，∴， 又∵，由“相依方程”可得：，解得； 综上所述，m的取值范围为. 20. 如图，内接于的平分线AF交于点G，过G作分别交AB，AC的延长线于点D，E. （1）求证：DE是的切线； （2）已知，点I为的内心，求GI的长； （3）在（2）的条件下，若，求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）连接OG，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接BI，BG，根据角平分线定义得到，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）利用相似三角形得，进而得，代入三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 连接OG， ∵的平分线AF交于点，∴，∴，∴， ∵，∴， ∵OG是的半径，∴DE是的切线； 【小问2详解】 连接BI，BG， ∵点I为的内心，∴BI平分平分， ∴， ∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴ ∴（负根舍去），∴GI的长为4. 【小问3详解】 连接GC，在（2）的条件下，同法可得， ∴，∴ 又∵，∴的面积. 21. 如图，已知抛物线上点A，C的坐标分别为，抛物线与x轴负半轴交于点B，连接AC，AB，点Q为抛物线上的点. （1）求抛物线的解析式及点B的坐标. （2）抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出Q的横坐标；若不存在，请说明理由. （3）点M为y轴负半轴上的点，且，点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N.若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请求出点Q的坐标. 【答案】（1）， （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后令y=0，求得的值，即可确定点B的坐标； （2）取BC的中点E，可确定；如图：过点E作AB的平行线PE，与抛物线的交点即为点Q、然后运用待定系数法分别求得直线AB的表达式为，直线EQ的表达式为，然后将直线EO的表达式与抛物线联立即可解得； （3）先说明，即点N与点O不是对应点，然后分和两种情况分别运用相似三角形的性质及正切函数即可解答. 小问1详解】 ∵抛物线过点， ∴，解得，∴抛物线的解析式为. 令，得，解得，∴. 【小问2详解】 如图：取BC的中点E，则，∴. 如图：过点E作AB的平行线PE，由， 故PE与抛物线的交点即为点Q.∴ 设直线AB的表达式为，将代入，得. 将代入，得，解得：， ∴直线AB的表达式为. 设直线EQ的表达式为，将代入，得. ∴直线EQ的表达式为. 由，得，∴点Q的横坐标为 【小问3详解】 ∵，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似 ∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形. ∵轴，直线QD交直线CM于点N，∴，即点N与点O不是对应点. ①如图：当时，点B与点Q重合，则点Q的坐标即点B的坐标， ∴点Q的坐标为. ②如图：当时，设点Q的横坐标为q，则， ∴，而， ∵， ∴. ∴. 解得（舍去），∴点Q的坐标为. 综上，点Q的坐标是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 厦门一中2024级高一入学考试数学试卷 班级：______座号：______姓名：______ 本试卷共4页，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上的“准考证号”与考生本人班级、座号是否一致； 2.回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效； 3.考试结束，考生只须将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案. 1. 如果点在第二象限内，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京.”说明了大数之间的关系：1亿=1万×1万，1兆=1万×1万×1亿，1京=1万×1万×1兆.则1京为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为的直径，为的切线，连结交于点，连结．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下表（有两个数据被遮盖）： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 91 86 ■ 90 93 90 ■ 被遮盖的两个数据分别是（ ） A. 90，2 B. 91，2 C. 90，90 D. 91，90 5. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，依此方式绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 7. 如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y(km)与出发时间x(h)的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后多少小时第2次相遇？（ ） A. 2 B. 4.5 C. D. 8. 如图，在中，已知，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 条件不足，无法计算 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放方式中，与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（ ） A. B. C. 若实数，则 D. 若，则 11. 如图1，在四边形中，，直线垂直于所在的直线，当直线沿射线的方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点，．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示．则下列结论正确的是（ ） A. B. 长为3 C. 当时，的面积不变 D. 四边形的周长为 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 12. 式子有意义，则实数的取值范围是______. 13. 若关于x的一元二次方程有两个不等实根.则______. 14. 已知平行四边形ABCD中，为边CD上的一动点，则的最小值等于______. 15. 如图，正方形中，，为边中点，连接、，为边上一动点，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为______. 四、解答题16题10分、17－18题每题12分、19－21题每题14分，共76分.作答应写出必要过程. 16. （1）计算：； （2）若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值. 17. 棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏.喜欢思考的小敏设计了如图所示的3×3的小方格棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一个方格内最多放入一枚棋子.棋盘内现已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格内继续随机放入棋子，如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”. （1）若小敏随机放入1枚棋子，求出现“三连珠”的概率； （2）若小敏随机放入2枚棋子，请用画树状图或列表法. （ⅰ）求新放入的两枚棋子恰好与原右下角的棋子均相邻的概率； （ⅱ）求新放入两枚棋子后，余下未放棋子方格的编号之和能被3整除的概率. 18. 某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度.如图所示，点A，B，C在同一平面内，操控者站在坡度、坡面长的斜坡底部点C处操控无人机，坡顶点B处的无人机以0.4m/s的速度沿仰角的方向爬升，30s时到达空中点A处. （1）求此时无人机离地面的高度； （2）在距离点C4.2m的点M处站着一个人，他正抬头仰望无人机，此时无人机是否在此人正上方？请说明理由.（结果精确到0.1m，参考数据：） 19. 若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”.例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“相依方程”.问题解决： （1）在方程①，②，③中，请写出不等式组“相依方程”序号，并说明理由； （2）若关于x的方程是一元二次不等式的“相依方程”，求符合条件的k的最大整数值； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组恰有5个整数解，求m的取值范围. 20. 如图，内接于的平分线AF交于点G，过G作分别交AB，AC的延长线于点D，E. （1）求证：DE是的切线； （2）已知，点I为的内心，求GI的长； （3）在（2）的条件下，若，求的面积. 21. 如图，已知抛物线上点A，C的坐标分别为，抛物线与x轴负半轴交于点B，连接AC，AB，点Q为抛物线上的点. （1）求抛物线的解析式及点B的坐标. （2）抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出Q的横坐标；若不存在，请说明理由. （3）点M为y轴负半轴上的点，且，点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N.若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请求出点Q的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$