黑龙江省名校协作体2025-2026学年高一下学期第二次教学质量监测数学试卷

2025一2026学年度下学期第二次教学质量监测 数学试卷参考答案 1.A点A(1,2,4)关于平面Oxy对称的点的坐标为(1,2，一4). 2.C正n棱台共有3n条棱，所以3n=18,解得n=6. 3.Ba-(a一b)=b,A错误.不存在x,y∈R,使得c=x(a十b)+y(a-b),B正确.a+b+c -a=b十c,C错误.2(a十2b)十c一2a=4b十c,D错误. 4.C如图所示，a,B,Y将空间分成6个部分 5.B根据题意可得w⊥n,所以u·n=-3十2(a十b)十3(a一b)=0,即5a-b=3. 6.D因为a∈(0，)，所以cosa>0,由同角三角函数基本关系式sina十cosa=1,且sina= 停得wa=1-8-1-(停}-5。 则sim(a-F）=sin&os天-cosin天-Yx2_⑤×2-6-2E 4 431 231 2 6 7.C根据斜二测画法的性质，得出如图所示的四边形ABCD.易得四边形 y ABCD为直角梯形，则AD=2,AB=6,BC=4,所以将四边形ABCD绕着 A AB旋转一周得到的旋转体为上、下底面半径分别为2,4，高为6的圆台，所 以所求体积为3×6π×(4+16十8)=56元. 8.B设AD=mAB+nAC,A它=λAB+uAC,m十n=λ+u=1,则AD+B可C立 A应=(m+aA+(a+w)AC-(m十AAM+3(n+r)A,则(m+a)=x,3(n十)= y,所以m+X+n+g=号x+3y=2,即2x十y=6 2 9.AD|z=√9+25=√34<6，A正确.之=3-5i,B错误.zi=(3+5i)i=3i+5i=-5+3i, 所以i的能都为3，C错误吉产-+书-8+其=3十矿=D正确 1-i2 10.ACD由fx)的最大值为2，A>0,得A=2,A正确.因为f(x)的图象经过点受，0），所 以否+9=受+k,∈Z,得9=-吾十x,k∈么.又g<受，所以9=一吾，B错误.令2km 【高一数学·参考答案第1页（共6页）】 ≤2x一哥≤x+2m,k∈Z,解得x十石<x≤kx+,kE乙，故f(x)的单调递诚区间为 [晋+kx,号+kx](∈2D,C正确，cos(2x+若)=号在[0，m]上恰有3个解，令u=2x+ 否，当x∈[0，m]时，u∈[石，2m+晋]，cosM=2的通解为u=+2kr或w=-牙+2x, kE乙，在u≥看的范围肉，从小到大的解为号，警，行，号，要恰有3个解，需满足受≤ 2m十看<，解得≤m<平，故m的取值花围为，)，D正确 11.ABD几何体PHMEFNC共有7个面，C错误.因为四边形ABFE为矩形，所以EF⊥ FC,EF⊥FB,翻折后EF⊥FC,EF⊥FN,因为FC∩FN=F,所以EF⊥平面FNC,因为 EFC平面EFCH,所以平面FNC⊥平面EFCH,A正确.因为∠MEH=60°，EM=3,EH =6,所以MH=√9+36-2X3×6×2-33,所以MH+ME=EH3,则MH1ME,同 理可证HP⊥PE,可将几何体PHMEFNC补全为长为3√3、宽为3、高为4的长方体，其外 接球即为长方体的外接球，外接球的半径为27士9T西-√5，D正确，连接FM,FH,将 2 平面FMH与平面MPH展开至同一平面，如图3所示，当F,K,P在同一直线上时，FK+ KP取得最小值.因为MH⊥ME,MH⊥EF,ME∩EF=E,所以MH⊥平面MNFE,则 MH⊥MF,在图3中过F作FT⊥PH,与PH的延长线交于点T,则FT=MH=33,PT =PH+HT=PH+MF=3+√3+42=8，所以FK+KP≥FP=√64+27=√9I,B 正确。 图3 12.√13因为a-2b2=a2-4a·b+4b2=9-4×3×2×cos60°+4×4=13，所以|a-2b =√/13. 1品 由题意可知H,A,B,C四点共面的充要条件是存在x,y,z∈R,使得P立=xPA+ +:心且x十y十=1，所以哈++m1,解得a=动 因为∠CAD=3∠BAD,∠BAC=120°，所以∠CAD=90°，∠BAD=30°. 【高一数学·参考答案第2页（共6页）】 因为Sx=SAm十SAm,所以7×4X6sin120°=专×4 XADsin30°+2×6× ADsin90,解得AD=3Y3 15.解：(1)因为AB是底面圆O的直径，所以AP⊥BP.…1分 因为AP=√3，BP=1,所以AB=√1十3=2.… 2分 因为AA1=AB,所以圆柱OO1的侧面积为2πX1×2=4π，…4分 故其表面积为4π十2πX12=6元.…6分 (2)(方法一)由三棱柱的性质可得B1P1∥BP,所以异面直线A1B与A B1P1所成的角即为∠A1BP.…8分 连接A1P.因为A1P=√AA+AP2=√22+(W3)2=√7，A1B= √AA十AB2=√22十22=2W2,…9分 所以A1P2+BP2=A1B2,则A1P⊥BP,…10分 、所以cos∠ABP气BB=,2即异面直线AB与B,P,所成角的余弦值为2，一 13分 (方法二)以P为坐标原点，PB,PA,PP1所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系， 如图所示。…… 8分 由题意得A1(0,W3,2),B(1,0,0),B1(1,0,2),P1(0,0,2),所以 A1B=(1,-√3，-2)，B1P1=(-1,0,0).…10分 设异面直线A1B与B1P1所成的角为0， 则os0=cos(A1B,B,P1=A店·B,P |A1B1|B1P1|W√1+3+4×1 y A 4, 即异面直线A,B与B,P:所成角的余弦值为汽 4 ……13分 16.解：(1)AM=Ai+BC+Ci=a十b+3C,…3分 B2-BA+AA+A,它=-a+ 2b+c. 6分 2A.成-(a+b+)(-a+b+e)=-a+b+3c- 2 2a·b+ 3a·c+ b6.… 因为a·b=a·c=b·c=2X2cos60°=2， …13分 【高一数学·参考答案第3页（共6页）】 所以A.庞=-4+日×4+3×4-2×2+号×2+名×2-2. …15分 17.(1)证明：连接BD交AC于点O,连接OE.…1分 因为底面ABCD是正方形，所以O为BD的中点.…2分 因为E为PD的中点，所以OE是△PBD的中位线，OEPB.…4分 因为OEC平面AEC,PB中平面AEC,所以PB平面AEC.…5分 (2)解：以A为原点，以AB,AD,AP的方向分别为x,y,之轴的正方向，建立空间直角坐标 系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).…7分 设平面AEC的法向量为n=(x,y,之)，因为AC=(2,2,0), AE=(0,1,1), AC.n=2x+2y=0, 所以 令x=1,得n=(1,-1,1). AE.n=y+z=0, 。0.0.000 8分 因为AB=(2,0,0),所以点B到平面AEC的距离d= AB·n_2_23 B n √33 10分 (3)解：结合(2)中坐标系，知PD=(0,2,一2)，…11分 lPD·nl √6 设直线PD与平面AEC所成的角为O,则sin0= |PD1ln2√2X 5=3,…13分 即直线PD与平面AEC所成角的正弦值为 15分 A 18.(1)证明：tan2 sin 2 2 1-cos A 3分 AA cos sin A 2 2sin 2 同理可得tan2 B 1-cos B sin B …4分 (2)解：(1)因为a+6=2c,所以cosC-42+62-c_a+6)- 3 ab 2ab 2ab 6分 又a2十b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立，…7分 所以cosC≥： 8分 因为0<C≤π，所以0≤C≤3，. 9分 故C的最大值为 10分 (i)因为a+b=2c,所以sinA+sinB=2sinC. 【高一数学·参考答案第4页（共6页）】 又sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sinA+sinB=2 sin Acos B+ 2C0 s Asin B,…11分 则sinA(1-cosB)+sinB(1-cosA)=sin Acos B+cos Asin B,…12分 两边同时除以sin Asin B,得二cosB+1-cosA1 1 sin B sin A tan B tan A' …13分 A1 1 1-tan?B 1-tanA 由(1)可得tan2十tan2 tan B tan A …14分 B A 2tan 2 2tan 2 则2an分an(an十an》 B A。B B =tan 分+tan2tan2tanm0 十tan 044 …15分 因为1am号>0,1am号>0，所以1an号+am号>0， B …16分 则2an分n号-1-a含am号得m含an号-子 …17分 19.（1)证明：因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC,…1分 因为AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,…2分 因为AD∥平面PBC,ADC平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD =BC,所以ADBC,… 3分 所以AD⊥平面PAB,因为PBC平面PAB,所以AD⊥PB.… ……4分 Q D (2)(i)证明：如图1，过点A作AQ⊥PD,垂足为Q.…5分 因为平面PAD⊥平面PCD,平面PAD∩平面PCD=PD,所以 AQ⊥平面PCD,…6分 B 因为CDC平面PCD,所以AQLCD.…7分 图1 又因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,因为PA∩AQ=A,所以CD ⊥平面PAD,…8分 因为ADC平面PAD,所以CD⊥AD.…9分 (ii)解：如图2，过点D作DE⊥AC,垂足为E,过点E作EF⊥CP, P 垂足为F,连接DF.… …10分 因为PA⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,所以PA⊥DE,因为 PA∩AC=A,所以DE⊥平面PAC,…11分 因为PCC平面PAC,所以DE⊥PC,又EF⊥PC,DE∩EF=E, 所以PC⊥平面DEF,因为DFC平面DEF,所以PC⊥DF,… 12分 B 所以∠DFE为二面角A-PC-D的平面角.…13分 图2 【高一数学·参考答案第5页（共6页）】 由(1)知CD⊥AD,所以CD2+AD2=AC2=4,设AD=m(1≤m≤√3)， 则CD=V4-m2,所以DE=AD·CD=mv4-m AC …14分 2 PC=22,PD=V4+m,DF=PD·CD=√16-m PC 22’ m√4-m2 则sin∠DFE= DE 2 √2m DE ………15分 √16-m W4+m2 2√2 又2m √2 =,所以sin∠DFE随着m的增大而增大， √4+m 4 Vm2+1 当m=1时，sin∠DFE= 5, 当m=√3时，sin∠DFE=√ 7 …16分 所以二面角A-PC-D的正弦值的取值范围为5,7]： 「√10√427 …17分 【备注第(2)（ⅱ）问也可以在图1中过点Q作QF⊥PC,垂足为F,连接AF(图略)，则 ∠AFQ为二面角A-PCD的平面角. ▣路▣ 【高一数学·参考答案第6页（共6页）】2025一2026学年度下学期第二次教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 地 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册5.4至第八章，选择性必修第一册 欧 第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,4)关于平面Oxy对称的点的坐标为 A.（1,2,-4) B.(-1,-2,4) C.(2,1,4) D.(2,1,-4) 2.若一个正n棱台共有18条棱，则n= A.3 B.4 C.6 D.8 封 3.若{a,b,c)构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是 A.(a,a-b,b) B.(a+b,a-b,c) C.{a+b,c-a,b+c)》 D.{a+2b,c-2a,4b+c) 4.若平面a⊥平面B,平面y平面B,则a,B,Y将空间分成 A.4个部分 B.5个部分 C.6个部分 D.7个部分 5.已知u=(3,a十b,a一b)(a,b∈R)是直线l的一个方向向量，n=(一1,2,3)是平面a的一个 法向量.若L。,则 A.5a-b=-3 B.5a-b=3 C.5a+b=3 D.5b-a=3 6已知sina- 3a∈(o,)则sin(。-)= 线 A6+② B6-2 C.6+2w8 D.6-2g 4 4 6 6 7.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为梯形A'B'C'D',已 y 知B'C=4,A'B'=3,A'D'=2,A'B'∥O'D',则将四边形ABCD 绕着AB旋转一周得到的旋转体的体积为 D A.28π B.48元 B C.56π D.60π &.在△ABC中，D,E均在BC上，AM-号A,AN=}AC,A+AE=xAi+A(,y∈ R),则2x十y= A.3 B.6 C.7 D.9 【高一数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若复数之=3十5i,则 A.|g|<6 B.z=-3+5i 8+2i C.i的虚部为一3 D.z=1-可 10.已知函数f(x)=Acos(2.x十p)(A>0,p<)的最大值为2，且f(x)的图象经过点 (受0)，则下列结论正确的是 A.A=2 B9=符 C了x)的单调递减区间为[晋+km,+m](∈刀 D若fe+)=1在0，m]上有3个解，则m的取值范围为[，) 11.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AB=4,AD=12,CD=5,F在BC上， E,H均在AD上，AE=HD=3.将矩形ABFE沿EF翻折至四边形MEFN的位置，将 R1△DHC沿直线HC翻折至△PHC的位置，如图2所示，连接MH,NC,PF,且∠MEH =∠PHE=60°，K在MH上，则 H H 0 M F N 图1 图2 A.平面FNC⊥平面EFCH B.FK十KP的最小值为√9I C.几何体PHMEFNC共有8个面 D.几何体PHMEFNC外接球的半径为√I3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若平面向量a与b的夹角为60°，la|=3,1b|=2,则|a-2b|=▲ 13.已知A,B,C三点不共线，P为平面ABC外-点，且P方=PA+号P+mP心.若H, A,B,C四点共面，则m=▲ 14.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=4,AC=6,点D在边BC上，且∠CAD=3∠BAD,则 AD=△- 【高一数学第2页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 1 15.(13分) 如图，直三棱柱ABP-A,B1P,内接于一个圆柱OO1,AB是底面圆O的直径，AP=√3，BP =1,AA1=AB. (1)求圆柱OO,的表面积； (2)求异面直线A,B与B,P,所成角的余弦值. 16.(15分) 如图，已知平行六面体ABCD-A1B,CD1所有的棱长均为2，∠DAB=∠DAA1= 19 ∠A,AB=60,CM=号CC,E为A1D,的中点，设A店=a,Ad=b,AA=c (1)用a,b,c表示AM,BE; D (2)求AM·BE的值. B 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD,PA=2, E为PD的中点， (1)证明：PB/平面AEC. (2)求点B到平面AEC的距离. (3)求直线PD与平面AEC所成角的正弦值. 【高一数学第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, A 1-cos A B 1-cos B (1)i证明：tan2-snA,tan2 sin B (2)设a十b=2c. (|)求C的最大值： (I求an分m号的值 欧 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,且AB⊥BC. (1)若AD/平面PBC,证明：AD⊥PB. (2)设平面PAD⊥平面PCD. (1)证明：CD⊥AD (Ⅱ)若1≤AD≤W3,求二面角A-PC-D的正弦值的取值范围. 到 线 【高一数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP