2.1.1 倾斜角与斜率（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率 导学案 （1）掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念； （2）理解从形和数两个角度刻画直线的倾斜程度，体会数形结合的思想； （3）掌握过两点的直线斜率公式； （4）会用斜率表示直线方向向量，会用向量方法导出斜率定义的过程. 第一环节 情境引入 山地自行车，穿梭林间，征服崎岖，与自然共舞，感受肾上腺素飙升的野性魅力，为此得到了很多自行车爱好者的青睐. 杀入2024年巴黎奥运会的山地自行车运动员米久江，为我国此运动标杆性人物. 思考：右图中，甲乙两个运动员正在进行爬坡骑行，根据你的骑行经验，哪位运动员的骑行会更耗卡路里？主要原因是什么？ 第二环节 合作探究 将山坡抽象为一条直线，并把两个山坡对应的直线放入同一个平面直角坐标系中. 观察：这两条直线有何不同？ 思考：确定一条直线的几何要素是什么？ 1、过一点能不能确定一条直线? 结论：过一个点的直线有无数条 一条直线 2、确定直线方向（已知方向向量）能不能确定一条直线? 规定：水平直线的方向向右， 其他直线向上的方向为这条直线的方向 结论：方向向量相同的直线有无数条 一条直线 3、确定过某点且确定直线方向能不能确定一条直线? 结论：已知一个点和一个方向 一条直线. 作图：要求：在同一坐标系中画多条直线，画的所有直线都过同一个点，但彼此方向不同. 思考：这些直线的区别是它们的方向不同，我们如何表示这些直线的方向呢？ 定义：当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴 与直线 方向之间所成的角叫做直线的 ． 观察：上图中直线的倾斜角为什么角，直线的倾斜角为什么角． 思考1：当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小是多少？ 思考2：你认为直线的倾斜角的取值范围是什么？ 思考3：倾斜角为何不能等于180°？ 牛刀小试： 练1：判断下列结论是否正确 1. 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角. 2. 方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等. 3. 方向不同的直线，倾斜角可能相等. 4. 可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向 练2：下图中，表示直线的倾斜角的是( ) 练3：(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ). A．30° B．60° C．120° D．150° 练4：直线的倾斜角为_________ 思考：倾斜角可以刻画直线倾斜程度，是否还有其他方法刻画直线的倾斜程度呢? 基本事实：两点确定一条直线 设，（其中）时直线l上的两点. 猜想：① 这两点的坐标与直线l的倾斜角α一定有存在某种内在关系 ② 这两点的坐标可以直接刻画直线l的倾斜程度 下面我们利用向量法探究上述猜想 问题1：已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？ 问题2：类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？ 问题3：如果直线经过两点，，那么与，的坐标有怎样的关系？ 预设：如下图，当向量的方向向上时， 如图下图，当向量的方向向上时， 思考：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系： ． ① 定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示，即 ② 由以上①②式可以得出斜率公式：____________________ 注释：日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：． 当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的． 思考：倾斜角为90°的直线斜率是多少？ 追问：倾斜角为30°、45°、60°的直线斜率是多少？ 结论：所有的直线都有 ；但不是所有直线都有 . 思考：当直线的倾斜角由逐渐增大到时，其斜率如何变化？为什么？ 结论： ① α为 时，α越大，斜率越 ，k由 变化到+∞； ② α为 时，α越大，斜率越 ，k由-∞变化到 ； ③ 倾斜角不同， 不同，从而斜率可以表示 的直线的倾斜程度. ④ 刻画直线倾斜程度：从 的角度： 不同，倾斜程度不同； 从 的角度： 不同，倾斜程度不同， 思考1：已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？ 思考2：当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 思考：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？ 牛刀小试： 练1：完成下列表格 练2：如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（     ） A． B． C． D． 练3：经过点、的直线的斜率为 . 练4：已知点和点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 练5：（1）经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(2, k)，求k的值. （2）已知直线l的一个方向向量为 求直线l的倾斜角和斜率. 练6：已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B．6 C． D．4 了解关于解析几何的数学文化 例1 如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 总结：1、利用两点坐标求斜率应该注意什么？ ① 先判断两点的 是否相等：相等则斜率不存在，不相等则用斜率公式求斜率； ② 先用斜率公式计算斜率，注意坐标相减的 ，切勿出现以下错误： 2、如何用斜率正负判断倾斜角是锐角还是钝角？ 斜率大于0，倾斜角为 角；斜率小于0，倾斜角为 角； 跟踪练习： 已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 题型一：利用斜率相等求参数值 例题：过、两点的直线的倾斜角为，那么　 　． 方法总结：利用同一直线或者平行直线的 ，建立 ，解方程求解参数值 题型二：利用直线的方向向量求斜率 例题：若直线的一个方向向量，则直线的斜率为：______ 方法总结：若直线的一个方向向量，则直线的斜. 题型三：已知倾斜角的范围求斜率的范围 例题：(1) 若 直线l的倾斜角α满足45°<α<60°，求直线l的斜率k的取值范围． (2) 若直线l的倾斜角α满足120°<α<135°，求直线l的斜率k的取值范围． (3) 若直线l的倾斜角α满足45°<α<120°，求直线l的斜率k的取值范围． 方法总结：利用倾斜角范围求斜率范围，借助 ，可快速得出答案. 注意倾斜角范围是否跨 题型四：已知斜率的范围求倾斜角的范围 例题：(1)若直线l的斜率k满足k≥，求直线l的倾斜角α的取值范围． (2)若直线l的斜率k满足k≤，求直线l的倾斜角α的取值范围． (3)若直线l的斜率k满足﹣1<k<1，求直线l的倾斜角α的取值范围． 方法总结：利用斜率的范围求倾斜角范围，借助 结合，可快速得出答案. 注意斜率范围是否跨 . 1．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·山西临汾·期末）若三点在同一直线上，则实数等于（    ） A． B． C．6 D．12 8．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 1．定义：x轴 与直线 的方向之间所成的角叫作这条直线的 ．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． 2．直线的斜率的定义： 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当 时，称 为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率 . 3．斜率的公式： 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为 ，当时，直线l的斜率 . 4．直线倾斜角的取值范围 倾斜角的取值范围是 ，当直线与轴平行或重合时，规定倾斜角 ． 5．直线的方向向量 （1）定义：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l ，则称向量为直线l的一个方向向量，记作 ． （2）性质：①如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量 都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 ． ②如果是直线l上两个不同的点，则 是直线的一个方向向量. 6．设直线的倾斜角为，斜率为． 的大小 的范围 不存在 的增减性 随的增大而 随的增大而 学科网（北京）股份有限公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1 倾斜角与斜率 导学案 （1）掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念； （2）理解从形和数两个角度刻画直线的倾斜程度，体会数形结合的思想； （3）掌握过两点的直线斜率公式； （4）会用斜率表示直线方向向量，会用向量方法导出斜率定义的过程. 第一环节 情境引入 山地自行车，穿梭林间，征服崎岖，与自然共舞，感受肾上腺素飙升的野性魅力，为此得到了很多自行车爱好者的青睐. 杀入2024年巴黎奥运会的山地自行车运动员米久江，为我国此运动标杆性人物. 思考：右图中，甲乙两个运动员正在进行爬坡骑行，根据你的骑行经验，哪位运动员的骑行会更耗卡路里？主要原因是什么？ 第二环节 合作探究 将山坡抽象为一条直线，并把两个山坡对应的直线放入同一个平面直角坐标系中. 观察：这两条直线有何不同？ 预设：倾斜程度 思考：确定一条直线的几何要素是什么？ 1、过一点能不能确定一条直线? 结论：过一个点的直线有无数条无法确定一条直线 2、确定直线方向（已知方向向量）能不能确定一条直线? 规定：水平直线的方向向右， 其他直线向上的方向为这条直线的方向 结论：方向向量相同的直线有无数条无法确定一条直线 3、确定过某点且确定直线方向能不能确定一条直线? 结论：已知一个点和一个方向可以确定一条直线. 作图：要求：在同一坐标系中画多条直线，画的所有直线都过同一个点，但彼此方向不同. 思考：这些直线的区别是它们的方向不同，我们如何表示这些直线的方向呢？ 预设：倾斜角 定义：当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 观察：上图中直线的倾斜角为什么角，直线的倾斜角为什么角． 预设：为锐角，为为钝角. 思考1：当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小是多少？ 预设：我们规定，此时直线的倾斜角为0° 思考2：你认为直线的倾斜角的取值范围是什么？ 预设：直线倾斜角的范围为： 思考3：倾斜角为何不能等于180°？ 预设：当倾斜角为180°时直线l与x轴平行或重合，根据思考1的规定，此时倾斜角为0° 牛刀小试： 练1：判断下列结论是否正确 1. 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角. 2. 方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等. 3. 方向不同的直线，倾斜角可能相等. 4. 可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向 答案：√ √ × √ 练2：下图中，表示直线的倾斜角的是( ) 解析：由直线的倾斜角定义：直线向上的方向与x轴正方向之间所成的角,可知，选A 练3：(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ). A．30° B．60° C．120° D．150° 解析： . 由图可知，故选：B 练4：直线的倾斜角为_________ 解析：直线的斜率不存在，因此倾斜角为. 故答案为：. 思考：倾斜角可以刻画直线倾斜程度，是否还有其他方法刻画直线的倾斜程度呢? 基本事实：两点确定一条直线 设，（其中）时直线l上的两点. 猜想：① 这两点的坐标与直线l的倾斜角α一定有存在某种内在关系 ② 这两点的坐标可以直接刻画直线l的倾斜程度 下面我们利用向量法探究上述猜想 问题1：已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？ 预设：如图，易得向量，且直线的倾斜角为． 由正切函数的定义，有： 问题2：类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？ 预设：如图，．平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是． 由正切函数的定义，有． 问题3：如果直线经过两点，，那么与，的坐标有怎样的关系？ 预设：如下图，当向量的方向向上时， ，平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有 ． 当向量的方向向上时，如图下图， ，也有 ． 思考：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 教师：方法一：利用以上方法探究即可得出结论 方法二：当直线与轴平行或重合时，直线倾斜角为0，，又此时，，所以当直线与轴平行或重合时，上述式子成立. 综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系： ． ① 定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示，即 ② 由以上①②式可以得出斜率公式 注释：日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：． 当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的． 思考：倾斜角为90°的直线斜率是多少？ 预设：因为没有意义，所以倾斜角为90°的直线斜率不存在. 追问：倾斜角为30°、45°、60°的直线斜率是多少？ 预设： 结论：所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率. 思考：当直线的倾斜角由逐渐增大到时，其斜率如何变化？为什么？ 结论： ① α为锐角时，α越大，斜率越大，k由0变化到+∞； ② α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0； ③ 倾斜角不同，斜率不同，从而斜率可以表示不等于90°的直线的倾斜程度. ④ 刻画直线倾斜程度：从形的角度：倾斜角不同，倾斜程度不同；从数的角度：斜率不同，倾斜程度不同， 思考1：已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？ 预设：，结论：计算直线的斜率时，与两点的顺序无关. 思考2：当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 预设： ① 倾斜角为90°，斜率不存在； ② x1=x2，斜率公式中分母为0; 所以，不适用于以上斜率公式. 思考：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？ 预设：我们知道，直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量．直线的方向向量的坐标为． 当直线与轴不垂直时，，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则． 牛刀小试： 练1：完成下列表格 练2：如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（     ） A． B． C． D． 解析：设直线，，的倾斜角分别为，，， 则由图知， 所以，，即，．故选：A. 练3：经过点、的直线的斜率为 . 解析：经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 练4：已知点和点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 解析：因为，且，所以的倾斜角，故选：B 练5：（1）经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(2, k)，求k的值. 解析： （2）已知直线l的一个方向向量为 求直线l的倾斜角和斜率. 解析：是直线l的一个方向向量, 又 ∴直线l的倾斜角为，斜率为 练6：已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B．6 C． D．4 解析：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 了解关于解析几何的数学文化 例1 如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解析：直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率， 由>及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角． 总结：1、利用两点坐标求斜率应该注意什么？ ① 先判断两点的横坐标是否相等：相等则斜率不存在，不相等则用斜率公式求斜率； ② 先用斜率公式计算斜率，注意坐标相减的方向，切勿出现以下错误： 2、如何用斜率正负判断倾斜角是锐角还是钝角？ 斜率大于0，倾斜角为锐角；斜率小于0，倾斜角为钝角； 跟踪练习： 已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解析：直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率， 由>及可知，直线与的倾斜角均为钝角； 由可知，直线的倾斜角为锐角． 题型一：利用斜率相等求参数值 例题：过、两点的直线的倾斜角为，那么　 　． 解析：过、两点的直线的倾斜角为，则， 又．故答案为：1． 方法总结：利用同一直线或者平行直线的斜率相等，建立方程，解方程求解参数值 题型二：利用直线的方向向量求斜率 例题：若直线的一个方向向量，则直线的斜率为：______ 解析：由直线的方向向量，可得直线的斜率. 方法总结：若直线的一个方向向量，则直线的斜. 题型三：已知倾斜角的范围求斜率的范围 例题：(1) 若 直线l的倾斜角α满足45°<α<60°，求直线l的斜率k的取值范围． (2) 若直线l的倾斜角α满足120°<α<135°，求直线l的斜率k的取值范围． (3) 若直线l的倾斜角α满足45°<α<120°，求直线l的斜率k的取值范围． 解析：、、 方法总结：利用倾斜角范围求斜率范围，借助数形结合，可快速得出答案. 注意倾斜角范围是否跨90° 题型四：已知斜率的范围求倾斜角的范围 例题：(1)若直线l的斜率k满足k≥，求直线l的倾斜角α的取值范围． (2)若直线l的斜率k满足k≤，求直线l的倾斜角α的取值范围． (3)若直线l的斜率k满足﹣1<k<1，求直线l的倾斜角α的取值范围． 解析：，， 方法总结：利用斜率的范围求倾斜角范围，借助数形结合，可快速得出答案. 注意斜率范围是否跨 0. 1．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 解析：因为直线过和，所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以，又，则可得． 故答案为：. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 解析：由过点和点的直线为，即其倾斜角为.故选：B 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 解析：由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 4．（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 解析：由题，直线的斜率为，又，. 故选：B. 5．（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解析：由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故．故选：B 6．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 解析：点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 7．（22-23高二上·山西临汾·期末）若三点在同一直线上，则实数等于（    ） A． B． C．6 D．12 解析：因为，又，所以，即. 故选：C. 8．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 解析：根据题意，即，且斜率，即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 解析：如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 1．定义：x轴 与直线 的方向之间所成的角叫作这条直线的 ．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． 答案：正向 向上 倾斜角 0° .2．直线的斜率的定义： 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当 时，称 为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率 . 答案： 不存在 3．斜率的公式： 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为 ，当时，直线l的斜率 . 答案： 不存在 4．直线倾斜角的取值范围 倾斜角的取值范围是 ，当直线与轴平行或重合时，规定倾斜角 ． 答案： 0 5．直线的方向向量 （1）定义：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l ，则称向量为直线l的一个方向向量，记作 ． （2）性质：①如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量 都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 ． ②如果是直线l上两个不同的点，则 是直线的一个方向向量. 答案：平行或重合 共线 6．设直线的倾斜角为，斜率为． 的大小 的范围 不存在 的增减性 随的增大而 随的增大而 答案： 增大 增大 学科网（北京）股份有限公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$