2.1.1倾斜角与斜率（二）导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案围绕直线的倾斜角与斜率展开，通过知识回顾梳理倾斜角定义、取值范围、斜率公式及两者关系，搭建从基础概念到深化理解再到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料亮点在于典型例题设计，结合数形结合思想分析斜率与倾斜角取值范围，融入斜拉桥等实际情境问题，培养学生的几何直观和推理能力，题型覆盖基础判断、综合应用及充要条件分析，助力学生用数学思维构建知识体系，提升解题能力。

第二章 直线与圆的方程 第二章 直线与圆的方程 §2.1.1 倾斜角与斜率（二） 【知识回顾】 直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 倾斜角的取值范围 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°． 斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即． 注：倾斜角是90°的直线没有斜率． 过两点的直线的斜率公式 经过两点的直线的斜率公式为． 牢记倾斜角α与斜率k的关系 1.当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞. 2.当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)． 【注意】 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【典型例题】 题型一、倾斜角与斜率 【例1-1】对于下列命题： ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【例1-2】已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，求点P的坐标． 【例1-3】直线l经过，两点，那么直线l的斜率的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 题型二 斜率和倾斜角的取值范围. 【例2-1】(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　　) A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k2＜k1 C．α1＜α3＜α2 D．α3＜α2＜α1 【例2-2】已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2-3】直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围. 【例2-4】光线从点A（-2，1）射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B（4，3），试求点Q的坐标及入射光线的斜率． 【例2-5】已知直线l的倾斜角范围为[45°，150°]，求直线l的斜率的范围． 题型三 斜率和倾斜角的应用 【例3-1】斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3-3】已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3-4】已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $