精品解析：贵州省遵义市余庆县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

贵州省2024-2025学年度第二学期期末考试卷 八年级数学（人教版） （满分150分，考试时间120分钟） 考试范围：八年级下册全册 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质求解即可． 【详解】． 故选：B． 2. 下列各点中，在正比例函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图像．熟练掌握正比例函数的图像是解题的关键． 将点横坐标代入，求函数值，然后判断作答即可． 【详解】解：当时，，不在正比例函数的图像上，故A不符合要求； 当时，，在正比例函数的图像上，故B符合要求； 当时，，不在正比例函数的图像上，故C不符合要求； 当时，，不在正比例函数的图像上，故D不符合要求； 故选：B． 3. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 4. 已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的两条边长分别为和，需要分两种情况求解，当和为直角三角形的两条直角边时，第三边长为；当直角三角形的斜边为时，第三边长为． 【详解】解：当和为直角三角形的两条直角边时， 第三边长为； 当为直角边，为直角三角形的斜边时， 第三边长为， 这个直角三角形的第三边长为或． 故选： C． 5. 甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，则身高比较整齐的篮球队是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．据此解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 则身高比较整齐的篮球队是乙， 故选：B． 6. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 7. 学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 两人都错 D. 两人都对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的概念，勾股定理的概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，据此判断即可． 【详解】中，不确定谁是直角边和斜边， 所以如果是直角三角形，那么不一定成立，故甲说法错误； 在中，如果，但是可以，那么也是直角三角形，故乙说法错误， ∴两人都错， 故选：C． 8. 已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键．根据一次函数的图象和性质求解． 【详解】解：由图象得一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 9. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直 B. 平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 平行四边形一定是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查逆命题的真假，写出各项的逆命题，再进行判断即可． 【详解】A：原命题“菱形的对角线互相垂直”成立，逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”不成立，如筝形对角线垂直但非菱形． B：原命题“平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等”的逆命题为“一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形”不成立，如等腰梯形满足条件但非平行四边形． C：原命题“对角线相等的菱形是正方形”成立．逆命题“正方形是对角线相等的菱形，成立． D：原命题“平行四边形一定是轴对称图形”不成立，逆命题“轴对称图形是平行四边形”亦不成立． 故选：C． 10. 已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握“随的增大而增大；随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又点，在一次函数的图象上，且， ． 故选：A． 11. 已知实数满足，那么的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、去绝对值运算、利用算术平方根解方程等知识，先由二次根式有意义的条件的得到，进而化简绝对值，得到，利用算术平方根解方程即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、去绝对值运算等知识是解决问题的关键． 【详解】解：中， ，则， ， ，即， ，则， 故选：D． 12. 如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全能三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解答本题的关键.根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形、，证明，得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，相减即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，，， 四边形、是平行四边形， 在和中， ， ， 即和的面积相等； 同理和的面积相等，和的面积相等， 故四边形和四边形的面积相等，即． 故选：B． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 当__________时，是整数．（写出一个符合条件的x的值） 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：若二次根式有意义， 则， 解得：， 当时，是整数， 故答案为：1（答案不唯一）． 14. 实验中学举行十佳歌手大赛，小林同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是85分，95分，90分，若依次按的比例确定成绩，则小林的最终成绩是______分． 【答案】88.5 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键． 根据加权平均数定义可得． 【详解】解：小林的最终成绩为， 故答案为：88.5． 15. 如图所示的程序框图，当分别输入x的值为和7时，输出y的值相等，则b的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据题意列出一元一次方程，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得， 故答案为：2． 16. 如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是________． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识，利用垂线段最短求出的最小值是解题的关键．先利用菱形的性质求出，根据垂线段最短可知，根据中位线的性质可知从而得解． 【详解】解：连接、，与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵， ∴， ∵点G是线段上的动点，， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先进行乘除和乘方运算，再算加减，即可求解； （2）先化简最简二次根式，再算加减，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共600名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取20名学生，统计他们的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格），相关数据统计、整理如下： 抽取的八年级学生的竞赛成绩 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8， 8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 抽取的七、八年级学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______，______； （2）估计该校七、八年级这600名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义． 【答案】（1）；；8；7 （2）150人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数，利用样本估计总体等，掌握相关定义是解题的关键． （1）由平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图以及八年级抽取的学生的竞赛成绩，即可求得答案； （2）用学生总数乘以被调查学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数所占的比例即可得到答案； （3）根据中位数和众数的意义进行说明． 【小问1详解】 解：七年级的平均数， 将七年级20名同学的成绩从小到大进行排序，排在第10的是7，第11的是8，因此中位数， 七年级20名同学成绩中7出现次数最多，因此众数， 将八年级20名同学的成绩从小到大进行排序，排在第10的是8，第11的是8，因此中位数； 【小问2详解】 解：（人）， 即估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到9分及以上有150人； 【小问3详解】 解：众数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩出现次数最多的数， 中位数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩处于中间位置的数，反映学生成绩的一般水平． 19. 如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． （1）求之间的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：连接， 在中，，，， 由勾股定理得，， ∴之间的距离为； 【小问2详解】 ∵m，m，m， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 所以四边形的面积为． 20. 如图，已知四边形是正方形，点E、F分别在、上，与相交于点G，且． （1）求证：； （2）如果正方形的边长为5，，点H为的中点，连接．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识， （1）根据正方形的四条边都相等可得，然后利用“斜边直角边”证明，从而得到，进一步得到，即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点H为的中点， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵在中，， 根据勾股定理，得：， ∴． 21. 观察图象，解答下列问题： （1）直接写出方程的解为______，不等式的解集为______． （2）像（1）这样，借助图象得到的方程的解和不等式的解集所用到的数学思想方法是______（填序号）． A．分类讨论 B．整体思想 C．数形结合 D．极限思想 （3）当取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？如果一定有解，求出该解；如果不一定，请说明理由． 【答案】（1）， （2）C （3）不一定，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式． （1）依据题意，由方程的解为与的交点的横坐标，进而结合图象可得方程的解，又由图可得，当时，直线在直线的下方，进而可以判断得解； （2）依据题意，把解不等式的问题转化为解一元一次方程组的问题，然后画出一次函数与图象后利用数形结合的思想解决问题； （3）依据题意，当时，方程组为，则此方程组无解，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，∵方程的解为与的交点的横坐标， ∴结合图象可得，方程的解为； 又由图可得，当时，直线在直线的下方， ∴不等式的解集为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：像（1）这样，借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是，主要体现的数学思想是数形结合思想． 故答案为：C； 【小问3详解】 解：不一定有解．理由如下： ∵当时，方程组为， ∴此方程组无解， ∴当a取任意一个不为0的实数时，方程组不一定有解． 22. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从处移动到岸边点的位置？ 【答案】（1）米 （2）不能 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可； （2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴男子需向右移动的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意知，需收绳的绳长（米）， ∴此人的收绳时间为（秒）， ∵， ∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 23. 【观察】；； ；； 像上面各式这样，等号左边两因式均为无理数，等号右边结果为有理数，我们就把等号左边的两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以用分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简． 例如：；；． 【应用】化简与计算： （1）①______；②______； （2）． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算； （1）依据题意进行分母有理化即可，其中①先把分母化简，再把分子分母同时乘以即可得到答案；②把分子分母同时乘以，再计算化简即可得到答案； （2）先对原式每一项进行分母有理化，即可得到，由此计算求解即可． 【小问1详解】 解：①； ② ； 【小问2详解】 解：， 原式 ． 24. 研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往基地进行研学活动．大巴车出发后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发后追上大巴车，此时两车与学校相距．如图，，分别表示大巴车、轿车离开学校的路程与大巴车行驶的时间之间的函数图象． （1）分别求，所在直线的函数解析式； （2）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴车首次相距． 【答案】（1）所在直线的函数解析式为；所在直线的函数解析式为 （2）轿车出发后，轿车与大巴车首次相距 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． （）由题意可得，再利用待定系数法解答即可求解； （）分别求出大巴和轿车的速度，再根据题意列出方程解答即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得． 设所在直线的函数解析式为． 将代入上式，得， 解得． 所在直线的函数解析式为． 设所在直线的函数解析式为． 将代入上式，得， 解得， 所在直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，得大巴车的速度为． 轿车的速度为． 设轿车出发后，轿车与大巴车首次相距． 由题意，得， 解得． 答：轿车出发后，轿车与大巴车首次相距． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，四边形为矩形，是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）若，求证：四边形是平行四边形． （2）在线段上是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，并求此时点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，求四边形周长的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）秒时，；秒时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点Q在点P的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）证明四边形是平行四边形，可得四边形的周长为，当的值最小时，四边形的周长最小．作点关于的对称点，连接交于点，则，，则，则当，，三点共线时，的值最小，即的值最小，最小为，求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形，， ，， ． 是的中点， ． 当时，由题意，得， 则， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：在线段上存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形． 分两种情况讨论： ①如图1，当点在点的右边时， 四边形是菱形， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． ， ． ②如图2，当点在点的左边时， 四边形是菱形， ． 在中，， ，， ， ． 综上所述，秒时，；秒时，． 【小问3详解】 解：如图3，由（1）知：． ，． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形的周长为， 当的值最小时，四边形的周长最小． 作点关于的对称点，连接交于点，则，， ． 两点之间线段最短， 当，，三点共线时，的值最小，即的值最小． ， 的最小值为， 四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省2024-2025学年度第二学期期末考试卷 八年级数学（人教版） （满分150分，考试时间120分钟） 考试范围：八年级下册全册 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 下列各点中，在正比例函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，则身高比较整齐的篮球队是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 6. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 两人都错 D. 两人都对 8. 已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直 B. 平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 平行四边形一定是轴对称图形 10. 已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 11. 已知实数满足，那么的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 12. 如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 当__________时，是整数．（写出一个符合条件的x的值） 14. 实验中学举行十佳歌手大赛，小林同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是85分，95分，90分，若依次按的比例确定成绩，则小林的最终成绩是______分． 15. 如图所示的程序框图，当分别输入x的值为和7时，输出y的值相等，则b的值是______． 16. 如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共600名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取20名学生，统计他们的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格），相关数据统计、整理如下： 抽取的八年级学生的竞赛成绩 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8， 8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 抽取的七、八年级学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______，______； （2）估计该校七、八年级这600名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义． 19. 如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． （1）求之间的距离； （2）求四边形的面积． 20. 如图，已知四边形是正方形，点E、F分别在、上，与相交于点G，且． （1）求证：； （2）如果正方形的边长为5，，点H为的中点，连接．求的长． 21. 观察图象，解答下列问题： （1）直接写出方程的解为______，不等式的解集为______． （2）像（1）这样，借助图象得到的方程的解和不等式的解集所用到的数学思想方法是______（填序号）． A．分类讨论 B．整体思想 C．数形结合 D．极限思想 （3）当取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？如果一定有解，求出该解；如果不一定，请说明理由． 22. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从处移动到岸边点的位置？ 23. 【观察】；； ；； 像上面各式这样，等号左边两因式均为无理数，等号右边结果为有理数，我们就把等号左边的两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以用分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简． 例如：；；． 【应用】化简与计算： （1）①______；②______； （2）． 24. 研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往基地进行研学活动．大巴车出发后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发后追上大巴车，此时两车与学校相距．如图，，分别表示大巴车、轿车离开学校的路程与大巴车行驶的时间之间的函数图象． （1）分别求，所在直线的函数解析式； （2）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴车首次相距． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，四边形为矩形，是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）若，求证：四边形是平行四边形． （2）在线段上是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，并求此时点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，求四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $