精品解析：黑龙江省哈尔滨市巴彦县2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（6月份）

2024−2025学年黑龙江省哈尔滨市巴彦县七年级（下）月考数学试卷（6月份） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A B. C. D. 3. “我命由我不由天”是哪吒中的经典台词，哪吒不怕困难，敢于挑战，乐观向上的精神如图中所示的哪吒图案经过平移后得到的是（ ） A. B. C. D. 4. 在数轴上表示不等式的解，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于，的二元一次方程组和关于，的二元一次方程组有相同的解，则的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分． 10. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为______． 11. 平面直角坐标系中的点位于第二象限，则的取值范围是______． 12. 一元一次不等式的非负整数解是______． 13. 是连续的两个整数，若，则的值为___________． 14. 已知，则_____． 15. 来宾市某校组织开展了“民族团结”的知识竞赛，共有30道竞赛题，选对一题得5分，不选或者错选一道题扣2分，若得分不低于60分获奖，那么至少答对____道题才能获奖． 16. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点P为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称点Q为“快乐点”，若点A既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为_________； 17. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是___________________． 18. 如图，，平分，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论____________（填编号）． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元． （1）足球、篮球的单价分别是多少元? （2）根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共46个，要求购买足球和篮球的总费用不超过1480元，这所中学最多可以购买多少个篮球? 四、解答题：本题共8小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1）； （2）． 21 按要求解下列方程组： （1）用代入法解方程组：； （2）用加减法解方程组． 22 解下列不等式 （1） （2） 23. 如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点的坐标为，顶点、都在网格中小正方形的顶点上． （1）把三角形向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形（点、、的对应点分别为、、），请你画出三角形； （2）请写出点，的坐标，并直接写出三角形的面积． 24. 若将关于、二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则这对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程的“相伴系数对”为______； （2）已知一个关于、的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为______． 25. 如图，在中，点，在上，点在上，，点在上，． （1）求证：； （2）若，请直接写出图中所有与相等的角． 26. 综合与实践： 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：． 【深入探究】 （2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． （1）请直接写出，的值； （2）如图，若点为第一象限内一点，点的坐标是，若设三角形的面积为，用含的式子表示； （3）如图，在（2）条件下，当时，若与轴交于点，点为轴上一点，连接、、，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年黑龙江省哈尔滨市巴彦县七年级（下）月考数学试卷（6月份） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是实数的相反数，仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，熟记相反数的定义可得答案． 【详解】解：的相反数是； 故选：B． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据不等式的性质判断选择即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：B． 3. “我命由我不由天”是哪吒中的经典台词，哪吒不怕困难，敢于挑战，乐观向上的精神如图中所示的哪吒图案经过平移后得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平移设计图案，熟练掌握图形平移前后的大小，形状都不变化，只是位置变化是解题的关键． 根据平移的定义与性质，即可得到答案． 【详解】解：图中所示的哪吒图案经过平移后得到的是 故选：C． 4. 在数轴上表示不等式的解，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集． 先解不等式，再根据解集的表示方法判定即可． 【详解】解：不等式的解集为：． 在数轴上表示为： 故选：C． 5. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 此题考查二元一次方程的定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 【详解】解：A、该方程中只有一个未知数，属于一元一次方程，故本选项错误； B、该方程中未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项错误； C、该方程中未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项错误； D、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确； 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 依据，即可得出点在第四象限． 【详解】解：， 点在第四象限． 故选：D． 7. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， 根据题意得，， 故选：． 8. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线．解决问题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，对顶角相等． 由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 已知关于，的二元一次方程组和关于，的二元一次方程组有相同的解，则的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，算术平方根． 根据题意组成新的方程组，求出、的值，再代入方程和方程中即可求出、的值，再根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 把代入方程和方程中，得，， ， 的算术平方根为， 的算术平方根为， 故选：． 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分． 10. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程一个解， ∴， 解得：， 故答案为：7． 11. 平面直角坐标系中的点位于第二象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标和解一元一次不等式，能根据点的位置得出不等式是解题的关键． 根据点在第二象限得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：点位于第二象限， ， 解得：， 故答案：． 12. 一元一次不等式的非负整数解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：， ， ， ， 其非负整数解是． 故答案为：． 13. 是连续的两个整数，若，则的值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小．根据算术平方根的定义估算无理的大小，确定m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，而， ∴， 而m，n是两个连续整数，若， ∴，， ∴， 故答案为：9． 14. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解二元一次方程，解题关键是熟练掌握加减消元法． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得， 将代入可得， ． 故答案为：． 15. 来宾市某校组织开展了“民族团结”的知识竞赛，共有30道竞赛题，选对一题得5分，不选或者错选一道题扣2分，若得分不低于60分获奖，那么至少答对____道题才能获奖． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设应选对x道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解:：设应选对x道题，则不选或错选的有道， 依题意得：， 解得： ∴至少应选对18道题才能获奖， 故答案为：18． 16. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点P为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称点Q为“快乐点”，若点A既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为_________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，点A既是“健康点”又是“快乐点”，则A坐标应该满足和，解即可得答案 【详解】解：点A既是“健康点”又是“快乐点”，则A坐标应该满足和， 解 得：， ∴A的坐标为； 故答案为： 17. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是___________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2， ∴ ∵平行于x轴， ∴设， ∵， ∴或， ∴点Q的坐标是或． 故答案为：或． 18. 如图，，平分，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论____________（填编号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质．由于，则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到，可知①正确；利用，可计算出，则，即平分，可知②正确；利用，可计算出，则，可知③正确；根据，，可知④不正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴．故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分．故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； ∴， 而， ∴不一定等于，故④错误． 故答案为：①②③． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元． （1）足球、篮球的单价分别是多少元? （2）根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共46个，要求购买足球和篮球的总费用不超过1480元，这所中学最多可以购买多少个篮球? 【答案】（1）足球的单价为30元，篮球的单价为40元；（2）这所中学最多可以购买10个篮球. 【解析】 【分析】（1）根据“购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元”列二元一次方程组解答即可； （2）根据（1）求得的单价，买篮球m个，则购买足球（46-m）个，再根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元列不等式求解即可. 【详解】解：（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元， 根据题意得解得 答：足球的单价为30元，篮球的单价为40元； （2）设购买篮球m个，则购买足球（46-m）个， 根据题意得40m+30（46-m）≤1480， 解得m≤10， ∵m为整数， ∴m最大取10． 答：这所中学最多可以购买10个篮球． 【点睛】本题主要考查了运用二元一次方程组和一元一次不等式解决实际问题，审清题意，确定建立方程的等量关系和不等式的不等关系量成为解答本题的关键. 四、解答题：本题共8小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、实数绝对值的计算等知识，掌握它们是解题的关键； （1）分别计算算术平方根、立方根，最后进行加除运算即可；　 （2）根据平方根的定义，实数绝对值的计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 21. 按要求解下列方程组： （1）用代入法解方程组：； （2）用加减法解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 由，得， 把代入，得， 去括号，得， 解得：， 把代入，得， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 方程组的解为． 22. 解下列不等式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，根据不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变，即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，根据不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即可求解． 【小问1详解】 解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 23. 如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点的坐标为，顶点、都在网格中小正方形的顶点上． （1）把三角形向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形（点、、的对应点分别为、、），请你画出三角形； （2）请写出点，的坐标，并直接写出三角形的面积． 【答案】（1）见解析 （2），，三角形的面积是 【解析】 【分析】本题考查了作图平移变换，熟记平移变换的性质是解题的关键． （1）根据平移变换的性质作图即可； （2）由图形得出点的坐标，根据割补法求出三角形的面积． 【小问1详解】 解：如图所示，三角形即为所求； 【小问2详解】 解：由图形可知，； 三角形的面积． 24. 若将关于、二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则这对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程的“相伴系数对”为______； （2）已知一个关于、的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为______． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是理解已知条件中的“相伴系数对”和二元一次方程解的定义． （1）将关于、的二元一次方程变形为的形式，根据已知条件中的“相伴系数对”的定义求出答案即可； （2）根据已知条件中的“相伴系数对”的定义和已知条件写出这个二元一次方程，然后把代入，得到关于的方程，解方程求出，再把代入这个方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理得：， 方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，这个二元一次方程可写成：， 把代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 这个二元一次方程为：， 即， 故答案为：． 25. 如图，在中，点，在上，点在上，，点在上，． （1）求证：； （2）若，请直接写出图中所有与相等的角． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线判定与性质的知识，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理与性质定理求证即可； （2）根据平行线的性质定理求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：与相等的角有、、，理由如下： ， ，，， ， ，， 综上，与相等的角有、、． 26. 综合与实践： 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：． 【深入探究】 （2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由题意，得到，证得，结合已知条件，得到结论； （2）结合图形，利用平行线的性质，得到，从而得到； （3）根据题意，结合图形，得，，结合角平分线得到，从而得到结果． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ； 解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：过点作， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ， 平分， ， 过点作， ，， ， ， ， ， ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． （1）请直接写出，的值； （2）如图，若点为第一象限内一点，点的坐标是，若设三角形的面积为，用含的式子表示； （3）如图，在（2）的条件下，当时，若与轴交于点，点为轴上一点，连接、、，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，三角形的面积的计算，非负数的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据非负数的性质列方程即可得到结论； （2）由点为第一象限内一点，点的坐标是，得到点到轴的距离为，求得，根据三角形的面积公式得到三角形的面积为； （3）由，得到，求得，当在点的上方时，连接，当在点的下方时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ，， ，； 【小问2详解】 解：点为第一象限内一点，点的坐标是， 点到轴的距离为， ，， ， 三角形的面积为； 【小问3详解】 解：， ， ， 当在点的上方时，连接， 的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积的面积， ， ， ， ； 当在点的下方时， 的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积的面积， ， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$