精品解析：江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年七年级下学期6月期末乡镇联考数学试题

2024~2025学年度第二学期期末学情检测 七年级数学 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列计算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知某种植物花粉直径为米，用科学记数法表示该种花粉的直径是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 不等式的最小整数解是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带，将纸条沿折叠一下，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 平行于同一条直线的两直线互相平行 C. 相等的角是对顶角 D. 等角的余角相等 7. 2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱．已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元．该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各100个，其总费用为（　　） A. 11000元 B. 10200元 C. 10000元 D. 9900元 8. 若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　） A. 5 B. 8 C. 9 D. 15 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上） 9. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 10. 命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是_____命题．（填“真”或“假”） 11. 已知方程组的解为，请写出一个满足该条件的二元一次方程组__； 12. 一个多边形的内角和为540°，并且每一个内角都相等，则这个多边形的每一个内角是____°. 13. 在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是_______． 14. 已知、满足方程组，则______． 15. 如图，三角形中，，将三角形沿方向移动至三角形，此时测得，，则阴影部分的面积为______． 16. 若不等式组无解，则m的取值范围为______． 17. 的个位数是______． 18. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 三、解答题（本大题共有10个小题，共96分，请在答题纸指定的区域内作答，作答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图痕迹用黑色墨水的签字笔加黑加粗） 19. 计算： （1） （2） 20. 计算： （1）解方程组： （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 21. 甲乙两人同时解关于，的方程组，甲看错了，求得的解为；乙看错了，求得的解为，求原方程组的解． 22. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，求的度数． 23. 画图并填空：如图，在方格纸内将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，解答下列问题． （1）在给定方格纸中画出平移后； （2）若连接，，则这两条线段之间关系是 ； （3）画的高、． 24. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）已知，，求： ①的值； ②的值； （2）已知，求的值． 25. 在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点在的延长线上，请从①；②；③中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明． 小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题． 证明： （Ⅰ） Ⅱ （Ⅲ） （等量代换） （1）请帮助小明补全证明过程及推理依据； （2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明． 26. 利用我们学过完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料． 阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求 ， ； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的值； （3）若，试比较与的大小关系，并说明理由． 27. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． （1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 28. 问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数． （1）按小明的思路，易求得的度数为______度； （2）问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，． ①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系； （3）问题解决： 如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期末学情检测 七年级数学 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列计算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方，据此相关性质内容进行计算，即可作答． 详解】解： A、，故该选项不符合题意； B、，两幂指数不同，无法合并，结果仍为，不等于，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意；； D、，故该选项符合题意； 故选：D 2. 已知某种植物花粉的直径为米，用科学记数法表示该种花粉的直径是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：米用科学记数法表示为米，故B正确． 故选：B． 3. 不等式的最小整数解是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在解答此类题目是要注意，不等式的两边同时除以一个负数时不等号的符号要改变，这是此类题目的易错点．先移项得出不等式的解集，在此范围内确定不等式的最小整数解可得． 【详解】解： 解得：， ∴最小整数解为0， 故选：B． 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、平方差公式、积的乘方及完全平方公式依次判断即可． 【详解】A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、正确，该选项符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，原计算错误，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、平方差公式、积的乘方及完全平方公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 5. 在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带，将纸条沿折叠一下，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等，折叠的性质，两直线平行，同旁内角互补，计算选择． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 根据折叠性质，得， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 平行于同一条直线的两直线互相平行 C. 相等的角是对顶角 D. 等角的余角相等 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质、邻补角的定义、对顶角的定义及平行线的判定等知识分别判断后，即可确定正确的选项. 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等是真命题，故选项正确，不符合题意； B、平行于同一条直线的两直线互相平行是真命题，故选项正确，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故选项错误，符合题意； D、等角的余角相等是真命题，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识， 解题的关键是了解平行线的性质、邻补角的定义、对顶角的定义及平行线的判定等知识. 7. 2025年亚洲冬季运动会于2月7日至2月14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱．已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元．该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各100个，其总费用为（　　） A. 11000元 B. 10200元 C. 10000元 D. 9900元 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设1个“滨滨”的进价为x元，1个个“妮妮”的进价为y元，根据购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元建立方程组求解即可． 【详解】解：设1个“滨滨”的进价为x元，1个个“妮妮”的进价为y元， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进“滨滨”和“妮妮”各100个的总费用为11000元， 故选：A． 8. 若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　） A. 5 B. 8 C. 9 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数范围，解一元一次方程． 首先解不等式组，确定k的范围；再解方程，根据正整数解的条件筛选k的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的一元一次不等式组的解集是， ∴． 由可知， ∵关于的方程有正整数解， ∴为正整数且为2的倍数， ∴，1，3，5，7， ∴所有整数的和为， 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上） 9. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代入消元法．将x看成已知数，变形即可． 【详解】解：移项，整理得： ， 故答案为：． 10. 命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的正确性，判断每个命题是否正确，即可求解；掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：过直线外一点只能作这条直线的一条平行线；结论正确， 是真命题； 故答案为：真． 11. 已知方程组的解为，请写出一个满足该条件的二元一次方程组__； 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解的定义．要理解方程组的解的定义，围绕不同的算式即可列不同的方程组．所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．根据方程组解得定义，写成两个二元一次方程即可． 【详解】解：由于满足， 所以是方程组的解， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 一个多边形的内角和为540°，并且每一个内角都相等，则这个多边形的每一个内角是____°. 【答案】108 【解析】 【分析】根据多边形的内角和为540°，列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数． 【详解】设这个多边形的边数为n， 则有 解得n=5. ∵这个多边形的每个内角都相等， ∴它每一个内角的度数为 故答案 【点睛】考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键. 13. 在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的新定义，多项式乘多项式运算，关键是读懂新定义，掌握多项式乘多项式运算法则．认真读懂新定义，代入新定义公式化简即可． 【详解】依据新定义可知： ， 故答案为：． 14. 已知、满足方程组，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相加即可． 【详解】解： 得：， 故答案为：6． 15. 如图，三角形中，，将三角形沿方向移动至三角形，此时测得，，则阴影部分的面积为______． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，发现阴影部分的面积等于梯形的面积是解题的关键． 根据平移的性质可得和的面积相等，进而可得阴影部分的面积梯形的面积，然后求出梯形的上底即可解答． 【详解】解：根据平移的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴, ∴． 故答案为：27． 16. 若不等式组无解，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组无解得到，即可得到答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】此题考查了利用不等式组解的情况求参数，正确掌握不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，解题的关键． 17. 的个位数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式中的3变形为，反复利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：原式 … ∵，，，，，末尾是2，4，8，6四个一组循环， ， ∴的个位数是6， 即的个位数是6， 故答案为：6． 18. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，；熟练掌握平行的性质是解题的关键； 分，，三种情况，分别利用平行线的性质求解即可． 详解】解：如图3，当时，； 如图4，当（或）时，， ∴， ∴； 如图5，当时，， ∴． 综上所述，其他可能符合条件的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共有10个小题，共96分，请在答题纸指定的区域内作答，作答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图痕迹用黑色墨水的签字笔加黑加粗） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键． （1）先算单项式乘多项式即去括号即可； （2）直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质以及有理数乘方运算法则化简进而得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算： （1）解方程组： （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和不等式组，掌握加减消元法和解不等式的步骤是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）分别解出两个不等式，然后取共同部分即可得到不等式组的解集，然后利用数轴的知识将不等式的解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解： 将方程组变形为， ②，得③， ，得， 把代入②，得， 原方程组的解是 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 21. 甲乙两人同时解关于，的方程组，甲看错了，求得的解为；乙看错了，求得的解为，求原方程组的解． 【答案】 【解析】 【分析】将代入得，，求得 ；将代入得，，求得 ，构造新方程组是计算即可． 本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意知：将代入得，， 将代入得，， 方程组是 得，  将代入得，  原方程组的解是 22. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，三角形外角性质，解题关键在于作辅助线延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于， ∵，， ， 又，， ． 23. 画图并填空：如图，在方格纸内将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，解答下列问题． （1）在给定方格纸中画出平移后的； （2）若连接，，则这两条线段之间的关系是 ； （3）画的高、． 【答案】（1）见解析 （2）且 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图−−平移变换、三角形的高，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）根据三角形的高的定义画图即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，连接，且， 由平移的性质可得，且； 【小问3详解】 如图所示，、． 24. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）已知，，求： ①的值； ②的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据幂的运算逆向思维方法即可求解；②根据幂的运算逆向思维方法即可求解； （2）将变形为底数都为的形式，根据幂的运算法则，再根据解一元一次方程得方法即可求解． 【小问1详解】 解：已知，， ∵， ∴； ∴的值是； ②， ∴的值是． 【小问2详解】 解：变形得，， ∴， ∴，解方程得，， ∴的值是． 【点睛】本题主要考查整式的乘法，除法运算法则，解一元一次方程，掌握整式的混合运算法则，解一元一次方程的方法是解题的关键． 25. 在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点在的延长线上，请从①；②；③中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明． 小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题． 证明： （Ⅰ） Ⅱ （Ⅲ） （等量代换） （1）请帮助小明补全证明过程及推理依据； （2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同位角相等 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质和判定即可求解； （2）利用平行线的性质和判定即可求解； 【小问1详解】 证明： （两直线平行，同旁内角互补；） （两直线平行，同位角相等） （等量代换） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同位角相等 【小问2详解】 解法1：选取①③作为题设，②作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题． 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 解法2：选择作为题设，①作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题． 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质的应用，结合图形，熟练运用平行线的性质和判定是解答本题的关键． 26. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料． 阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求 ， ； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的值； （3）若，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式． （1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解； （2）先配凑完全平方公式求出，值，再根据三角形三边关系求出第三边； （3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，解得， 是的三边长， ， ， 是正整数， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： ，， ， ， ， ． 27. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． （1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要02万元和0.3万元 （2）有4种方案，分别为：方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，根据“不超过16.3万元的资金，地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，”列不等式组求解即可； （3）由总占地面积不得超过，得，解得，结合知，再依据“仅有两种方案可供选择”，得，解之即可． 【小问1详解】 解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， 依题意得，， 解得， 答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元． 【小问2详解】 解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得， 解得， ∴整数m的值为17，18，19，20． 一共有4种方案，分别为： 方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩； 方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩． 【小问3详解】 解：由题意可得，解得， ∵仅有两种方案可供选择， ∴ ， 解得： 因此，a 的取值范围为：． 28. 问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数． （1）按小明的思路，易求得的度数为______度； （2）问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，． ①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系； （3）问题解决： 如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明． 【答案】（1） （2）①．②或 （3）与的关系是：，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点P作，利用平行线的性质分别求出，，再求出它们的和即可得； （2）①过点P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：当P在的延长线上时；当点P在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）根据（2）的结论得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点P作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ． 理由：如图，过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②如图，当点P在的延长线上时，， 过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点P在线段上时，， 过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 ∵，， 由（2）得：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理推论的应用，根据平行线的性质探究角的关系，求角的和差，解题关键是通过作辅助线构造平行线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$